3.4 函数的奇偶性（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 3.4函数的奇偶性 》 梳理·必备知识 学生用书P32 基础盘点 落实双基 [知识点一]函数的奇偶性： (5)“a十b=0”是“函数f(x)在区间[a,b](a≠b)上具 有奇偶性”的必要条件。 () 奇偶性 定义 图象特点 (6)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)=0.() 如果对于函数f(x)的 (7)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，若在 定义域内任意一个x, 关于y轴 (一∞，0)上是减函数，则在(0，十∞)上是增函数. 偶函数 都有f(-x)=f(x), 对称 ( 那么函数f(x)是偶 答案：(1)×(2)× (3)×(4)×(5)/ 函数 (6)×(7)/ 如果对于函数f(x)的定 2.下列函数为奇函数的是 A.y=x 义域内任意一个x,都 B.y=3-x 关于原点 奇函数 有f(-x)=-f(x), 对称 C-号 D.y=-x2+14 那么函数f(.x)是奇 解析：C[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函 函数 数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.故 选C.] [知识点二]奇偶性与单调性： 3.若函数y=f(x),x∈[-2，a]是偶函数，则a的 般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原 值为 ( 点对称的两个区间[a,b]和[一b,一a]上具有相同 A.-2 B.2 的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于 C.0 D.不能确定 原点对称的两个区间[a,b]和[一b,一a]上具有相 解析：B[因为偶函数的定义域关于原点对称，所 反的单调性. 以-2十a=0,所以a=2.故选B.] [知识点三]奇偶性的推广 4.下列图象表示的函数是奇函数的是 一般地，对于定义域内任意x, 是偶函数的是 .(填序号) (1)若f(a-x)=2b-f(a十x),则f(x)的图象关于 点(a,b)对称.当a=b=0时，即为奇函数的定义. (2)若f(a-x)=f(a十x),则f(x)的图象关于直线 x=a对称，当a=0时，即为偶函数的定义. [基础自测] 解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于 原点对称是奇函数 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 答案：(2)(4)(1)(3) (1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(一x)= 5.已知函数f(.x)为R上的偶函数，且当x<0时， 一f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数. f(x)=x(x一1)，则当x>0时，f(x)= (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( 解析：当x>0时，一x<0,则f(一x)=-x(-x一1) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是 =x(x十1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故 奇函数，就是偶函数 ( f(x)=f(-x)=x(x+1). (4)函数f(.x)=x2,x∈[0，十∞)是偶函数.( 答案：x(x十1) ·38· 第三章函数 提升·学科素养 学生用书P33 直击考向 通法悟道 专点二 函数奇偶性的判断 (3)x∈R,.-x∈R [例1]判断下列函数的奇偶性， 又.f(-x)=|-x+1-|-x-1川 (1)f(x)=x3+x: =1x-1|-1x+1 =-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), (2)f(.x)=√1-x+√x-1. f(x)为奇函数. [解](1)函数的定义域为R,关于原点对称. 又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)= 专点三奇、偶函数的图象问题 一f(x),因此函数f(x)是奇函数. [例2]已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，且在 (2)由1-x≥0 区间[0,5]上的图象如图所示. {x2-1≥0' 得x2=1,即x=士1.因此函数的 y 定义域为{一1,1}，关于原点对称。 -5-262式 又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0, 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (1)画出f(x)在区间[-5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合. 通性通法 [解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y=f(x) 函数奇偶性判断的方法 在[一5,5]上的图象关于原点对称，由y=f(x)在 (1)定义法： [0,5]上的图象，可知它在[一5,0]上的图象，如图 所示 定义域关于 否 非奇非偶函数 原点对称？ f-x)=-f(x) 奇函数 02、.5 f(-x)与f(x) f(-x)=f(x) 偶函数 的关系 (2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合 f(-x)与f(x) 非奇非 无上述关系 偶函数 为(-2,0)U(2,5). (2)图象法： 通性通法 根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有 f(x) 关于原点对称 f(x)为奇函数 关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数 图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根 象 关于y轴对称 f(x)为偶函数 据图象特征求解问题 ☆跟踪训练 食跟踪训练 1.判断下列函数的奇偶性. 2.若偶函数f(x)在区间[1,2026]上的最大值为2026， (1)函数f)=2x士2是 则函数f(x)在区间[-2026，一1]上有 () x+1 A.最小值-2026 B.最小值2026 A.奇函数 C.最大值-2026 D.最大值2026 B.偶函数 解析：D[因为f(x)为偶函数，所以f(x)的图像 C.既是奇函数又是偶函数 关于x=0,即y轴对称，也就是说自变量相反的两 D.既不是奇函数又不是偶函数 个数函数值一样，所以f(x)有最大值2026.故 (2)f(x)=x2(x2+2); 选D.] (3)f(x)=x+1|-x-1. 专点三 利用奇偶性求解析式 解析：1DD[因为fx)=2x士2红，所以x十1≠ x+1 [例3]已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0 0,即x≠一1，故f(x)的定义域为{x|x≠一1}，显 时，f(x)=x2十x,求当x<0时，f(x)的解析式. 然f(x)的定义域不关于原点对称，故f(x)既不是 [解]设x<0,则-x>0. 奇函数又不是偶函数.故选D.门 .f(-x)=(-x)2-x=x2-x. (2)x∈R,.-x∈R. 又.f(x)是定义域为R的偶函数， 又：f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2) .f(-x)=f(.x)=x2-x, f(x),.f(x)为偶函数. .当x<0时，f(x)=x2-x. ·39 高考总复习数学 通性通法 [解析]f(x)是奇函数，∴.f(一x)=一f(x),即 已知区间[a,b]上的解析式，求[一b,-a]上的 (-x+10(-x十@=一(x+1D(x+@）,显然x≠0，整 一 解析式： 理得x2-(a十1)x十a=x2+(a+1)x十a,故a十1 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应 0,解得a=-1. 在哪个区间上设. [答案]-1 (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出一f(x)或f(一x),从而 (3)已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函 解出f(x). 数，又是减函数，若f(1-a)十f(1-a)<0,求实 数a的取值范围. 食跟踪训练 [解]由f(1-a)十f(1-a)<0,得f(1-a2)< 3.已知y=f(.x)是定义在R上的奇函数，且当x>0 -f(1-a). 时，f(x)=2x一x2,求y=f(x)的解析式 :y=f(.x)在[-1,1]上是奇函数，.-f(1-a)= 解：设x<0,则一x>0,因为f(x)是奇函数，所以 f(a-1),.f(1-a2)<f(a-1). 当x<0时，f(x)=-f(-x)=-[2(-x)- 又f(x)在[-1,1]上单调递减， （-x)2]=2x十x2. -1≤1-a2≤1 因为y=f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0. -1≤1-a≤1 f0≤a2≤2 所以f(x)= 1x2+2.x,x≤0 ,解得0≤a≤2 ,.0≤a<1 -1≤a-1≤1 2x-x2,x>0 -2<a<1 1-a2>a-1 专点四函数的奇偶性和单调性的综合应用 .实数a的取值范围是[0,1). [例4](1)（利用奇偶性求函数值）已知f(x)=x5十 通性通法 ax3+b.x-8,若f(-3)=10,则f(3)= ( 1.充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知 A.26B.18C.10D.-26 不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(.x1)<f(x2)的形 [解析][法一由f(x)=x5十ax3十b.x-8, 得f(x)十8=x5+a.x3+bx. 式，再利用单调性脱掉“”求解. 令G(x)=x5+a.x3+bx=f(x)+8,G(-x)= 2.在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数 (-x)5十a(-x)3十b(-x)=-(.x5+a.x3+bx)= 的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即 -G(x), 可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响， .G(x)是奇函数，.G(-3)=-G(3),即f(-3) ★跟踪训练) 十8=-f(3)-8.又f(-3)=10, 4.定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调 .f(3)=-f(-3)-16=-10-16=-26 递减，若f(1一m)<f(m),求实数m的取值范围. 法二由已知条件，得 解：，函数f(x)是偶函数，.f(x)=f(x). 1f(-3)=(-3)5+a(-3)3+b(-3)-8① .f(1-m)=f(1-m),f(m)=f(m). {f(3)=35+a·33+b·3-8② 「-2≤1-m≤2 ①+②得f(3)+f(-3)=-16,又f(-3)=10, 原不等式等价于 -2≤m≤2 .f(3)=-26.] |1-m>|m [答案]D (2)(利用奇偶性求参数值)若函数f(x)= 解得-1≤m< 小实数m的取值范围 1 (x十1)(x十a》为奇函数，则a= [-1》 突破·高效演练 学生用书P34 《 分层训练 高效提能 [基础题组练] 2.f(x)=x+1的图象关于 1.函数f(x)=|x|+1是 A.原点对称 B.y轴对称 A.奇函数 C.y=x对称 D.y=一x对称 B.偶函数 答案：A 3.(多选题)若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有 C.既是奇函数又是偶函数 最小值0，则它在[-3，-1]上 ( D.非奇非偶函数 A.是减函数 B.是增函数 答案：B C.有最大值0 D.有最小值0 ·40· 第三章函数 解析：BC[由于奇函数的图象关于原点成中心对 9.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时， 称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调 f(x)=a.x2-2.x,且f(4)=8.求 性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故 (1)实数a的值； (2)该函数的解析式. 选BC.] 解：(1)当x≥0时，f(4)=8,.f(4)=16a-8=8, 4.已知函数f(x)=x2+(2-m)x十m2+12为偶函 即16a=16,a=1. 数，则m的值是 (2)由(1)知x≥0时，f(x)=x2-2x,设x<0,则 A.4B.3 C.2 D.1 -x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2十2x, 解析：C[因为函数f(x)=x2+(2-m)x十m2十 又因f(x)是奇函数， 12为偶函数，所以f(x)=f(一x),即x2+(2-m) 所以-f(x)=f(-x)=x2十2.x, .f(x)=-x2-2x(x<0),由以上可知该函数的 x+m2+12=(-x)2-(2-m)x+m2+12, 即4-2m=0,所以m=2.故选C.] 解析式为f(x)= /-x2-2.x(x<0) {x2-2.x(x≥0) 5.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0，十∞)时， [综合题组练] f(x)是增函数，则f(-2),f(π)，f(一3)的大小关 1.设二次函数f(x)=(a2-1).x2十(a2-a)x十22o26 系是 ( 是偶函数，则a () A.f(π)>f(-3)>f(-2) A.0或1 B.0或-1 C.-1 D.0 B.f(x)>f(-2)>f(-3) 解析：D[二次函数f(.x)=(a2-1)x2+(a2-a)x C.f(π)<f(-3)<f(-2) 十22026的定义域为R,关于原，点对称. D.f(π)<f(-2)<f(-3) 因为二次函数f(.x)=(a2-1)x2+(a2-a)x十 解析：A[因为当x∈[0，十o∞)时，f(x)是增函 22026是偶函数， 数，所以有f(2)<f(3)<f(π).又f(x)是R上的 所以f(-x)=(a2-1)(-x)2-(a2-a)(-x)+ 偶函数，故f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有 2226=(a2-1)x2+(a2-ax+22os=f(.x),且 a2-1≠0， f(-2)<f(-3)<f(x).故选A.] 6,若函数f代)=1一2”的图象关于原点对称，则 {2(a-a)=0解得0一1≠0 化简得0一1≠0 {a(a-1)=0 解得a=0.] 实数a= 2.已知定义域为(-1,1)的奇函数f(x)是减函数，且 A.-2B.-1C.1 D.2 f(a-3)十f(9-a2)<0,则实数a的取值范围是 解析：A[由已知得，函数f(x)为奇函数，所以 ( A.(2√2,3) B.(3,W/10) a=0,1-a 1)+f-10=0,即122111 C.(22,4) D.(-2,3) 解析：A[由f(a-3)+f(9-a2)<0,得f(a-3) +1+2a=0,解得a=-2.故选A.] <-f(9-a).又由奇函数性质得f(a-3)<f(a 7.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时， 一9).因为f(x)是定义域为（一1,1）的减函数， f(x)=log2(x+2)-1,则f(-6)= -1<a-3<1 ( 所以 1<a2-9<1,解得2√2<a<3.故选A.] A.2 B.4C.-2D.-4 (a-3>a2-9 解析：C[根据题意得f(一6)=一f(6)=1 3.已知函数f(x)=a.x3-2x的图象过点(-1,4)，则 1og2(6+2)=1-3=-2.故选C.] f(1) 8.若f(x)是偶函数，其定义域为R且在[0，十o∞)上 解析：由f(-x)=a(-x)3-2(-x)=-ax3+2x 是减两致，则(-》卢f。-a+1)的大小关系 =-(a.x3-2.x)=-f(x)且定义域为R,所以f(x) 为奇函数，故f(1)=一f(-1)=一4.故答案为-4. 答案：一4 4.已知函数f(x)=m.x3+n.x-1,若f(3)=2026,则 解析：显然a2-a十≥是 f(-3)= 解析：设g(x)=mx3十n.x, 又：f(x)在[0，十∞)上是减函数， 由于g(x)的定义域为(-∞，十∞)，且g(-x)= fa2-a+1)≤f(是)又f)是偶画数， m(-x)3十n(-x)=-(m.x3十n.x)=-g(x), 所以g(x)为奇函数. ()=)a-a1() 由f(3)=g(3)-1=2026,可得g(3)-2027, 所以g(-3)=-g(3)=-2027, 答案：fa-a+lD≤f(-) 故f(-3)=g(-3)-1=-2028. 答案：-2028 ·41 高考总复习数学 5.函数f(x)=a十是定义在(-1,1)上的奇函数， =(x-2)(1-x1x2) 1+.x (1+x)(1+x2) 且) -1<x1<x2<1,.x1-x2<0,1-x1x2>0, (1)确定函数f(x)的解析式； (1+x)(1+x)>0, (2)用定义证明f(x)在（一1,1）上是增函数： ∴.f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0. 解：(1)由于f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，则有 .f(x)为(-1,1)上的增函数. f0)=0,即+-0，解得6=0，：侵）号 (3).f(t-1)+f(t)<0, 1+0 .f(t-1)<-f(t). 2 f(x)是（-1,1)上的奇函数，f(-t)=-f(t), a=1..函数解析式为f() 1+ 5 .f(t-1)<f(-t). 「-1<t-1<1 1f2（-1<<1. ,f(x)为(-1,1)上的增函数，. -1-t1, (2)证明任取1，x2∈(-1,1)，且x1<x2, t-1<-t fx)-fx2)=, 1+x71+x 解得0<不等式的解奏为0} 3.5二次函数（二次函数的图象与性质） 》 梳理·必备知识 学生用书P36 基础盘点 落实双基 [知识点一]二次函数的概念 [基础自测] 1.定义：形如y=ax2+bx十c(a,b,c是常数，且a≠0) 的函数叫作二次函数.其中，a为二次项系数，b为 1.函数y= ?(x+1)+2的顶点坐标是( 一次项系数，c为常数项. A.(1,2) B.(1,-2) 2.解析式 C.(-1,2) D.(-1,-2) (1)一般式：y=ax2十bx十c(a≠0)； 答案：C (2)顶点式：y=a(.x-h)2十k(a≠0)，其中顶点为(h,k); 2.若函数f(x)=ax2十bx十c满足f(4)=-f(1),那么 (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中抛物 ) 线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0). [知识点二]二次函数的图象和性质 A.f(2)>f(3) B.f(3)>f(2) 解析式 f(x)=ax2+bx f(x）=a.x2+bx C.f(3)=f(2) 十c(a>0) 十c(a<0) D.f(3)与f(2)大小不能确定 答案：C 3.函数f(x)=x2十bx十c的对称轴是直线x=1,则 图象 A.f(0)=f(3) B.f(0)>f(3) 定义域 R R C.f(0)<f(3) D.无法比较 值域 [Aac-b2 ,十0∞】 解析：C[抛物线开口向上，对称轴为直线x=1, 4a 。 则f(0)=f(2).因为函数在区间[1，十∞)上单调 在(0，-名]上单润 递增，所以f(2)<f(3),即f(0)<f(3).故选C.] 4.抛物线y=2x2一x+1的对称轴和顶点坐标分别是 单调性 递减；在 b 递增：在[22，+）】 单调递增 上单调递减 A=( 对称性 函数的图象关于直线x= ·42·