4.2 指数函数（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第四章指数函数与对数函数 4.2指数函数 梳理·必备知识 学生用书P47 《✉ 基础盘点 落实双基 [知识点]指数函数及其图象和性质 2.函数y=(W3-1)F在R上是 ( 1.(1)一般地，函数y=a(a>0且a≠1)称为指数函 A.增函数 B.奇函数 数，其中a是常数，a>0且a≠1. C.偶函数 D.减函数 (2)指数函数y=a(a>0且a≠1)具有下列性质： ①定义域是(-∞，十∞). 答案：D ②值域是(0，十∞)，即对任何实数x,都有a'>0, 3.设f(x)=a”,且f(1)=2,则f(0)+f(2)= 也就是说函数图象一定在x轴的上方. ③函数图象一定过点(0,1). A.4 B.5 C.6 D.7 ④当a>1时，y=a'是在R上是增函数；当0< 解析：B[由题意，函数f(x)=a,因为f(1)=2, a<1时，y=a是在R是减函数 可得f(1)=a=2,解得a=2,即f(x)=2,所以 ⑤指数函数的图象 f(0)+f(2)=2+2=5.故选B.] (01) yy=a(a>1) 4.函数y=(a一2)a是指数函数，则 (0,1) A.a=1或a=3 B.a=1 0,i访 C.a=3 D.a>0且a≠1 0 x 0 答案：C 底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的 5.已知函数y=f(x)是偶函数，当x∈(0，十∞)时，y “升”与“降”.当a>1时，指数函数的图象是“上 升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下 =a'(0<a<1),则该函数在（一∞，0）上的图象大 降”的. 致是 2.指数函数解析式的3个特征 (1)底数a为大于0且不等于1的常数. (2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1. (3)a的系数是1. [基础自测] 解析：B[由指数函数可知y=a(0<a<1)在 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)函数y=3·2与y=2+1都不是指数函数. (0,十∞)上图象为 ,所以f(x)在 ( (2)函数y=a是R上的增函数， (3)函数y=a+H(a>1)的值域是(0，+o∞).( ) (4)函数y=21是指数函数. (-∞，0)上的图象是 ,故选B.] (5)若a"<a”(a>0,且a≠1)，则m<n. ( (6)y=x2是指数函数. 6.函数f(x)=2+3的值域为 答案：(1)/(2)×(3)×(4)×(5)× (6)× 答案：(3，十∞) ·53· 高考总复习数学 ) 提升·学科素养 学生用书P47 《 直击考向 通法悟道 专点一 比较指数幂的大小 专点二求解含有指数幕的函数定艾域或不等式] [例1]比较下列各题中的两个值的大小 (1)0.80.1,1.25.2; [例2] 求函数y 16 64的定义域. 2): [解] 根据题意得 16 64≥0， (3)0.23,(-3)0.2 即(6 ≥64，化简整理得2≥2，所以一4x≥6， [解] )为0.81=（售）=() 解得x≤ 3 1.250.2 () 所以函数 y 16 64的定义域 又指数函数y 为增函数，且0.1<0.2， 所以(<() 为-∞，-2] 1 ,即0.8-0.1<1.252 通性通法 =π>π°=1， 函数的定义域一般从以下几个方面考虑： (3)0.23>0.2°=1，(-3).2=(-3)5=9-3<0， (1)分式的分母不为零； 所以0.23>(-3).2」 (2)偶次根号Va(n∈N*,n≥2，n为偶数)中，a≥0： (3)零的零次方没有意义。 通性通法 比较指数幂大小的常用方法 食跟踪训练 是单调性法，不同底的指数函数化同底后就 2.已知函数f(x)=2-1 可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化 (1)求函数f(x)的定义域； 同底的尽可能化同底 (2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明； 二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数 (3)解不等式f(x)≥4. 比较大小时，先与中间值（特别是0,1）比较大小，然 解：(1)易知函数f(x)=2-1,x∈R. 后得出大小关系。 所以定义域为R 三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面 直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较 (2)由f(-x)=2--1=2-1=f(x),从而知 大小 f(x)为偶函数， (3)由条件得2-1≥4=2，得x2-1≥2，解得x≥ ★跟踪训练 √3或x≤-√3. 1.比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5与1.73； 所以不等式的解集为：{xx≥3或x≤一√3}， (2)0.85与0.85； 专点三指数函数的值域及最值问题 (3)1.703与0.93.1 [例3]求下列函数的定义域、值域. 解：(1)（单调性法）由于1.73与1.7.5的底数是1.7， 1十3(2)y=4-2+1. 3 故构造函数y=1.7,而函数y=1.7在R上是增 (1)y 函数.又2.5<3，.1.75<1.7. [解](1)，对一切x∈R,3≠一1， (2)(单调性法)由于0.8与0.8的底数是0.8， “西盘的定义装为取y片-1中g 故构造函数y=0.8,而函数y=0.8在R上是减 1+3r 又.3>0,1+3>1， 函数 又-√2>-5，所以0.8<0.8 0<, 1+3<1-1< <0, 1+3 (3)(中间量法)由指数函数的性质，知0.93.1<0.9 =1,1.78.1>1.7°=1，则1.73.1>0.93.1 01-1g <1,.值域为(0,1). ·54 第四章指数函数与对数函数 (2)函数的定义域为R, 通性通法 =2-+1-(2-)+ 求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 (1)形如y=a)(a>0,且a≠1)的函数求值域时， .2>0,.2= 2,即x=一1时，y取最小值3 要借助换元法：令u=f(x),先求出u=f(x)的 同时y可以取一切大于的实数， 值域，再利用y=a”的单调性求出y=a的 值域。 (2)形如y=a(a>0,且a≠1)的函数单调性的判 通性通法 断，首先确定定义域D,再当a>1时，若f(.x)在 要熟悉指数函数的图象和性质，对一些简单的 区间(m,n)上，其中(m,n)二D 复合函数可以用换元法，但要注意换元后的范围。 具有单调性，则函数y=a在区间(m,n)上的 ★跟踪训练 单调性与f(x)在区间(m,n)上的单调性相同； 3.函数f(x) 在区间[-2，一1]上的最小值 当0<a<1时，若f(x)在区间(m,n)上，其中 为 (m,n)二D具有单调性，则函数y=a在区间 解析：，f(x)在[-2，-1]上单调递减， (m,n)上的单调性与f(x)在区间(m,n)上的单 ∴.f(x)mm=f(-1)= 2 =2, 调性相反.以上概括为同增异减。 故答案为：2 ★跟踪训练 答案：2 专点四指数型复合函数的相关问题 4.函数f(x) 的值域是 [例4幻若<4'+1对一切实数x都成立，则实数 2(x≥-1) 的取值范围是 [解析]k<4+1对一切实数x都成立， 解析：当x<一1 )(2)>()'=2 即k<(45+1)mim, 当x≥-1时，f(x)=2. 因为4>0，所以4”+1>1，所以k≤1. .f(x)的值域为[2，十∞). 故答案为：（一0∞，1]. 答案：[2，+∞) [答案](-∞，1] 分层训练 突破·高效演练 学生用书P49 高效提能 [基础题组练] 解析：C[,y=2在R上单调递增，.y=2在 1.函数y=√2-1的定义域是 ( [2,a]上单调递增，∴.当x=2时，y=2取得最小 A.(-0∞，0) B.(-o∞，0] 值为4；当x=a时，y=2取得最大值为2”，.2 C.[0,+∞) D.(0,+∞) 4=4,解得：a=3.故选C.] 解析：C[由2-1≥0，得2≥2°，所以x≥0.] 4.若2+1<1，则x的取值范围是 2.下列判断正确的是 A.2.525>2.5 B.(-1,+∞) B.0.82<0.83 A.(-1,1) C.(0,1)U(1,+∞) D.(-o∞，-1) C.元2<√π D.0.9.3>0.9. 解析：D[因为y=0.9是减函数，且0.5>0.3， 解析：D[,2+1<1=2°，且y=2”是增函数， 所以0.93>0.9.5.] x+1<0,x<-1.] 3.若函数y=2在区间[2，a]上的最大值比最小值大 5.函数y= 1 、2 的单调增区间为 4,则a= A.1 B.2 A.R B.(0,十∞) C.3 D.4 C.(1,+∞) D.(0,1) ·55· 高考总复习数学 解析：A[令u(x)=1-x,则u(x)在R上是减函 解析：C[设1=+2x-1,则y=（).因为 数，又y= 在R上 0<<1,所以y=(2)】 为关于t的减函数.因为 单调递增，故选A.] 6.已知函数f(x)=4+2a1的图象恒过定点P,则 t=(x十1)2-2≥-2，所以0<y ()<() 点P的坐标是 ( =4,故所求函数的值域为(0,4].] A.(1,6) B.(1,5) 2.已知a,b∈(0,1)U(1,+o∞)，当x>0时，1<b< C.(0,5) D.(5,0) a,则 ( 解析：A[由x-1=0,得x=1,f(1)=4+2a°=6. A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 所以函数f(x)=4十2a1的图象恒过定 C.1<b<a D.1<a<b 点(1,6).] 解析：C[因为x>0时，1<b,所以b>1.因为 7.若-1<x<0,a=2,b=2,c=0.2,则a,b,c的 大小关系是 >0时，6<d,所以x>0时，合 >1.所以2>1， 解析：因为一1<x<0,所以由指数函数的图象和性 所以a>b.所以1<b<a.故选C.] 质可得：2<1,2>1,0.2>1， 3.函数f()=4的定义域为 又因为0.5<0.22，所以b<a<c. 3-9 答案：b<a<c 2-4≥0， 解析：由 解得x>2. 8已知a=5。,函数)=《，若实数m,满足 3-9≠0， 所以函数f(x)的定义域为(2，十). f(m)>f(n),则m,n的大小关系为 答案：(2，十∞) 解析：a=52e01Df)=d在R上是 4.已知函数f(x) ,a为常数，且函数的图象 减函数，又f(m)>f(n),.m<n. 过点(-1,2). 答案：m<n (1)求a的值； 9.已知指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)， (2)若g(x)=4-2,且g(x)=f(x),求满足条件 过点(2,4). 的x的值. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(2m一1)一f(m+3)<0,求实数m的取值 解：(1)由已知得 =2.解得a=1. 范围 (2)由1)知✉)-(2 解：(1)将点(2,4)代入f(x)=a,得4=a,a=2, 故f(x)=2. 又g)=f(,则4'-2-(2 (2):2>1,∴.f(x)是增函数，f(2m-1)-f(m十 3)<0,即f(2m-1)<f(+3),2m-1<m十3，m 所以(-(2)-2=0， <4,所以m的取值范围是m<4. 令（合）=1，则>0-1-2=0. [综合题组练] 即(t-2)(t+1)=0, 1.函数y 2 的值域是 又>0，故1=2，即)=2.解得x=-1 A.(-∞，4) B.(0,+∞) 故满足条件的x的值为一1. C.(0,4] D.[4,+o∞) ·56·