3.5 二次函数(二次函数的图象与性质)（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 5.函数f()=+是定义在(-1,1)上的奇函数， =-2)(1-Gx2) 1+x2 (1+x)(1+x) 且2) -1<x1<x2<1,x1-x2<0,1-x1x2>0, (1)确定函数f(x)的解析式； (1+x2)(1+x)>0, (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数： ∴.f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0. 解：(1)由于f(x)是定义在（一1,1）上的奇函数，则有 .f(x)为(-1,1)上的增函数. f0)=0,即牛总=0，解得6=0，f(合）-台 (3).f(t-1)+f(t)<0, 1+0 .f(t-1)<-f(t). 2 :f(x)是(-1,1)上的奇函数，.f(-t)=-f(t), 1+ 行，心a=1.·函数解析式为f(x) .f(t-1)<f(-t) [-1t-1<1 f（-11D f(x)为（一1,1）上的增函数， -1<-t<1 (2)证明任取x1,x2∈(-1,1)，且x1<x2, t-1<-t )平平 解得0<t< 不等式的解为0} 3.5 二次函数（二次函数的图象与性质） 》 梳理·必备知识 学生用书P36 基础盘点 落实双基 [知识点一]二次函数的概念 [基础自测] 1.定义：形如y=a.x2十bx十c(a,b,c是常数，且a≠0) 的函数叫作二次函数.其中，a为二次项系数，b为 1.函数y=一 2(x+1)2+2的顶点坐标是( 一次项系数，c为常数项. A.(1,2) B.(1,-2) 2.解析式 C.(-1,2) D.(-1,-2) (1)一般式：y=ax2+bx十c(a≠0)； 答案：C (2)顶点式：y=a(x-h)十k(a≠0)，其中顶点为(h,k); 2.若函数f(x)=a.x2+bx十c满足f(4)=f(1),那么 (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中抛物 ) 线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0). 知识点二]二次函数的图象和性质 A.f(2)>f(3) B.f(3)>f(2) 解析式 f(x)=a.x2十bx f(x)=a.x2十b.x C.f(3)=f(2) +c(a>0) +c(a<0) D.f(3)与f(2)大小不能确定 答案：C 3.函数f(x)=x+bx十c的对称轴是直线x=1,则 图象 A.f(0)=f(3) B.f(0)>f(3) 定义域 C.f(0)<f(3)》 R R D.无法比较 值域 「4ac-b2 4a,+oo 解析：C[抛物线开口向上，对称轴为直线x=1, 则f(0)=f(2).因为函数在区间[1，+∞)上单调 在(]上单调 在(，会]上单调 递增，所以f(2)<f(3),即f(0)<f(3).故选C.] 4.抛物线y=2x2一x十1的对称轴和顶点坐标分别是 单调性 递：在[会+）上 递啪：在[一会+） 单调递增 上单调递减 B-(8 对称性 函数的图象关于直线x=一 对称 ·42· 第三章函数 解析：B[=2x2-x+1=22-名x+) 6.(1)二次函数y=2x2一mx十n图象的顶点坐标为 (1,一2)，则m= 2(。一)+日，所以抛物线的对称轴为直线： (2)已知二次函数y=x2+(m一2)x-2m,当m 时，函数图象的顶点在y轴上；当m 子照点坐格为（日）故选B] 时，函数图象的顶点在x轴上；当m= 时，函数图象经过原点。 5.已知函数y=x2十bx十c在区间（一∞，1）上是单调递 (3)函数y=一3(x+2)2+5的图象的开口向 减函数，则实数b的取值范围是 ,对称轴为 ,顶点坐标为 A.b≥-2 B.b≤-2 当x= 时，函数取最 值y= C.b>-2 D.b<-2 当x 时，y随着x的增大而减小. 答案：(1)4,0(2)2，-2,0(3)下，x=-2, 解析：B[x= 合≥1，解得-2.故选] (-2,5),-2,大，5，>-2. 直击考向 提升·学科素养 学生用书P37 通法悟道 专点二三次函数的三种解析式形式 专点二 三次函数的图象性质 [例1]已知二次函数的图象过点（一1，-22）， [例2]如图，若a<0,b>0,c<0,则抛物线y (0,一8)，(2,8)，求此二次函数的表达式. a.x2十bx十c的大致图象为 [解]设该二次函数为y=a.x2+bx+c(a≠0). 由函数图象过点(-1，-22)，(0，一8)，(2,8)，可得 -22=a-b+c -8=c ,解得a=-2,b=12,c=-8. 8=4a+2b+c 所以，所求的二次函数为y=一2x2+12x一8. 通性通法 (1)一般式：y=a.x2+bx十c(a≠0)； (2)顶点式：y=a(x十h)2十k(a≠0)，其中顶点坐标 是(-h,k); [解析]若a<0,b>0,c<0,则该二次函数开口向 (3)交点式：y=a(x-x1)(x-2)(a≠0)，其中 下，对称轴x= x1x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标. 力>0，与y轴的交点位于x轴下 2a 在求二次函数的表达式时，可以根据题目所 方，符合条件的图象只有选项B.故选B. [答案]B 提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这 三种表达形式中的某一形式来解题， 通性通法 (1)当a>0时，函数y=a.x2十bx+c图象开口向上； 食跟踪训练 顶点坐标为 b 4ac-b ,对称轴为直线x= 1.已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线 2a' Aa y=x十1上，并且图象经过点(3，一1)，求二次函数 2a:当.x 会时y随若工的蜡大而波小：当 的解析式. x>- ,乡时，y随着x的增大而增大：当x=一 解：：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其 2a a 顶点的纵坐标， .顶点的纵坐标为2. 时，函数取最小值y=4ac一b 又顶点在直线y=x十1上， (2)当a<0时，函数y=ax2十bx十c图象开口向下； .2=x十1，x=1..顶点坐标是(1,2). 顶点坐标为 b 4ac-b 2a'4a ,对称轴为直线x= 设该二次函数的解析式为y=a(x一1)十2 二次函数的图象经过点(3，一1)， 当 6 时，y随着x的增大而增大；当 2a 代入解得a=一3」 I>- 时，y随着x的增大而减小：当x= 6 2a .二次函数的解析式为y=一 2x+ 5 时，函数取最大值y=4ac一b ·43· 高考总复习数学 ★跟踪训练 5 -2x(- 2 2.二次函数y=x2十+ax十a一-2的图象与x轴的两个 25+3_31 4 3 9 9 交点间的距离是2，求实数a的值. 4 解：设二次函数y=x十ax十a一2的图象与x轴的 ③x十x=(x1十x2)(x-x1x2十x2)=(x1十x2) 两个交点为A(x1,0),B(x2,0),则由题意得，x1,x2 [(x1+x2)2-3.x1x2] 是方程x2十ax十a-2=0的两个实数根，可得x1 十x2=一a,x1x2=a-2.因此由|AB|= -()×[(8)-3x(]=2 √(x2-x1)2=2得，(x1十x2)2-4x1x2=4, (2)设方程的另一个根为x1,则2x1 即（一a)2-4(a-2)=4,化简得a2一4a十4=0，即 (a-2)2=0,解得a=2. 5 ,∴x1=- 专原二元二次方程中根与系数的关系 所以，方程的另一个根为一 的值为-7 3 [例3](1)若x1和x2分别是一元二次方程2x2十 5x一3=0的两根. 通性通法 ①求x1一x2的值； 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下 ②求1+的值： 等式变形： 十x=(x1十x)-2xx ③求x十x的值. (2)已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它 1+1=十 X1 x2 xT2 的另一个根及飞的值. [解](1)，x1和x2分别是一元二次方程2x2十 （(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2 5x一3=0的两根， 1x1-x2=√(1十x2)-4x1x2 1十x2= 212= 3 食跟踪训练) ①|x1-x2|2=x十x号-2x1x2=（无1十x2) 3.已知a、3是方程x2+2.x一5=0的两个实数根，则 4=()-4×()=+6= a2+a3+2a的值为 解析：由于a、B是方程x2十2x一5=0的实数根， .a2+2a-5=0,a3=-5,∴.a2+2a=5 .a2+a3+2a=a2+2a十a8=5-5=0. （x1x2)2 答案：0 》 突破·高效演练 学生用书P38 《 分层训练 高效提能 [基础题组练] 解析：A[二次函数y=x2一2x十3图象的对称轴 1.已知函数f(x)=4x2-mx十5在区间[一2，十o∞) 方程为=一2号-1，故选A] 2 上是增函数，在区间（一∞，一2]上是减函数，则 m= 4.不等式y=a.x2-x-c>0的解集为{x-2<x<1}, A.16 B.-16 C.8D.-8 则函数y的图象为 答案：B 2.设x∈R,则“x2一5.x十6<0”是“|x-2<1”的 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 答案：B C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数y=一a.x十1与y=a.x2在同一坐标系中的图 答案：A 象大致是图中的 3.二次函数y=x2一2x十3图象的对称轴方程为 ( A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.x=-2 :兰十 44 第三章函数 解析：A[当a>0时，y=-ax十1在x,y轴上截 ∴.a(x+2)2+b(x+2)+2-(a.x2+bx+2)=2x+ 距分别是>0,1，而y=ax开口向上，顶点为原 4,即4a.x+4a+2b=2.x+4, 1 点且对称轴为y轴，排除B; 由恒等式性质得(4a=2 .a= 2, 当a<0时，y=一a.x十1在xy轴上截距分别是 {a+2b=4“6=1 0 所求二次函数为f(x)三2，十x十2. 0,1,而y=ax2开口向下，顶点为原，点且对称轴 为y轴，排除C、D,故选A.门 [综合题组练] 6.函数f(x)=x2+bx十4的图象总在x轴上方，则b 1.关于x的方程x2+(a2-1)x十a-2=0的一个根 的取值范围是 比1大，另一个根比1小，则 () 解析：因为函数f(x）=x2十bx十4的图象总在x A.-1<a<1 B.al>1 轴上方，.△=b-16<0,解得-4<b<4. C.-2<a<1 D.a<-2或a>1 故答案为（一4,4） 解析：C[设f(x)=x2+(a2-1)x+a-2.由 答案：（一4,4） f(1)<0→a2十a-2<0,解得-2<a<1.所以应 7.二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象如图所示， 选C.] 确定下列各式的正负：b 0,ac 0, 2.函数f(x)=-x2+2的大致图象为 a-b+c 0. 解析：D[函数f(一x)=一x2十2=f(x),所以 f(x)为偶函数，故A错误； 因为f(1)=-1十2=1，故B错误； 解析：a<0,一品会>0c>0b>0ac0 当x=5时，f(5)=-52+2=7>0,故C错误.故 选D.] 设y=f(x)=a.2+bx十c,则a-b+c=f(-1)<0. 3.函数y=√2x一x的递增区间是 故答案为>；<；< 解析：由题意得2x-x2≥0，即0≤x≤2， 答案：><< 又因y=2x一x2的对称轴为x=1,所以y=2x一x在 8.二次函数y=f(x)满足f(3十x)=f(3-x),且f(x) [0,1]上单调递增，故根据复合函数单调性，得函数 =0有两个实根x1,x2,x1十2= y=√/2.x一x的递增区间为[0,1]. 解析：：二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3一x), 答案：[0,1] ∴.二次函数y=f(x)的对称轴为x=3, 4.若二次函数满足f(x+1)-(x)=2x且∫(0)=1. ∴.二次虽数f(x)与x轴的两个交点关于x=3对 (1)求f(x)的解析式； 称，即两个交点的中点为3 (2)若在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x十m恒成 根据中，点坐标公式得到f(x)=0的两个实数根之 立，求实数m的取值范围. 和为1十x2=2X3=6. 解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由f(0)=1, 故本题答案为6. 得c=1,f(.x)=a.x2+bx+1. 答案：6 ,f(x+1)-f(x)=2x, 9.(1)已知函数f(x-3)=x2-4x十6，求f(.x)的 解析式. a+b=0/=1 2ax+a+h=2,2a=2 b=-1 (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2, .f(x)=x2-x+1. f(x+2)-f(x)=2x+4,求f(.x)的解析式. (2)由题意，x2-x十1>2x+m在[-1,1]上恒成 解：(1)令t=x-3,则x=t+3. 立，即x2-3x十1-m>0在[-1,1]上恒成立. 因为f(x-3)=x2-4.x+6, 令g(x)=x2-3.x十1-m=x 3)2 5 所以f(t)=(t+3)2-4(t+3)+6=t2+2t十3， -2 一m,其 故f(x)=x2+2x十3. (2)设所求的二次函数为f(x)=ax十bx十c(a≠0). 对称轴为=2 .f(0)=2,∴.c=2,则f(x)=a.x2十bx+2. .g(x)在区间[-1,1门上是减函数， 又f(x+2)-f(x)=2x+4, .g(x)mm=g(1)=1-3+1-m>0,∴.m<-1. ·45·