4.1 实数指数（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第四章 指数函数与对数函数 实数指数 负指数 分数指数 指数 根式 指数函数 定义 图象 性质 思维导图 指数与对数 定义 对数 对数的性质 恒等式 常用对数 对数 自然对数 定义 对数函数 图象 性质 4.1 实数指数 》 梳理·必备知识 学生用书P44 基础盘点 落实双基 [知识点一]n次方根、n次根式 [知识点四]有理数指数幂的运算性质 1.a的n次方根的定义：一般地，如果x”=a,那么x 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数 叫作a的n次方根，其中n>1,且n∈N*. 幂，即： 2.a的n次方根的表示： 1.a'a'=a+s(a>0,r,s∈Q)； 2.(a)=a(a>0,r,s∈Q); a的n次方根 n的奇偶性 a的取值范围 3.(ab)'=a'b(a>0,b>0,r∈Q). 的表示符号 [知识点五]无理数指数幂 n为奇数 a a∈R 般地，无理数指数幂a(a n为偶数 土a [0,+∞) >0,a是无理数)是一个确 定的实数.有理数指数幂的 -3-2-1 3.根式：式子a叫作根式，这里n叫作根指数，a叫作 运算性质同样适用于无理数 被开方数 指数幂。 [知识点二]根式的性质 常用的几个幂函数的图象， 1.0=0(n∈N*,且n>1); 如下 2.(a)"=a(n∈N*,且n>1)； [基础自测] 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） 3.a=a(n为大于1的奇数)； (1)任意实数的奇次方根只有一个. 4.a"=|al= a20,(n为大于1的偶数). (2)当n∈N*时，（一16）”都有意义 ( l-a,a<0, (3)W(3-π)7=x-3. ( [知识点三]分数指数幂 (4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式. 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：a”=am(a>0, ( m,n∈N*,且n>1); (5)分数指数幂a是可以理解为个a相乘.( 2.规定正数的负分数指数幂的意义是：4普=1 (a>0, (6)0的任何指数幂都等于0. m,n∈N*,且n>1)； (7)函数y=2x是幂函数 () 3.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有 (8)当n>0时，幂函数y=x"在(0，十∞)上是增 意义 函数 ( ·50· 第四章指数函数与对数函数 (9)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是 解析：C[当m<0时，9m没有意义，其余各式均 原点 有意义.] 答案：(1)/(2)×(3)/(4)/(5)× (6)X(7)×(8)/(9)/ 4计算：+2×(2) 2.16的运算结果是 答案：号 A.2 B.-2 C土2 D.±√2 5.若x3=-5,则x= 解析：A[16=2=2.] 解析：x3=-5,则x-一5=-5. 3.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是 ( 答案：一5 6.若x=3,这样的x有几个，如何表示？ Avm B.m Cm D.m 解：有2个，表示为土 学生用书P45 直击考向 提升·学科素养 通法悟道 专点二 n次方根的概念问题 ★跟踪训练 [例1](1)27的立方根是 ;16的4次方根 2.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( 是 A.-√x=(-x) (x>0) (2)已知x=2016,则x= B.=y(y<0) (3)若x十3有意义，求实数x的取值范围 为 c.- [解析](1)27的立方根是3；16的4次方根是士2. (2)因为x5=2016,所以x=土92016. D.x京=-x(x≠0) (3)要使x+3有意义，则需要x十3≥0，即x≥一3.所 解析：C[-√=一x(x>0)；=[(y)] 以实数x的取值范围是[一3，十∞). =-y(y<0); [答案](1)3±2(2)±92016 (3)[-3,+∞) =)>0x 通性通法 n次方根的个数及符号的确定 -()广Fx≠0.] (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； 专点三利用分数指数幕的运算性质化简求值】 (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号. [例3](1)求值：0.064青 ★跟踪训练 ()+ 1.已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子： [(-2)3]+160.5+[(-0.1)2]时 ①9(-3)；②a;③9(-5)可；④9-a,其中 (2)化简a√a÷as.a÷a·√a 无意义的有 ( ) (a>0). A.1个B.2个C3个 D.0个 [解](1)原式=(0.43)寸-1十(-2)4+ 解析：A[①中（一3）2m>0,所以(-3)有意义， ②中根指数为5有意义，③中(-5)2+1<0，因此无 (2)+(0.1)=0.41-1+6+日+0.1 意义，④中根指数为9，有意义.选A.] =143 吉点三根式与分数指数幕的互化 80 [例2]用分数指数幂的形式表或下列各式a2· (2)原式-a·a÷√a.a÷a·a a(a>0)Waa(a>0). =F÷a÷a7=a3÷(a)÷a [解]a2.a=a2·a=a2+号=a. =a子÷a景÷a号=a导景+号=u=a √aa-√a·a=√a=(ai)i=a. 通性通法 通性通法 进行指数幂运算时，有根式的，先将根式化成分 (1)根指数化为分数指数的分母，被开方数（式）的指 数指数幂的形式，可将系数、同类字母归在一起，分 数化为分数指数的分子. 别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运 (2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数， 算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为 般由里向外用分数指数幂依次写出. 简的目的. 51· 高考总复习数学 食跟踪训练 的为 解析：C[因为x≠0，所以x一√+ x 3.若x≠0，则1x-√是+ zl-zl+ii =1.故选C.] A.-1 B.0 C.1 D.2 》 突破·高效演练 学生用书P46 《 分层训练 高效提能 [基础题组练] 解：(1)：x<0,.原式=x-x+二x=-1, 1.下列说法正确的个数是 x ①16的4次方根是2；②16的运算结果是±2： (2)√x2-2x+1-√x2+6x+9=√(x-1)2- ③当n为大于1的奇数时，a对任意a∈R都有意义； √/(x+3)=|x-1|-|x+3|,当-3<x≤1时， ④当n为大于1的偶数时，Wa只有当a≥0时才有 原式=1-x-(x十3)=-2x-2.当1<x<3时， 意义 原式=x-1-(x+3)=-4. A.1 B.2 C.3 D.4 1-2x-2,-3<x≤1， 因此，原式= 答案：B {-4,1<x<3. 2.已知m1°=2，则m等于() [综合题组练] A.192 B.-2C√2 1.下列各式正确的是 D.±2 答案：D A.Va=a B.9-2)7=-2 3.把根式aa化成分数指数幂是 ( C.a°=1 D.V(2-1)5=√W2-1 A.(-a) B.-(-a)号 答案：D C-a￥ D.a 2.已知a>0,则Na√a√a化为 答案：D A.a B.a C.a D.a 4计邦() 答案：B 3.已知√(4a十1)=-4a-1,则实数a的取值范 A.} 3 B. C. D.3 围是 答案：B 解析：，√(4a十1)=4a+1=-4a-1, 4a+1≤0，.a≤- 1 5.若x<y,则√x-2xy十y的值为 4 A.x-y B.y-x C.lyl-lzl D.土(x-y) 答案：B 4.厦)= 6.√（π-4）产+√（π-3） 答案：a 解析√（π-4）+（π-3）=4-元十x-3=1 5.计算下列各式： 答案：1 7.设x<0,则（√/一x)2= (g)×(看)+8×拒+2x: 解析：x<0,.-x>0,.(-x)2=-x. 5.xy 答案：一x "可 8.计算16= 答案：8 屏展式-侣) X1+(23)宁×2+(2)6 9,计算：化简。·派·（日） ·a的结果是 ×(3)5=2十2是+7+22X33=112. 5.xy 答案：a 5×(-4)× 10.(1)若x<0,求x十x+的值. (9)××y”=2r (2)若-3<x<3,求√x2-2x+1-√x2十6.x+9 的值. =24y. ·52.