4.4 对数函数（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第四章指数函数与对数函数 4.4 对数函数 >》 梳理·必备知识 学生用书P53 基础盘点 落实双基 [知识点一]对数函数的概念 (3)对数函数的图象一定在y轴的右侧. ( 般地，把函数y=logx(a>0,且a≠1)叫作对数 (4)log (MN)=log M+l0g.N. 函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，十∞)， (5)logax logay =log.(x+y). ( [知识点二]对数函数的图象与性质 (6)对数函数y=log.x(a>0且a≠1)在(0，十o∞)上 对数函数y=1ogax(a>0,且a≠1)的图象和性 是增函数 质如下表： 答案：(1)× (2)/ (3)/ (4)× (5)× (6)× 定义 y=logar(a>0,且a≠1) 2.下列函数是对数函数的是 底数 a>1 0a<1 A.y=In x B.y=In(+1) C.y=log,e D.y=logx x=1 y=logx(a>1) 答案：A 图象 (1,0) 3.函数f(x)=log2(x-1)的定义域是 1,0) A.[1,+∞) B.(1,十o∞) =1 y=log (0<a<1) C.(-∞，1) D.(-∞，1] 定义域 (0,+∞) 答案：B 4.函数f(x)=logx在(0，十o∞)上是减函数，则a的 值域 R 取值范围是 在(0，+∞)上 在(0，+∞)上 A.(0,+∞) B.(-∞，1) 单调性 是增函数 是减函数 C.(0,1) D.(1,+o∞) 解析：C[由对数函数的单调知识易知0<a<1.] 共点性 图象过定点(1,0)，即x=1时，y=0 5.函数y=(3m十1)1ogmx(a>0,a≠1)是对数函数， x∈(0,1)时， x∈(0,1)时， 则2026m= ( 函数值 y∈(-o∞，0)； y∈(0，+o∞)； A.1 B.4 特点 x∈[1，十∞)时， x∈[1，+∞)时， C.2025 D.2026 y∈[0，+) y∈(-∞，0] 解析：A[由于函数y=(3m十1)logx(a>0,a≠ 函数y=logax 与y=log1x的图象关于 1)是对数函数，所以3m十1=1，即m=0,此时 对称性 2026m=2026°=1.] x轴对称 6.函数y=log。(x-1)十2(a>0,且a≠1)的图象恒 [基础自测] 过的定点是 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 解析：当x-2时，函数y=log(x-1)十2(a>0,且 (1)对数函数的定义域为R a≠1)的值为2，所以图象恒过定，点(2,2). (2)y=log2x2与1og,3都不是对数函数， 答案：(2,2) 提升·学科素养 学生用书P54 直击考向 通法悟道 春点一 对数型函数的定艾域 (2)要使函数式有意义，需4x一3>0 1oga.(4.x-3)≥0，解得 [例1幻求下列函数的定义域： 3<x≤1，所以函数y=1Dg(4x-3)的定义城 (1)y=log1-5;(2)y=√1ogo.5(4x-3). 是{<≤ 解)①)要使函数式有意义，需{一≠解得x☐ 通性通法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前 面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种 <1,且x≠0，所以函数y=1oga1-)5的定义域是 函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零； {xx<1,且x≠0}. 二是要注意对数的底数大于零且不等于1. 61· 高考总复习数学 食跟踪训练 (2)因为函数y=log x(a>0,且a≠1)的图象恒过 1.已知函数log6.5(2x-3)>0,求x的取值范围. 点(1,0)，则令x十1-1得x=0,此时y=log(x+ 解：由1oga5(2.x-3)>0, 1)-2=-2,所以函数y=1og(x十1)-2(a>0,且 得2r-3>0 2x-3>0 a≠1)的图象恒过点(0，-2). logo.5(2.x-3)>0=1ogo.51 2.x-3<11 答案：(1)C(2)(0,-2) 即<x<2,所以1og(2x-3)>0的x的取值范 吉点】 比较对数值的大小 [例3]比较下列各组中两个值的大小： 国为（侵2 (1)1og31.9,log32; 专点三 对数函数的图象 (2)1og2 3,logo.32; (3)logaπ，log3.14(a>0,a≠1). [例2](1)对数函数y=1ogax,y=logx,y=logx, [解](1)因为y-logx在(0，十o∞)上是增函数， y=logax在同一坐标系内的图象如图所示，则a, 所以log31.9<1og32. b,c,d的大小关系是 (2)因为1og23>1og21=0,1ogo.32<1oga31=0,所 y=logx 以1og23>logo.32. y=log x (3)当a>1时，函数y=logx在(0，+o∞)上是增 函数，则有logr>1og。3.14; y=logx 当0<a<1时，函数y=log。x在(0，十o∞)上是减 y=logx 函数，则有1og。π<1og。3.14. 综上所得，当a>1时，log.r>log3.14;当0<a<1 (2)y loga 2x+1十2图象恒过定点坐 x-1 时，logx<1og。3.14. 标是 通性通法 [解析](1)在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐 比较对数值大小的常用方法 增大，故a>b>c>d. (1)同底数的利用对数函数的单调性； （2)令2x+1=1,得x=-2,此时y=2, x-1 (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式 通数y=10g2+2注定点（-2,2》 转化； (3)底数和真数都不同，找中间量. [答案](1)a>b>c>d(2)(-2,2) 食跟踪训练 通性通法 3.下列不等式成立的是（其中a>0且a≠1）( (1)对数函数的底与图象变化的关系： A.1og.5.1<1og.5.9 在第一象限内，底数越大，图象越靠近x轴， B.log号2.1>log号2.2 (2)对数型函数过定点问题： C.log1 (a+1)<log.a 求函数y=m十log.f(x)(a>0,且a≠1)的图象 D.logs 2.9<logo.s2.2 过的定点时，只需令f(x)=1求出x,即得定点 解析：B[对于选项A,因为a和1大小的关系不确 为(x,m). 定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不 ★跟踪训练 成立：对于远项B,国为以号为底的对数函数是减画 2.(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y 数，所以成立；对于选项C,因为以1.1为底的对数函 =logx的图象为 数是增函数，所以不成立；对于选项D,log2.9>0, k,新朵 log52.2<0,故不成立，故选B.] 专点四 解对数不等式 [例4]已知log.3(3.x)<1og.3(x十1)，则x的取值 (2)函数y=log.(.x+1)-2(a>0,且a≠1)的图象 范围为 恒过点 解析：1)：a>1,0<1<1,y=a是减函数， A(+） B（-∞，2） a y=logx是增函数，故选C. c(） ·62· 第四章指数函数与对数函数 [解析]A[因为函数y=logo.3x是(0，十∞)上 考点五对数型复合函数的单调性 3x>0 [例5]求函数y=1og。3(3-2.x)的单调区间. 的减函数，所以原不等式等价于 x十1>0，解得 3.x>x+1 [解]由3-2x>0,解得x<号设1=3-2， >J =3-2x是减函数，∴.函数y=1og3(3一2x)在 通性通法 两类对数不等式的解法 (-0,2)上泥增画数，即函数y=1oB3-2) (1)形如logf(x)<logg(x)的不等式. 的单调递增区间是 ,没有单调递减区间」 ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0;② 当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 通性通法 (2)形如log.f(x)<b的不等式可变形为 求复合函数单调性的具体步骤(1)求定义域； (2)拆分函数；(3)分别求y=f(u),u=9(x)的单调 logaf(x)<b=log a". 性：(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>a; ★跟踪训练 ②当a>1时，可转化为0≤f(x)≤a 5.函数f(x)=ln(x2-2x一8)的单调递增区间是 ★跟踪训练 4.己知logb<1og(b-1),则a的取值范围是 A.(-o∞，-2) B.(-∞，1) ( C.(1,+o∞) D.(4,+o∞) A.a>1 B.0<a<1 解析：D[要使函数有意义，则：x2一2x一8>0，解 C.a>b D.a<1 得：x<一2或x>4,结合二次函数的单调性、对数 解析：B[,b>b-1,logb<log(b-1),.y=logx 函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函 在(0，十o∞)上单调递减，.0<a<1.故选B.] 数的单调增区间为(4，十∞)，故选D.] 学生用书P56 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 4.函数y=lg(x十1)的图象大致是 1.(多选题)下列函数为对数函数的是 A.y=logx+1(a>0且a≠1) B.y=log。(2x)(a>0且a≠1) C.y=loga-)x(a>1且a≠2) 答案：C D.y=logax(a>0且a≠1) 5.已知定义域为R的偶函数f(x)在（一∞，0]上是减 答案：CD 函数，且f(1)=2,则不等式f(1og2x)>2的解集为 2.函数f(x)= ,1的定义域是 lg x A.(2,+o∞) a(o,2)U2,+y A.(0,+∞) B.(0,1)U(1,+o∞) C.[0,1)U(1,+∞) D.(1,+o) D.(W2,十∞) 答案：B 解析：B[因为偶函数f(x)在（一∞，0]上是减 3.已知函数f(x)=log(x十1)，若f(a)=1,则a= 函数， ( 所以f(x)在(0，十∞)上是增函数. 又f(1)=2,所以不等式f(1og2x)>2=f(1), A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 即lgx>1,解得0<r<号或>2.] ·63· 高考总复习数学 6.已知函数y=1og。(x-3)-1的图象恒过定点P, 解析：B[由y=log。x(a>0且a≠1)的图象可知 则点P的坐标是 a>1,所以1-a<0.所以y=(1-a)x2十1是开口 解析：y=logx的图象恒过点(1,0)， 向下，顶点为(0,1)的抛物线，故选B.] 令x-3=1,得x=4,则y=-1. 2.(多选题)设函数f(x)=ln(1十x)-ln(1-x),则 答案：(4，-1)》 f(x)是 () 7.函数f(x)=ln(3+2.x一x2)的单调递增区间是 A.奇函数 ,单调递减区间是 B.偶函数 解析：3十2x-x2>0,.x2-2x-3<0. C.在(0,1)上是增函数 .-1<x<3. D.在(0,1)上是减函数 令u=3+2x-x2=-(x2-2.x-3) 解析：AC[由题意可得，函数f(x)的定义域为 =-(x-1)2十4， .当x∈(-1,1)时，w是x的增函数，y是lnu的 （-1,且fx)=l吉1（产，-1小易知y 增函数，故函数f(x)=1n(3十2x-x2)的单调递增 区间是(-1,1).同理，函数f(.x)=ln(3十2.x-x2) -x1在01)上为增函数，故f(x)在(0,1D 的单调递减区间是(1,3). 上为增函数，又f(-x)=ln(1-x)-ln(1十x)= 答案：(-1,1)(1,3) -f(x),故f(x)为奇函数，选AC.] 8.设f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)=e十lnx,则 3.已知函数y=log(2.x-3)十2(a>0且a≠1)的图象恒 f(-1)= 过定点A,若点A也在函数f(x)=3”十b的图象 解析：由题可知，f(一1)=一f(1)=一e.故答 上，则b= 案为-e. 解析：令2x-3=1,得x=2,.定点为A(2,2),将定点 答案：一e A的坐标代入函数f(x)中，得2=32十b,解得b=一7. 9.已知西数fu=log(位+） 答案：一7 4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时， (1)若函数f(.x)是R上的奇函数，求a的值； f(x)=log。(x+1)(a>0,且a≠1). (2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值 (1)求函数f(x)的解析式； 范围. (2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围. 解：(1)若函数f(x)是R上的奇函数， 解：(1)当x<0时，一x>0,由题意知f(-x)= 则f(0)=0, log(-x十1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以 ∴.log2(1+a)=0,∴.a=0. f(-x)=f(x). 当a=0时，f(x)=一x是R上的奇函数. 所以当x<0时，f(x)=log.（-x十1)， 所以a=0. 所以函数f(x)的解析式为f(x) (2)若函数f代x)的定义城是一切实数，则十a>0 (log(x+1),x≥0， loga(-x+1),x<0. 恒成立.即a>一 径成立，由于一∈(-0,0 (2)因为-1<f(1)<1,所以-1<1og2<1, 故只要a≥0，则a的取值范围是[0，十o∞). 所以logaa 1<log,2<loga. [综合题组练] <2 1.已知函数y=logx(a>0且a≠1)的图象如图所 ①当a>1时，原不等式等价于 a ,解得a>2; 示，则函数y=(1-a)x2+1的图象大致是( a>2 ②当0<a<1时，原不等式等价于 a<2 解得0<a<立， 1 综上可得，实数a的取值范围为 ·64