5.3 等比数列（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第五章数列 4.在数列{an}中，an>0,a1=1,2aw+1一an=0. a=a·g=1x() =21m=D=2+1 (1)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=log2am,求数列{bn}的前90项和Sa. (2)6,=l0g2a.,∴.bn=log22w+1=-n+1,当n=1 解：1)2a+1-a.=0,2a1=a.,=2, 时，b1=0,当n=2时，b2=一1，当n=3时，b3= an+l 2,数列为等差数列，S。=90X0+90X89× ",dutl=1 2 1 an =2,即q=2 (-1)=-4005. 5.3等比数列 》 梳理·必备知识 学生用书P64 基础盘点 落实双基 [知识点一]等比数列的有关概念 [基础自测] 1.定义： 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前 (1)满足an+1=qan(n∈N,g为常数)的数列{an}为 一项的比都等于同一个常数（非零）： 等比数列. () (2)符号语言：a出=q(n∈N°，g为非零常数). (2)G为a,b的等比中项台G=ab. () an (3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lgan是等差 2.等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫作a 数列 () 与b的等比中项.即G2=ab. (4)若数列{an}的通项公式是an=a”,则其前n项和 [知识点二]等比数列的有关公式 1.通项公式：a,=a1g1 为S,-a1-a) () 1-a 2.前n项和公式 (5)若数列{an}为等比数列，则S4,S8-S4,S2一S8 nai,q=1, 成等比数列 ( ) S= a(1-9)_a-a9,q≠1. 答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 1-91-9 2.方程x2-5.x十4=0的两根的等比中项是() [知识点三]等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.(m, A号 B.士2 C.土5D.2 1,p,q,r,k∈N*) 解析：B[设方程的两根分别为x1,x2,由根与系 1.若m十n=p十q=2r,则am·an=a。·ag=a,; 数的关系，得x1x2=4,.两根的等比中项为 2.数列am,am+kam+24,am+,…仍是等比数列； ±√1x2=±2.] 3.数列Sm,S2m一Sm,Sm一S2m,…仍是等比数列（此 3.在等比数列{an}中，a,=1,a2=一2，则ag=（) 时{an}的公比q≠-1). A.256B.-256C.512D.-512 [知识点四]常用结论 解析：A[{an}是等比数列，a1=1,a2=-2, 1.等比数列的单调性： 当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时，{an}是递增 “公比q=2=-2,a,=a,g=1X(-2)°=256， a 数列； 所以选A.] 当q>1,a1<0或0<g<1,a1>0时，{an}是递减 4.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S=a2十 数列； 10a1,a5=9,则a1= ) 当q=1时，{an}是常数列. 2.等比数列与指数函数的关系： A号 B-3 c D.-g 当q≠1时，a-2·g,可以看成函数y=cg,是 解析：C[由已知条件及Sg=a1十a2十a3,得a3 9a1,设数列{an}的公比为q,则q=9,所以a=9= 一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列 {an}各项所对应的点都在函数y=cq的图象上. ag=81a,得a=日] 3.等比数列{an}的前n项和S.=A+B·C"台A+B 5.数列{an}中a1=2,am+1=2an,Sn为{an}的前n项 =0,公比q=C(A,B,C均不为零) 和，若Sn=126,则n= ·73· 高考总复习数学 解析：因为a1=2,a+1=2a,所以a,≠0，故a 6.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成 a 等比数列，则这两个数为 =2. 解析：设该数列的公比为q,由题意知， 所以数列{an〉是公比为2的等比数列，因为Sn 243=9×q,得q=27,所以q=3. 126,所以20-？）=126，所以2°=64，故1=6。 所以插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81. 1-2 答案：27,81 答案：6 提升·学科素养 学生用书P65 《 直击考向 通法悟道 专点一等比数列基本量的运算 食跟踪训练 [例1]设等比数列{an}的前n项和为S,已知a3 1.已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项 s-是 3 的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差 数列. (1)求数列{a,}的通项公式； (1)求{an}的首项和公比； 及b=loga6求数列6，的前n项有 (2)设Sn=a+a十…十a,求Sn [解](1)①当公比q=1时， 解：(1)根据等比数列的性质，可得a3·a,·a,=a a=,=号= 3 =512,解得a5=8. 设数列{an}的公比为q,则ag 8 ②当q≠1时， g,=8g2, a=5= 由题可(（一-1十(8-9)=2X8-3)=10, -是g号 2 解得g=2或2 解得a1=6,q= 1 {an}是递增数列，可得q>1,q=2,得q=2. 2 因此as=a1g=4a1=8,解得a1=2. (2)由(1)得{an}的通项公式为an=a1g"-1=2× 综上所述，数列{an}的通项公式为 (W2)”-1=(2)+1,.a2=[(W2)+1]=2+1, 可得{a}是以4为首项，2为公比的等比数列. a,- 因此S.=u+a+…+a=4目-？)=2*：-4. 2v0当a,=号时.=o1ai 1-2 =2 专点三等比数列的判定与证明 故Tn=2n; [例2]已知数列{an}满足a1=1,aw+1=2(n十1)a, ②当an=6· 1)”-1 时， 设b,=。 n 6 b=l0g2 a2m十1 -=21, (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{b,》是否为等比数列，并说明理由； 此时T.=2.nm+1)=n(n十1). 2 (3)求{an}的通项公式. 综上所述，Tn=2n或Tn=n(n十1)， [解】(1)由条件可得a1-2+1 a n 通性通法 将n=1代入，得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4. 等比数列的基本运算方法 将n=2代入，得a3=3a2,所以a3=12. (1)等比数列可以由首项a1和公比g确定，所有关 从而b1=1,b2=2,b3=4. 于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q (2){bn》是首项为1，公比为2的等比数列. 进行 (2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以 由随捷条件可得一升中6=26， 通过列方程（组）求出a,g.如果再给出第三个 又b=1,所以{bn}是首项为1，公比为2的等比 数列 条件就可以完成a1,n,q,an,S。的“知三求二” 问题. (3)由(2)可得8=21，所以an=n·2-1 74 第五章数列 通性通法 所以鼓列5，是以一为首项，号为公比 等比数列的判定方法 的等比数列. (1)定义法：若a+1=q(g为非零常数，n∈N)或 (2)由(1)知，S.-元 ()() a,=g(g为非零常数且n≥2，n∈N),则{a} a-1 ()所以=-( 是等比数列. 专点三等比数列前项和及性质的应用 (2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a+1 [例3]已知数列{a,n}是递增的等比数列，且a4a一2a =a·am+2(n∈N),则数列{an}是等比数列. 十a2a1=144,则a5一a3= ( (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·q A.6 B.8 C.10 D.12 (c,q均是不为0的常数，n∈N),则{an}是等比 [解析]：{an}是递增的等比数列，∴.由aa6一 数列. 2a十a2a4=144,a-a3>0,可得a-2a3a+十a号= (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和S=k 144,(a5-a3)2=144,.a5-a3=12,故选D. ·g”-k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等 [答案]D 比数列. 通性通法 等比数列性质应用问题的解题突破口 食跟踪训练 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式 2.设数列{an}的前n项和为Sn,满足：S。十an= 的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公 n-1 n(n+1）n=1,2,…n. 式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变 化特征即可找出解决问题的突破口. 1求证：数列3.是等比数列： ★跟踪训练 (2)求Sn 3.已知等比数列{an}满足a1=3,a1十a3十a=21,则 解：(1)证明：由题意，n=1时，S1十a1=0, a3十a5+a2= ( ) 即a1=0,n≥2时，Sn十Sn-Sw-1=2Sw-Sw-1 A.21B.42 C.63 D.84 n-1_21 解析：B[设{an}的公比为q,由a1=3,a十a十a= n(n+1)n+1n 21得1十g十g=7,解得g=2(负值舍去).∴.a十a 1,=1§ 1 十a,=ag+a3g+a5g=(a,十a3+a)g=21X2= 21 42.故选B.] 》 突破·高效演练 学生用书P66 分层训练 高效提能 [基础题组练] 4.等比数列{an}中a1一a1=14,a5一a2=28,则 1已知a是等比数列a,=4,公比g=2则a a2026= ( ( ) A.22023 B.22024 A c C.22025 D.22026 答案：A 解析：D[依题意，等比数列{an}的公比q= 2.已知等比数列{an}的各项均为正数，且ag·a,=9, 则1og3a1十log3a5+log3ag= ) a,-a2=28=2,则a,-a1=a(g-1)=7a1=14, ( a4-a114 A.3 B.4 C.5 D.6 解得a,=2.因此a,=a1g1=2”,所以a2=2.] 解析：A[根据等比数列的性质可得a1ag=azas= 5.等比数列{an}中，a1=1,公比q=2,当Sn=127时， a3a,=a1a6=a后=9，又an>0,所以a5=3,所以 logsa+logs as +logaas=loga (arasas)=logs (a) n三 ) =1og333=3.故选A.] A.8 B.7 C.6 D.5 3.若各项均为正数的等比数列{an}满足a3=3a1十 2a2,则公比q= ) 解析：B[由S=a1-g) 1-q ,a1=1,q=2. A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 当5=127时，则127=二解得m=1.战选B] ·75· 高考总复习数学 6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题： [综合题组练] “三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一 1.已知等比数列{an}中，a4十ag=一2，则a6(a2十 半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走378 2a。十a10)的值为 () 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的 A.4 B.6 C.8 D.-9 路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则 解析：A[a6(a2十2a6十a1o)=a6a2十2a6十asa1o= 该人最后一天走的路程为 里. a+2a4a8十a8=(a:十as)2,因为a4十ag=-2,所 解析：记该人每天走的路程里数为{am},可知{am) 以as(a2+2a6+a1o)=4.] 是公比9=2的等比数列， 2.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,ag成 等差数列.若a1=1,则S= () A.16 B.15C.8 D.7 由Ss=378,得S6 378,解得a1= 解析：B[设公比为q,由题意得4a2-4a1十aa,即 -2 4a1q=4a1+a1q,又a1≠0，所以4q=4十q2,解得q 192,所以a,=192×=6 =2,所以S,=1X2)=15,故选B.] 1-2 答案：6 3.(2023·春招，6)若3，x,12,一24成等比数列，则实 7.等比数列{a,}满足a4=}a4=4(a-D,则g 数x的值是 ( A.-6 B.-8 C.6或-6 D.8或-8 解析：由等比数列的性质得a=a3a,又因为a3a =4(a4-1),所以a=4(a4-1),解得a4=2.又a1 解析：A[:等比教列24--2g=-2x =子所以日-公=8，解得q=2. 3×(-2)=-6,故选A.] a 答案：2 4记S,为等比数列a,的前n项和，若a=言a 8.已知数列{an}满足a+1一2an=0,且a=一1，则a1= a6,则S= 解析：由u=a6,得(a19)=a9,整理得g一a 解析：a+1-2a,=0.0=2=q,a=ag2, an =3. -1=0X201=-子故答案为-日 ×(1-3) S=3 121 1-3 3· 答案：-}或-0.25 答案号 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S。=一27， 5.等比数列{an}中，a1=1,a5=4a3· S1。=-40. (1)求{an}的通项公式； (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和.若Sn=63,求m. (2)设bn=an十2"，求数列{bn}的前n项和Tm 解：(1)设{an}的公比为q,由题设得an=q”-. 解：(1)设{an}公差为d,由S。=-27,S10=-40 由已知得g=4q2,解得q=0(舍去)，q=-2或q 10e+984=-27 解得0,5 =2. 得， 10a,+10X94=-40 d=-2 故an=(-2)"1或an=2. 2 ∴.am=5-2(n-1)=7-2n. (2)若a.=(-2)-1,则S,=1-（-2)” 3 (2)由bn=an+2”,得bn=7-2n+2",.Tm=S.十 由Sm=63得（一2）"=一188，此方程没有正整 21-?)=n×5+n(21D×(-2)+2+1-2 数解 1-2 2 若an=2",则Sn=2”-1.由Sm=63得2m=64, =-n2+6n+2"+1-2. 解得m=6.综上，m=6. ·76·