3.6 函数的应用（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 3.6 函数的应用 》 基础盘点 梳理·必备知识 学生用书P40 落实双基 [知识点一] 常见的函数模型 A.y=0.2x(0≤x≤4000) 名称 解析式 条件 B.y=0.5x(0≤x≤4000) 一次函 C.y=-0.1.x+1200(0≤x≤4000) 数模型 y=kx+b k≠0 D.y=0.1x+1200(0≤x≤4000) 反比例 答案：C 函数模型 y=+b k≠0 3.已知某停车场规定：停车时间在3小时内，车主需 交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主 二次函 般式：y=ax2+bx+c顶点式 要多交3元，不足1小时按1小时计算.一辆汽车在该 2 数模型 b y=ax+2a】 4ac-b2 a≠0 Aa 停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车 费为 幂函数 a≠0， 模型 y=ax"+b n≠1 A.16元 B.18元 C.20元 D.22元 这个模型实则是以上两 分段函 解析：C[由已知得7小时20分钟按8小时计算， 种或多种模型的综合， 数模型 所以停车费为5十(8一3)×3=20元.故选C.] 应用也十分广泛 4.某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套) [知识点三 函数模型解决实际问题的基本思路 之间的函数关系式y=6x+30000,而出厂价格为 实际问题 数学对象 数学模型 每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒 推理或 演算 实际问题的解 评价 解释 数学模型的解 A.2000套 B.3000套 基础自测] C.4000套 D.5000套 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 解析：D[因利润之=12x-(6.x+30000), (1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的 所以之=6.x-30000, 性质 ( ) 由x≥0解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000 (2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数 套.故选D.] 的单调性. ( 5.某物体一天内的温度T是时间t的函数关系式 答案：(1)/(2)√ T(t)=t3一3t十60，时间单位是h,温度单位为℃， 2.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆 次，存车费：电动自行车0.3元/辆，普通自行车 t=0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度 0.2元/辆.若该天普通自行车存车x辆次，存车费 为 ℃ 总收入为y元，则y与x的函数关系式 ( ) 答案：8 提升·学科素养 学生用书P40 直击考向 通法悟道 专点一二次函数、二次函数模型 (1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数 [例1]商场销售进价为30元的商品，在销售中发现 (x,y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式 商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下 y=f(x); 关系： (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述 关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售 销售单 30 40 45 50 单价x为多少时，才能获得最大日销售利润。 价x(元) 日销售 [解](1)在平面直角坐标系中画出各点，如图. 60 30 15 量y(件) 这些点近似地分布在一条直线上，猜想y与x之间 的关系为一次函数关系， ·46. 第三章函数 设f(x)=kx十b(k≠0，且k,b为常数)， 专点三 分段函数模型 则/60=30k+6 [例2]某种商品在近30天内每件的销售价格 30=40k+b P(元)和时间t(天)的函数关系为 解得3 P= 1t+20,0<t<25 (t∈N) 1b=150 0-t+100,25≤t≤30 .f(x)=-3.x+150,经检验，点(45,15)，点(50,0) 设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关 也在此直线上..y与x之间的函数解析式为 系为Q=40-t(0<t≤30，t∈N*),求这种商品的 y=-3.x+150(30≤x≤50). 日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第 几天？ 60 [解]设日销售金额为y(元)，则y=PQ, -t+20t+800,0<t<25 所以y= (t∈N*) 30 {t2-140t+4000,25≤t≤30 20 ①当0<t<25且t∈N*时，y=-(t-10)2+900, 0102030405060x 所以当t=10时，ymx=900. ②当25≤t≤30且t∈N*时，y=(t-70)2-900,所 (2)由题意，得P=(x-30)(-3x+150)=-3.x2十 以当t=25时，ym=1125.结合①②得yx= 240x-4500=-3(.x-40)2+300(30≤x≤50). 1125. ∴.当x=40时，P有最大值300.故销售单价为40 因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且 元时，日销售利润最大 在第25天时日销售金额达到最大。 通性通法 通性通法 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位. 分段函数的注意点：建立分段函数模型的关键 利用二次函数求最值时应注意： 是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间， (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可 对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式. 利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等 ★跟踪训练 方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、 2.某车间生产一种仪器的固定成本为10000元，每 用料最省等最值问题. 生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入 (2)判断：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 满足函数关系式 400x-x2,0≤x≤200，x∈N, ★跟踪训练 H(x)= 40000,x>200,.x∈N, 1.用一根长为1的铁丝制作一个如 其中x是仪器的月产量： 图所示的框架，上半部分为半圆 (1)将利润表示为月产量的函数（用f(x)表示）： D 形，下半部分为矩形，若AB=2x, (2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润 此框架的面积为y,求y与x之间 为多少元？（总收入=总成本十利润） 解：(1)设每月产量为x台，则总成本为t=10000 的函数关系式，并求出其定义域 +100x.又f(x)=H(x)-t, 解：由题意得2x十2AD|十πx=l,解得|AD| ∴.f(x)= 1-x2+300x-10000,0≤x≤200，x∈N 合受x一x,所以此框架的面积y=x2十 30000-100.x,x>200,x∈N (2)当0≤x≤200时，f(x)=-(x-150)2+ 侵-吾-小2x=-+引}+1.因为号 12500,所以当x=150时，有最大值12500： 当x>200时，f(x)=30000-100.x是减函数， 2x->0,x>0,所以0<x<2十元所以y与x f(x)<30000-100×200<12500. 所以当x=150时，f(x)取最大值，最大值为 之间的画数关系式为y=一（2+受)+红，定义 12500. 战为(02) 所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润 为12500元. ·47· 高考总复习数学 突破·高效演练 学生用书P42 《 分层训练 高效提能 [基础题组练] A.820元 B.840元 1.一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为 C.860元 D.880元 180km,则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t 解析：C[设y=kx+b,则1000=800k+b,且 (h)之间的函数关系式是 ( 2000=700k+b,解得k=-10,b=9000,则y= A.y=2t B.y=120t -10x+9000.解400=-10x+9000,得x=860. C.y=2t(t≥0) D.y=120t(t≥0) 故选C.] 答案：D 6.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上 2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售 “大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了 量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可 270元，则每台彩电的原价为 元 知，营销人员没有销售量时的收入是 ( 解析：设彩电的原价为a元，∴a(1+0.4)·80%一a R 270,.0.12a=270,解得a=2250. .每台彩电的原价为2250元. 答案：2250 7.已知函数关系式f(x)= x≤0 2x-1w>0若f)>1,则 A.310元 B.300元 x的取值范围是 C.390元 D.280元 解析：因为在每段定义域对应的解析式上都有可能 答案：B 3.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中， 使得f(x)≥1成立，所以将原不等式转化为 正确的个数是 x>0 2x-1≥1'z、 ,从而得x≥1或x≤-1，即 生活费收入指数 120 (-∞，-1]U[1,+o∞). 115 110 答案：(-∞，-1]U[1,十∞) 105 生活价格指数 8.国内快递重量在1000克以内的包裹邮资标准如 100 下表： 运送距离 2022202320242025 x≤50 00<≤100 000<x≤15001500<≤200 x(km) (1)这几年生活水平逐年得到提高； 邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 8.00 (2)生活费收入指数增长最快的一年是2022年； 如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1300km (3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2023年； 的某地，它应付的邮资是 (4)虽然2024年生活费收入增长缓慢，但生活价格 指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善， 解析：邮资y与运送距离x的函数关系式 A.1 B.2 C.3 D.4 5.00,0<x≤500 答案：C 6.00,500<x≤1000 y- 4.一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x(默认 7.00,1000<x≤1500 y>x)的函数解析式 ( ) 8.00,1500<x≤2000 A.y=10-x(0<x<5) 所以1300∈(1000,1500]，所以应付的邮资是y B.y=10-2x(0<x<10) =7.00元，故答案为：7.00元. C.y=20-x(0<x<5) 答案：7.00元 D.y=20-2x(0<x<10) 9.如图所示，用一根长度为18 解析：A[由题意可知2y十2x=20,即y=10-x, 米的原材料制作一个矩形 又10-x>x,所以0<x<5,故选A.] 窗户边框（即矩形ABFE 5.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满 和矩形DCFE,窗户边框粗B 足一次函数关系.如果购买1000吨，则每吨 细忽略不计)，原材料刚好全部用完，设窗户边框 800元，购买2000吨，则每吨700元，那么一客户 AB的长度为x米，窗户的总面积为S平方米. 购买400吨，其价格为每吨 ( ) ·48· 第三章函数 (1)求S与x之间的函数关系式； 解析：依题意，可设甲这一家销售了x辆电动车，则 (2)若窗户边框AB的长度不小于2米，且小于BC 乙这家销售了(110一x)辆电动车，总利润S= 的长度，求S的最大值和最小值. -5.x2+900.x-16000+300(110-x)-2000= 解：1由题毫可得5=x·182江=一是十9虹 -5x2+600x+15000=-5(x-60)2+33000(0≤ 2 x110), (0<x<6),即S与x之间的函数关系式是 所以当x=60时，S取得最大值，且Smx=33000. s=-多+9r(0<<6》 答案：33000 (2)由题意可得2≤x<18,3工，解得2≤x<3.6, 4.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的 2 交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单 :5=-多+9r=-号x-3产+13.5,2≤< 位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函 数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵 3.6,当x=3时，S取得最大值，最大值为13.5， 塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千 当x=2时，S取得最小值，最小值为12，S的最 米时，车流速度为60千米/时.研究表明，当20≤x 大值是13.5，最小值是12. ≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函 [综合题组练] 数.求 1.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为 (1)当20≤x≤200时，函数v(.x)的表达式； 100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束) (2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通 与销售单价x(元)的函数关系式为Q=100一5.x,则当 过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时)f(x)= 该店每天获利最大时，每束花应定价为 xv(x)可以达到最大，并求出最大值（精确到1 A.15元B.13元C.11元D.10元 辆/时) 解析：B[设每天获利y元，则y=(100-5.x)(x 6)-100=-5(.x-13)2+145, 解：(1)由题意，当0≤x≤20时，u(x)=60; 当20≤x≤200时，设v(x)=ax十b. 由x>0,Q=100-5.x≥0，得0<x≤20， 故当x=13时，每天获利最大.故选B.] a= 200a+b=0 x+1,x1 再由已知得 解得 20a+b=60 200 2.已知函数f(x)= ,若对任意的实数x 3 ,x>1 故函数v(x)的表达式为 都存在x1∈R,使得f(x)≤f(x1)成立，则x1= 〔60,0≤x≤20 ( V(x)= (200-x),20≤x≤200 A.1 B.2 C.3 D.4 3 〔x3+1,x≤1 (2)依题意并由(1)可得 解析：A[函数f(x)= 1任>1 60x,0x20 f(x)= 可得x>1时，f(x)递减，可得f(x)∈(0,2)： 3x(200-x),20≤x≤200 x≤1时，f(x)=x3+1递增，可得f(x)≤2， 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其 且x=1时，f(x)取得最大值2， 最大值为60×20-1200； 由对任意的实数x都存在x1∈R,使得f(x)≤ f(x1)成立，可得x1=1.故选A.] 当20≤1≤200时，f(x)=号(200-x) 3.李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润 号(x-100)2+10000 3 3 (单位：元)分别为L甲=-5.x十900x-16000,Lz= 所以，当x=100时，f(x)在区间[20,200]上取得 300x一2000（其中x为销售辆数），若某月两家连锁店 共销售了110辆，则能获得的最大利润为 元 最大值10000 31 ·49·