4.3 对数及其运算（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第四章指数函数与对数函数 4.3对数及其运算 》 梳理必备知识 学生用书P50 基础盘点 落实双基 [知识点一]对数 (2)1og。N =logM-logN,即商的对数等于对数 1.指数式与对数式的互化及有关概念： 的差 2.底数a的范围是a>0,且a≠1. (3)logM"=nlog,M(n∈R),即指数幂的对数等于底 以a为底 指数 数的对数的指数倍 N的对数 真数 2.对数的换底公式：logN=log -(b>0,且b≠1；c> logb a'=N←≥ loga N=x 0,且c≠1；N>0). [基础自测] 底数 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“X”) [知识点二] 常用对数与自然对数 (1)logN是log。与N的乘积. 常见的 常用对数 Ig N 以10为底 (2)(-2)3=-8可化为10g-2)（-8)=3. (3)对数运算的实质是求幂指数、 ) 对数 自然对数 lnN一以e为底 (4)在b=1og3(m一1)中，实数m的取值范围是 (1,+∞). [知识点三]对数的基本性质 答案：(1)×(2)×(3)√(4)/ 1负数和零没有对数， 2.把指数式a=N化为对数式是 2.1og。1=0(a>0,且a≠1). A.logia=N B.log,N=b 3.loga-1(a>0,且a≠1). C.logxb=a D.logva=b 解析：B[根据对数定义知a=VN台logN=b.] 4.对数恒等式aN=N(a>0且a≠1，N>0). [知识点四]对数的运算性质 3若g23-1,则x=—若1og2x-D=0. 1.对数运算的三条性质：如果a>0且a≠1，M>0, 则x N>0,那么： 解析：若log3 2.3=1,则2x23=3,即2x-3 3 3 (1)log.(MN)=logM+logN,即积的对数等于对数 9,x=6;若log(2x-1)=0,则2x-1=1,即x=1. 的和. 答案：61 》 学生用书P50 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点一指数式与对数式的互化 (2)①由10g2x=- 得2=号 [例1] (1)根据对数定义，将下列指数式写成对 数式 ②由l0g25=2,得x2=25.,x>0,且x≠1，∴.x=5. ①3= 64:lge7 ③由10gx2=2,得x2=52,.x=土5.52=25> ④ln10=x. 0,(-5)2=25>0,∴.x=5或x=-5. (2)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 通性通法 的值 指数式与对数式互化的思路 ①log2x= 2:@1og.25-=2:③ogx=2. (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数 [解](1)①1og27=x:②log64=x: 作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数 ③16-2@e=10. 作为指数，底数不变，写出指数式. ·57. 高考总复习数学 ★跟踪训练 (2)由-lne3=x,则lne3=-x. .er=e3,x=-3. 1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式 (1)43=64;(2)lna=b:(3 (8)由log4=1log4=3=4,=3 =n; .4= (4)1g1000=3. 31 解：(1)因为43=64，所以10g464=3 4+4x=3+ 110 331 (2)因为lna=b,所以e=a; (4)设t=log32,则3=2，∴.f(1og32)=f(t)=3 (3)因为2 1 =n,所以log号n=m; =2. (4)因为1g1000=3,所以103=1000. [答案] (2)-3(3)10 (4)2 2.(1)求下列各式的值： 通性通法 ①log81= .②log.41= (1)将对数式化为指数式，构建方程转化为指数 ③lne2= 问题. 解析：①设log81=x,所以9=81=92，故x=2,即 (2)利用幂的运算性质和指数的性质计算 l1og81=2;②设log.41=x,所以0.4=1=0.4°，故x 食跟踪训练 =0,即log.41=0;③设lne=x,所以e'=e2,故x 3.方程log2x= =2,即lne2=2. 2的 答案：①2②0③2 A.2 c号 D.√2 (2)求下列各式中x的值： ①1ogz=-号②1og,8=6:@g100- 解析：D[方程log2x= 2,化为：x=2=2.故 1 选D.] ④-lne2=x. 告点写 对数基本性质的应用 解：①由l0g64x= 号得x=64=4- [例3](1)求下列式子值： =4- D2023+2logs 1-3l0g,7+31n 1= ②92og,4= ②由l0g,8=6,得x6=8,又x>0,即x=8=23× [解析]①原式=3+2×0-3×1十3×0=0. =√2； ②9g,4=(9立)，4=3o,4=4. ③由lg100=x,得10=100=10，即x=2; [答案]①0②4 ④由-lne2=x,得lne2=-x,所以er=e2,所以 (2)求下列各式中的x的值： x=2,即x=-2. ①log2(1og3x)=0; 专点三利用指数式与对数式的互化求变量的值 ②log(1og2x)=1. [解]①因为l1og2(1ogx)=0, [例2]求值： 所以l0gx=1,所以x=3. (1)1og2x=- 3,则x ②因为l0g(1og2x)=1,所以log2x=5, 所以x=25=32. (2)若-lne3=x,则x= 通性通法 (3)若xl0g4=1,则4'+4'= 利用对数性质求值的方法 (4)若f(x)=3,则f(1og2)= (1)性质log1=0,loga=1(a>0,且a≠1). C解析])由1og=一号，可得=2克， (2)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求 log(1ogc)的值，先求logc的值，再求1og.(1og6c) 的值. ·58· 第四章指数函数与对数函数 ★跟踪训练 食跟踪训练 4.求下列各式中的x的值： 6.计算：(1)2logs3+log。4; (1)logs [log,(log2x)]=0; (2)1g25-1g4 ÷100. (2)log2[1og3(1og2x)]=1. 解：(1)原式=1og632+10g64=1og(32×4)=1og6 解：(1)由log[1og7(1og2x)]=0,得log(1og2x)= =21og6=2. 1,所以1og2x=7,所以x=2=128. 25 (2)由log2[1og3(log2x)]=1,得log3(log2x)=2, (2)原式=lg ÷102×(-)=1g102÷10 所以10g2x=32,所以x=2°=512. =2×10=20. 5.化简求值： (1)71-1s,5;(2)100(2g9-g2）. 春点五 对数换底公式的应角 解：1)原式=7X75=7=7 [例5]计算：(1)log29·log34; 71,5=51 (2)log /2Xlog,9 (2)原式=1002g9X100g2=10g9 100g2 1og日×1og,海 =9× 102=9X,19 1 [解] (1)原式=1g9.1g4=1g3·1g2 10=4 lg21g3lg2·lg3 专点四】 对数运算性质的应用 21g3·2g2=4. lg2·lg3 [例4幻求下列各式的值： (2)原式= log:√2 log,9 1 log4 =log1V2·logr9 (1)1og345-1og35; 3 (21g25+号lg8+1g5×1g20+lg2. Ig 2.Ig 9 2lg2·21g3 [解] 11og45-1og,5=1gg-10g9=1og3 lg 4 g3…g2 2 =2. 通性通法 (2)原式=21g5+21g2+1g5(21g2+1g5)+ (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆 (1g2)2=21g10+(1g5+1g2)2=2+(1g10) 用以及变形应用， =2+1=3. (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与 对数式统一成一种形式. 通性通法 用对数的运算法则及性质进行部分 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法： 思路 运算→换成同一底数 (1)基本原则： 一次性统一换为常用对数（或自然对 思路 数)→化简、通分、求值 ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种 0。-4。。4-。-。。--小…。 策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便 ★跟踪训练 于真数化简的原则进行. 1 7.1og:251og.8 ·log9 (2)两种常用的方法： 1 1 1 ①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的 1g25.1g8lg9 对数. 解析：原式=1g2·1g3·1g5 ②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的 =（-21g5)·（3lg2)·(-21g3）=-12. 1g 21g 31g 5 和（差）. 答案：-12 59· 高考总复习数学 》 学生用书P52 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] 解：(1)原式=21+0十2=2十2=4. 1.对于下列说法： (2)原式=3e,4-1+2°=4-1+1=4. (1)零和负数没有对数： [综合题组练] (2)任何一个指数式都可以化成对数式： 1.计算1og29×1og4+21og10十1og0.25=( (3)以10为底的对数叫作自然对数： A.0 B.2 C.4 D.6 (4)以e为底的对数叫作常用对数. 解析：D[log29×log4+2log10+log0.25= 其中错误说法的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 20g3X88,3+1og402x0.25)=4+2=6 答案：C 2.已知正实数a,b,c满足log2a=log3b=logc,则 2将（） =9写成对数式，正确的是 () A.a=bc B.b2=ac A.logo3 =-2 B.log:9=-2 C.c=ab D.c2=ab C.log1(-2)=9 D.1og,(-2》-3 解析：C[设log2a=logb=log6c=k,则a=2, b=3,c=6,所以ab=2·3=(2X3)=6=c.] 答案：B 3.(2023·春招，10)不等式log2|x-1>1的解集是 3.若10=lgb=c,则a,b,c的大小关系为( A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<a<c A.(-1,+∞) 解析：B[令a=1,则b=101°，c=10,a<c<b,排 B.(-∞，-1) 除ACD.故选B.] C.(-o∞，-1)U(3,+∞) 4.34-27-lg0.01+lne3= ( D.(-∞，3)U(3,+∞) A.14 B.0 C.1 D.6 解析：C[1og2x-1>log22,:底数2>1， 答案：B .x-1>2,解得x<-1或x>3,故选C.] 5设2=5=m,且日+方2，则m 4.已知函数f(x)=x3+alog3x,若f(2)=6,则 ( a A.W10 B.10 C.20 D.100 ) 解析：A[由2=5=m,得a=log2m,b=logm, 所以日+6=1og.2+1og5=1og.10=2.所以m 解析：由f(2)=8十alog,2=6,解得a=一1og2' =√10.] 所以f()=g+alog-g--alog2 6.方程1g(2x-3)=1的解为 2 解析：由1g(2x-3)=1知2x-3=10,解得x= 2 答案号 答案号 5.计算下列各式的值： 7.在对数式y=log,-2,(4一x)中，实数x的取值范围 是 +√1-√3)2： ,4-x>0 解析：由题意可知 x-2>0,解得2<x<4 (2)计算：1g2+lg5-0.125+1n1+1cg(2)》 x-2≠1 +(1+√2026)°. 且x≠3. 答案：(2,3)U(3,4) 解：原式=（）×()+-1 8.计算(1g2)2+lg2×lg50+lg25的结果 为 ×+3-1= 解析：原式=lg2(1g2+lg50)+1g52=lg2× 1g100+2lg5=2(1g2+1g5)=21g10=2. (2lg2+1lg5-0.125+1n1+1og(2） +(1+ 答案：2 9.计算下列各式： √/2026)°=1g(2×5) +0十4log22 +1 (1)2me+1g1十3lo32; (2)3-lg10+2a1. =1g10-号 -4+1=1- 号-4+1=- 5 2 ·60·