5.1 数列的概念（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第五章 数列 定义 数列的概念 数列的表示法 数列的分类 通项公式 特征公式 前n项和公式 思维导图 递推公式 数列 定义 通项公式 常见数列 等差数列 前n项和公式 等比数列 中项 性质 5.1 数列的概念 梳理·必备知识 学生用书P57 基础盘点 落实双基 [知识点一]数列 [知识点五]数列的单调性 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简 判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减 记为{an} 数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数 [知识点二]通项公式 列{a}的任意相邻两项之间的大小关系来确定. 1.如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以 1.若an+1一a.≥0恒成立，则数列{an}是递增数列； 用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的 2.若a,+1一an≤0恒成立，则数列{an}是递减数列， 通项公式 3.若a+1一am三0恒成立，则数列{an}是常数列. 2.已知数列{an}的前n项和Sn,则a [基础自测] 1S1,n=1, 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”）. S,-S。-1n≥2. (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个 [知识点三]数列的分类 数列. () 1.按项数分类，项数有限的数列叫作有穷数列，项数 (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不 止一个 () 无限的数列叫作无穷数列. (3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立 2.按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于 的点， () 它的前一项的数列叫作递增数列；从第2项起，每 (4)如果数列{an}的前n项和为S。,则对Vn∈N,都 一项都小于它的前一项的数列叫作递减数列；各项 相等的数列叫作常数列； 有an+1=S+1一Su: ) (5)递推公式也是表示数列的一种方法. 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于 (6)所有数列都有递推公式. ( ) 它的前一项的数列叫作摆动数列. 答案：(1)×(2)/(3)/(4)√(5)/ [知识点四]递推公式 (6)× 如果数列{a,}的第1项或前几项已知，并且数列 2.下列叙述正确的是 {an}的任一项an与它的前一项a,1(或前几项)间 A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类 的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫 B.数列中的数由它的位置序号唯一确定 作这个数列的递推公式。 C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} 递推公式也是数列的一种表示方法. D.同一个数在数列中不可能重复出现 ·65· 高考总复习数学 解析：B[按项的变化趋势，数列可分为递增数列、 解析：C[数列0,2,4,6,8，…的通项公式为an= 递减数列、常数列、摆动数列等数列，A错误：数列 2(n-1).设2(n-1)=2026,解得n-1=1013→n 1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7} =1014.] 是两个不同的概念，C错误；同一个数在数列中可 能重复出现，如2,2,2，…表示由实数2构成的常数 5.若数列{an)的通项公式是a=n2一1，则该数列的 列，D错误；对于给定的数列，数列中的数由它的位置 第10项a1= ,224是该数列的第 序号唯一确定，B正确.] 项. 1 3.数列(a,}的通项公式为a,=2(n-1)(n十1)，则 解析：a1o=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n =15,即224是该数列的第15项. a= A.10 B.12 C.14 D.16 答案：9915 解析：B[由题意，通项公式为a,=2(1-1)(n+1), 6.设数列{a,}满足a1=1,a,=1十1(m∈N*,m>1D, 1 则a,=2×(5-1)X(5+1)=12.故选B.] 则a3= 4.2026是数列0,2,4,6,8，…的 解析：由已知，得a,=1+1=2,4,=1十1=多 a a22 A.第1012项 B.第1013项 C.第1014项 D.第1015项 答案： 》 直击考向 提升·学科素养 学生用书P58 通法悟道 春点一由数列的前几项求通项公式 故所求数列的一个通项公式为a。 [例1]根据数列的前几项，写出下列各数列的一个 2n =(2-1)(2n+1) 通项公式. (1)-1,7,-13,19,… (2②)数列可以成为-。，子号最一器品 (2)0.8,0.88,0.888,… …,则分母为2”，分子为2”一3，所以数列的一个通 [解](1)符号问题可通过（一1）”或（一1）"+1表 示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝 项公式为a,=(-1)2”-3 2r1 对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a 专点二 由a,与$的关系求通项公式 =(-1)"(6n-5). (2)将数列支形为81-0.1)，81-0.01. [例2]若数列{an}的前n项和S,=一2n2十10n,求 数列{an}的通项公式. (.01 8（1一10 1 [解].S.=-2n2+10n, .Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),(n≥2) 通性通法 .当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n2+10n十2(n一 解决由数列的前几项求通项公式此类问题，需 1)2-10(n-1)=-4n+12. 抓住下面的特征： 当n=1时，a1=-2+10=8=-4×1+12. (1)各项的符号特征，通过（一1）”或（一1）”+1来调节 此时满足an=-4n十12， 正负项 .数列{an}的通项公式为am=12-4n. (2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之 通性通法 间的关系。 已知数列{an〉的前n项和Sn,求通项公式的 (3)相邻项（或其绝对值）的变化特征. 步骤： (4)拆项、添项后的特征. (1)当n=1时，a1=S1. (5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律. (2)当n≥2时，根据S,写出Sm-1,化简an=S。 ★跟踪训练 一S-1 1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项 (3)如果a1也满足当n≥2时，am=Sn一S,-1的 公式. 式子， 是高品9 那么数列{an}的通项公式为an=Sn一Sn-1; (2)},1,-5.132961 如果a1不满足当n≥2时，an=S,一Sm-1的 863284… 式子， 解：(1)这是一个分数数列，分母可分解为1×3， 那么数列{an}的通项公式要分段表示为a, 3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻 S1,n=1, 奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数 Sn-Sw-1n≥2. ·66· 第五章数列 ★跟踪训练 专点四“ 数列的函数特征 2.设数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a6的值为 [例4)已知数列{a,)的通项公式为a,=3n十，若数列 20 A.8 B.9 C.10 D.11 {a,}为递减数列，则实数k的取值范围为 解析：D[S。=62+1=37,S=52+1=26,故a6= A.(3,+c∞) B.(2,+∞) S6-S=37-26=11.故选D.] C.(1,+∞) D.(0,十∞) 专点由递推关系求通项公式 [解析] 因为a+1-a,=3n+3+k_3n+k 2"+1 2" [例3]分别求出满足下列条件的数列的通项公式， (1)a1=0,aw+1=an+(2m-1)(n∈N); 3-3n-飞，由数列{a,》为递减数列知，对任意 2n+1 (2)a1=1,an+1=2"an(n∈N*). n∈N,a1一2-3,31<0，所以>3-3别对任 [解](1)an=a1十(a2-a1)+…十(a,-a-1)=0 2+1 +1+3+…+(2-5)+(2n-3)=(n-1)2, 意n∈N恒成立，所以∈(0，+∞).故选D. 所以数列的通项公式为an=（n一1)2 [答案]D (2)由于0=2，故4=2,4=2，… an 通性通法 an a 09 an-1 (1)解决数列单调性问题的三种方法： =2-1, ①用作差比较法，根据an+1一an的符号判断数 将这n一1个等式叠乘， 列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； 得0=2+2++-》=2→，故4，=2→ ②用作商比较法，根据(an>0或a,<0)与1 所以数列的通项公式为口，=2。 的大小关系进行判断； ③结合相应函数的图象直观判断 通性通法 (2)求数列最大项或最小项的方法： 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 ①可以利用不等式组≤a,'(≥2)找到数 构造法◆ 形如a=paa-1tm(p、m为常数，p≠l,m≠0)时， an≥aw+1 ;构造等比数列 列的最大项； 累加法◆ 形如a=aa-1+fn)(fn》可求和)时，用累加法 ②利用不等式组 a-1≥a.'(m≥2)找到数列的 :求解 a,an+i 最小项 累积法→彩如m训可求积）时，用果积法求解 食跟踪训练 食跟踪训练 4.等差数列{an}的公差d<0,且a=a,则数列{an}的 3.在数列{an}中，若a1=2,an+1=an十21，则a 前n项和S,取得最大值时的项数n的值为() A.5 B.6 C.5或6 解析：a1=2,an+1=a,十2"-1→a+1-an=2”-1→an D.6或7 =(a,-a,-1）+(an-1-aw-2)+…+(a-a2)+(a2 解析：C[由a=ai,可得(a1十a1)(a1-a1)= 0,因为d<0,所以a1一a11≠0，所以a1十a1=0,又 -a1)+a1, 2a6=a1十a11,所以a6=0. 则an=2"-2十2m-3+…十2+1十a 因为d<0,所以{am}是递减数列， =12-1 1-2+2=21+1. 所以a1>a2>…>a5>a6=0>a,>ag>…,显然 前5项和或前6项和最大，故选C.] 答案：2”-1十1 》 学生用书P60 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 3.已知数列{an,am-1=mam十1(n>1),且a2=3, 1.下列各项表示数列的是 a3=5,则实数m等于 ( A.△，O,☆，☐ B.2011,2012,2013,…,2026 A.0 R号 C.2 D.5 C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D.a+b,a-b,ab,λd 答案：B 答案：B 4.若数列{an}的通项公式为an=一2n2十25n,则数列 2.已知数列{an}满足a,=4a-1十3，且a1=0,则此数 {an}的各项中最大项是 列的第5项是 ( A.15 B.255 C.16 D.63 A.第4项 B.第5项 答案：B C.第6项 D.第7项 ·67· 高考总复习数学 25)2 解析：C[因为am=-2n2+25n=-2n 2.已知数列{an}的通项公式为an=n2一2n(n∈N), 4 则“入<1”是“数列{an}为递增数列”的 () g5,且aeN, A.充分不必要条件 所以当n=6时，an的值最大，即最大项是第6项.] B.必要不充分条件 5.已知a,-88器那么数列1a是 C.充分必要条件 ( D.既不充分也不必要条件 A.递减数列 B.递增数列 解析：A[若数列{an}为递增数列，则有an+1一am C.常数列 D.摆动数列 >0,即2n十1>2入对任意的n∈N都成立，于是有 解析：A[a,=n+0.99=n-0.99士l.98=1十 n-0.99 n-0.99 3>2以，<号由A<1可掉得入<号包反过来，由 0四因为西装y=1十8g在0.9，十） 1.98 入<号不能得到<1，因此以<1”是“数列（口，}为递 上是减函数，所以数列{an}是递减数列.] 增数列”的充分不必要条件，故选A.] 6.已知数列√3，√7，√1√15，…，则53是该数列的 3.在数列{an}中，已知an=(一1)”十n十a(a为常 第 项. 数)，且a1十a4=3a2,则a1o0= 解析：观察可得数列的一个通项公式是a。= 解析：由题意，得a1=a,a1=5十a,a2=3十a. √4n-1,而5√3=75=/4×19-1，所以5√3是该 因为a1十a4=3a2,所以a十5十a=3(3十a), 数列的第19项」 解得a=-4,所以an=（-1)”十n-4, 答案：19 7.已知数列{an}的通项公式为an=log(2”十1)，则 所以a1o0=(-1)10+100-4=97. a3= 答案：97 解析：.am=log(2”+1),∴.a3=log（23+1) 4.已知数列a,中，a=1,前n项和S=n十2。 3 dn. =1og39=2. 答案：2 (1)求a2,a3; 8.已知数列{an}中，a1=1,n≥2时，an=am-1十2n一1，依 (2)求{an}的通项公式. 次计算a2,a3,a4后猜想an= 解：D由s-号a得3a十a,)=4ae 解析：因为an=am-1十2n-1,a1=1,所以a2=a1十 解得a2=3a1=3. 2×2-1=4,a=a2+2X3-1=9,a1=a3+2X4-1 =16,所以猜想an=n2.故答案为n2. 由S-号a得3a十a十a,)-5a 答案：n 9.若数列{an}的前n项和为Sn,首项a1>0,且2Sn= 解得a,=号a,十a:)=6 a十an(n∈N).求数列{an}的通项公式， (2)当n>1时，有an=S4-Sm-1 解：当n=1时，2S1=a十a1,则a1=1. 当≥2时a,=S.-S1=a-a十a 3aw-1, 2 2 即(an十an-1)(an-aw-1一1)=0→an=-an-1或an 整理得a,-”十1a n-14m-1: =am-1+1, 又a1=1, 所以an=(-1)-1或an=n. 3 [综合题组练] 所以a2=a1, 1.已知数列{an}中a1=1,an=n(an+1一an)(n∈N), 4 则an= d=2a2 … A.2n-1 B.n+1） n a。n02a2a. C.n D.n 解析：C[a,=n(a1a,),而21_n十1，则a 将以上个等式两端分别相乘，整理得 a,-n(n+1) =a,×a.-1X…xaX02=nXn-X…X 2 an-1 an-2 a2a1n-1n-2 当n=1时，满足上式. 多×是=m故逸C] 综上，{a,}的通项公式a,=u(n,1) 2 ·68·