5.2 等差数列（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第五章 数列 5.2等差数列 》 梳理·必备知识 学生用书P61 基础盘点 落实双基 [知识点一]等差数列与等差中项 2.在等差数列{an}中，a3=2,d=6.5,则a2=( ) 1,定义： A.22 B.24 C.26 D.28 (1)文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的 解析：D[a,=ag+4d=2+4×6.5=28,故选D.] 前一项的差都等于同一个常数； (2)符号语言：a+1一a,=d(n∈N”,d为常数). 3.等差数列{an}中，已知a=1,a,=7,则公差d=() 2.等差中项：若三个数a,A,b组成等差数列，则A叫 A.1 B.2 C.3D.4 作a,b的等差中项. 解析：A[因为等差数列{an}中，a=1,a=7,所 [知识点二]等差数列的通项公式与前n项和公式 1.通项公式：an=a1+(n-1)d. 以/+2d-1 2.前n项和公式：S=a,十nn。1)d=n(a十a,) a,+8d=7廊得/1 a=-1故选A.] 2 2 4.在等差数列{an}中，已知a2=2,前7项和S,=56, [知识点三]等差数列的性质 则公差d= 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和. A.2 B.3 C.-2 D.-3 1.通项公式的推广：a,=am十(n一m)d(,m∈N). a1+d=2 2.若k十l=m十n(k,l,m,n∈N),则a十a1=am 解析：B [由题意可得 即 十an 7a,+7X6 d=56 3.若{an}的公差为d,则{an}也是等差数列，公差 a1+d=2 为2d. 解得-1 · 4.若{bn}是等差数列，则{pan十qbn}也是等差数列. a1+3d=8 d=3 5.数列Snm,S2m一Sm,S3m一S2m,…构成等差数列. 5.在数列{an}中，a1=2,an+1一an=3(n∈N),则数 [基础自测] 列{an}的通项公式为 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“X”). 解析：因为a+1一a.=3,n∈N,所以数列{a,}是公差 (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常 为3的等差数列，又因为a1=2,所以an=2十3(n一1) 数，那么这个数列是等差数列 () (2)数列0,0,0,0，…不是等差数列 =3m-1. (3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项 答案：an=3n-1 都是它前一项和后一项的等差中项， () 6.在等差数列{an}中，若a3十a1十a5十a十a,=450, (4)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差 则a2十as= 都是常数，则这个数列是等差数列. 解析：由等差数列的性质可得 (5)等差数列{an}的单调性与公差d有关. ( (6)若三个数a,b,c满足2b=a十c,则a,b,c一定是 ag十a?=a1十a6=2a5, 等差数列 ( 又因为a3十a4十a+a6+a,=450, 答案：(1)× (2)×(3)/(4)× (5)/ 所以5a=450,a5=90,所以a2+ag=2a5=180. (6)/ 答案：180 》 学生用书P61 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一】 等差数列的基本运算 [解析](1)：a1=1,am+1一3=an,∴.am+1一an= 3,.数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列， [例1](1)在数列{an}中，a1=1,a+1一3=an,若a ∴.am=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=2026,解得n =2026,则n= ( =676.故选D. A.673B.674 C.675 D.676 (2)法一：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, (2)(2019·高考全国卷I)记S,为等差数列{am) 的前n项和，已知S,=0,a=5,则 ( ) 因为 (S,=0 a,5所以 a,+3=0. ,解得 A.a=2n-5 B.an=3n-10 a1+4d=5 C.S,=2n2-8n D.5.-n-2n (a1=-3 所以an=a1+(n-1)d=-3+2(n-1) d=2 ·69· 高考总复习数学 =2m-5,S.=a,十n",1Dd=2-4n.故选A [解](1)由已知，得a2-2a1=4, 2 则a2=2a1十4，又a1=1,所以a2=6. 法二：设等差数列{an}的公差为d, 由2a3-3a2=12,得2ag=12+3a2,所以a3-15. 因为 S4=0 所以 a,+43=0 (2)由已知a+1-(n+1)an=2n2+2n, 委 (a5=5 a1+4d=5 得ma1-（nt1Da=2,即号-0=2， n(n+1) n+1 n 得/-3 d=2 所以数列侣}是首项为=1，公差为1=2的等 n 选项A,a1=2×1-5=-3; 差数列.则m=1十2(n-1)=2n-1, 71 选项B,a1=3×1-10=-7,排除B; 所以an=2n2-n. 选项C,S1=2-8=一6，排除C; 通性通法 选项D.S-号一-2-一昌除山故选N 判定数列{an}是等差数列的常用方法 [答案](1)D(2)A (1)定义法：对任意n∈N,an+1一a。是同一个 通性通法 常数. (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N°，满足2an= 等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五 a+1十aw-: 个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两 (3)通项公式法：数列的通项公式a,是n的一次 函数 个，体现了方程思想. (4)前n项和公式法：数列的前n项和公式S.是n (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到 的二次函数，且常数项为0. 变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个 提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定 基本量，用它们表示已知量和未知量是常用 义法判断， 方法. ★跟踪训练 ★跟踪训练 3 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2十a3十a 2.已知数列a.满足a=号a,=2-。(≥2 an-1 =15,a,=13,则S= N)数到清足么=。己aEN A.28 B.25 C.20 D.18 求证：数列{bn}是等差数列. 解析：B[法一：设等差数列{an}的公差为d,由已 证明：因为a,=2-1(n≥2，m∈N),4,=。 知得 (a1+d+a1+2d+a+3d=15, 解得 an-1 an-1 la1+6d=13, (n∈N*), 1 a1=1, d=2, 所以S=60,+544=5X1+54×2= 2 所以b+1-b,a,1-1a, 2 a, 25,故选B. an 1 1 法二：由{an}是等差数列，可得a2十a4=2a3,所以 a,-1a,-1an-1=l.又6 a1-1=-2 a,=5,所以S= 5(a,+a5)_5X2a=25,故 所以数列6，》是以一号为膏项，1为公差的等差 2 2 数列 选B.] 等差数列的性质 吉点二等差数列的判定与证明 专点 [例3]已知等差数列{an}满足a3十a6十ag十a11三 [例2]已知数列{a,}满足a1=1,且nan+1-(n十1) 12,则2a。一a1的值为 aw=2n2+2n. A.-3 B.3 C.-12 D.12 (1)求a2,a3; [解析]由等差中项的性质可得，a3十a6十ag十a1 (2)证明数列a}是等差数列，并求{a}的通项 =4a7=12,解得a7=3,·a7十a1=2ag, n .2ag一a11=a7=3.故选B. 公式. [答案]B ·70· 第五章数列 通性通法 解法一：a=-4,d=1,S,=-4+mm。1）X1 2 应用等差数列的性质解题的注意点 (1)如果{an}为等差数列，m十n=p十q,则am十an a十a,(,n,p,q∈N).因此，若出现aw-am, ,n∈N,.当n=4或5时，Sn取最小值，为S= a+,等项时，可以利用此性质将已知条件转化为 S6=-10. 与am（或其他项)有关的条件；若求am项，可由 解法二：a1=-4,d=1,∴.an=-4十(n-1)×1 a.=2a,十an装化为求a。an或a =n-5.由an≤0得n≤5，且n=5时，a5=0,故当 n=4或5时，Sn取最小值，为S,=S,= 十am-n的值 5×(-4+0) =-10. (2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵 2 [答案]0 -10 活应用，如a,=4n十(n一m)d,d=a,二a,S n-m -1 通性通法 =(2m-1)a.5.=a,+a.）_nata)(n, 求等差数列前n项和S.最值的两种方法 2 2 (1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式Sn m∈N)等. ★跟踪训练 an'+on-a n+2a) ,求“二次函数”最值 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为 (2)邻项变号法 36,最后6项的和为180，Sn=324(n>6),则数列 {an}的项数为 ①当a1>0,1<0时，满足20， (am+1≤0 的项数m使 解析：由题意知a1十a2十…十a6=36,① 得Sn取得最大值为Sm; am十am-1十aw-2十…十an-5=180,② ①十②得(a1十an)十(a2十am-1)十…+(a6十am-5） ②当a<0d>0时，满足.<0. 的项数m使得 (am+1≥0 =6(a1+an)=216, Sn取得最小值为Sm· .a1+an=36, 又S.-na+a）=324.18m=324,m=18. ★跟踪训练 4.设数列{an}的前n项和为Sn=3·2”(n∈N*),数列 答案：18 bn}为等差数列，其前n项和为Tn,若b2=a5,bo=S, 专点四等差数列前项和的最值问题 则T,取最大值时n= [例4]设等差数列{an}的前n项和为Sn,若2=一3， 解析：由已知得b2=a=S-S4=3×2-3×2= S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 48,b1o=S3=3×23=24. 设等差数列{bn}的公差为d, [解析]设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 则8d=b1。-b2=-24,d=-3, 由s-号a1+a)-号×2a,=-10,得a=-2 所以bn=b。+(n-2)d=48-3(n-2)=54-3n, 所以当1≤n≤18时，bn≥0，当n≥19时，bn<0, ∴.d=a3-a2=-2-(-3)=1,.a1=-3-1=-4, 所以T.取最值时n=17或18. .a5=a1+4d=-4+4=0. 答案：17或18 》 突破·高效演练 学生用书P63 分层训练 高效提能 [基础题组练] 2.已知数列{an}为等差数列，若a1十a2o2s=2026,则 1.数列{an}的通项公式为an=5-3n,则此数列 a1013 ( ( A.2026B.2025C.1013D.1012.5 A.是公差为一3的等差数列 解析：C[数列{an}为等差数列，若a1十a225= 2026,则2a101a=2026,解得a1018=1013.] B.是公差为5的等差数列 3.在等差数列{an}中，若ag十a十a,十ag十a1=100, C.是首项为5的等差数列 则3a,一a13的值为 ( D.是公差为n的等差数列 A.20 B.30 C.40 D.50 答案：A 答案：C ·71· 高考总复习数学 4.若a≠b,则等差数列a,x1,x2,b的公差是( 即61-么，=n≥1D.所以数列6，)是以号为首 A.b-a &22 C.b-a 项，以2为公差的等差数列。 3 D. (2)由(1)知1 解析：C[由等差数列的通项公式， la,- }是公差为号的学差数列， 得b=a+(4-1)d, 所 1 1 1 n a,-2a-2十(m-1)·2=2, 所以d0写] 解得a,=2+号 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S。= 36,则a,十ag十ag= 所以教列a,的罐项公式为a,=2+号 A.63B.45 C.36 D.27 9.已知{an}满足aw+1=an十2，而且a1=1,求a 解析：B[由{an}是等差数列，得S3,S6-S,Sg一 解：a+1一a,=2为常数，{an}是首项为1，公差 S6为等差数列.即2(S。一S)=S十(S,一S),得 为2的等差数列，.an=1十2(n-1)=2m-1. 到S,-S6=2S6-3S3=45,故选B.] 1,b= [综合题组练] 6.已知a= _1。,则a,b的等差中项为 5+25-√2 1.已知等差数列{an}的公差d<0,前n项和为Sn,若 S=10a6,则当Sn最大时，n= ) 1 1 A.8 B.9 解析：生中+8巨_5-+5+2 C.7或8 D.8或9 2 2 =3. 解析：D[由S,=10a,可得5x(a,十a+4d 2 答案：3 10Ca,十5d.解得a,=-8d,所以5。=m十n 7.已知两个等差数列{a,}和{bn}的前n项和分别为 A,和B,且安-阳5a∈N).则发十会 1)d= [。21国为40，所以当n =8或9时，Sn最大.故选D. 2.在公差不为0的等差数列{an}中，4a3十a1-3a5= 解析：设An=kn(7n十45)，B,=kn(n十3)，则n> 1,n∈N时，an=An-An-1=k(14n+38),bn= 10,则片a ) 62m+2).则2=78》=，只 A.-1 B.0 C.1 D.2 k(2×7+2) 2’bu 解析：C[通解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由 +-所以+会-号号-号 b,Tb1263 4a3+a11-3a5=10,得4(a1+2d)+(a1+10d)-3 (a1+4d)=10,即2a1+6d=10,即a1+3d=5,故 答案9 a,=5,所以5a=1,故选C 8.已知数列(a.}满足a1=4,a,=4- 4(n≥2， an-1 优解：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an=am n∈N),令b,=,1。 +(n-m)d,所以由4a十a1-3a5=10,得4(a1 a-2 d)十(a4+7d)-3(a4十d)=10,整理得a4=5,所 (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 以a,=1,故选C.门 解：1)证明因为a,=4-4(m≥2)， 3.已知等差数列{am的前n项和为Sn,若a1=1,S an-1 =a5,am=2027,则m= 所以a1-2=2-4=-2(a,-2》(m≥1D. 解析：设等差数列{an}的公差为d,则S,=3a2= an an 3(a1+d).又S3=a5,则3(1十d)=1+4d,解得d 所以1 an 1+1 ‘a,1-22a,-2)-2+a,-2m≥1)， =2.所以an=a1十(m-1)d=2m-1=2027,解得 所以1 11 m=1014. a.+1-2a,-2=2(m≥1)， 答案：1014 ·72· 第五章数列 4.在数列{an}中，an>0,a1=1,2aw+1一an=0. a=a·g=1x() =21m=D=2+1 (1)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=log2am,求数列{bn}的前90项和Sa. (2)6,=l0g2a.,∴.bn=log22w+1=-n+1,当n=1 解：1)2a+1-a.=0,2a1=a.,=2, 时，b1=0,当n=2时，b2=一1，当n=3时，b3= an+l 2,数列为等差数列，S。=90X0+90X89× ",dutl=1 2 1 an =2,即q=2 (-1)=-4005. 5.3等比数列 》 梳理·必备知识 学生用书P64 基础盘点 落实双基 [知识点一]等比数列的有关概念 [基础自测] 1.定义： 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前 (1)满足an+1=qan(n∈N,g为常数)的数列{an}为 一项的比都等于同一个常数（非零）： 等比数列. () (2)符号语言：a出=q(n∈N°，g为非零常数). (2)G为a,b的等比中项台G=ab. () an (3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lgan是等差 2.等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫作a 数列 () 与b的等比中项.即G2=ab. (4)若数列{an}的通项公式是an=a”,则其前n项和 [知识点二]等比数列的有关公式 1.通项公式：a,=a1g1 为S,-a1-a) () 1-a 2.前n项和公式 (5)若数列{an}为等比数列，则S4,S8-S4,S2一S8 nai,q=1, 成等比数列 ( ) S= a(1-9)_a-a9,q≠1. 答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 1-91-9 2.方程x2-5.x十4=0的两根的等比中项是() [知识点三]等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.(m, A号 B.士2 C.土5D.2 1,p,q,r,k∈N*) 解析：B[设方程的两根分别为x1,x2,由根与系 1.若m十n=p十q=2r,则am·an=a。·ag=a,; 数的关系，得x1x2=4,.两根的等比中项为 2.数列am,am+kam+24,am+,…仍是等比数列； ±√1x2=±2.] 3.数列Sm,S2m一Sm,Sm一S2m,…仍是等比数列（此 3.在等比数列{an}中，a,=1,a2=一2，则ag=（) 时{an}的公比q≠-1). A.256B.-256C.512D.-512 [知识点四]常用结论 解析：A[{an}是等比数列，a1=1,a2=-2, 1.等比数列的单调性： 当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时，{an}是递增 “公比q=2=-2,a,=a,g=1X(-2)°=256， a 数列； 所以选A.] 当q>1,a1<0或0<g<1,a1>0时，{an}是递减 4.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S=a2十 数列； 10a1,a5=9,则a1= ) 当q=1时，{an}是常数列. 2.等比数列与指数函数的关系： A号 B-3 c D.-g 当q≠1时，a-2·g,可以看成函数y=cg,是 解析：C[由已知条件及Sg=a1十a2十a3,得a3 9a1,设数列{an}的公比为q,则q=9,所以a=9= 一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列 {an}各项所对应的点都在函数y=cq的图象上. ag=81a,得a=日] 3.等比数列{an}的前n项和S.=A+B·C"台A+B 5.数列{an}中a1=2,am+1=2an,Sn为{an}的前n项 =0,公比q=C(A,B,C均不为零) 和，若Sn=126,则n= ·73·