3.3 函数的单调性（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

高考总复习数学 3.3 函数的单调性 》 基础盘点 梳理·必备知识 学生用书P28 落实双基 [知识点一]增函数与减函数的定义 (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数， 则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数. 一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D三 (4)若函数f(x)在（一∞，0）和(0，十∞)上单调递减，则 条件 I:如果Vx1,x2∈D,当x1<x2时 f(x)在(-∞，0)U(0,十∞)上单调递减.() 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) (5)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠ 那么就称函数f(x) 那么就称函数f(x) x2有(x1-x2)汇f(.x1)-f(x2)门>0，则函数f(x)在区 结论 在区间D上是增 在区间D上是减 间D上是增函数 函数 函数 (6)函数y=1的单调递减区间是（一∞，0）U(0,十o∞). ) f yf俐 (7)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增 图示 fc)f) A)i Rc) 函数 () 0 0 2 (8)函数y=f(x)在[1，+o∞)上是增函数，则函数的 单调递增区间是[1，十o∞). () [知识点二]函数的单调性与单调区间 答案：(1)×(2)/(3)×(4)×(5)/ 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数， (6)×此单调区间不能用“U”连接，故单调递减 区间为（一0,0）和(0，十∞). 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的） (7)× 应对任意的x1<x2,f(x)<f(x2)成立才 单调性，区间D叫作y=f(x)的单调区间 可以. 知识点三]基本初等函数的单调区间如下表所示 (8)×若f(x)=x,在[1，十o∞)上为增函数，但 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 y=f(x)的单调递增区间是（一∞，十∞）. 正比例函数(y=kx, k>0 R 无 2.下列函数中，在区间(0，十∞)内单调递减的是 k≠0)与一次函数 (y=k.x十b,k≠0) k<0 无 R A.y=1-x B.y=x2-x 反比例函数(y= (一0,0)和 k>0 无 (0,十∞) C.y=In x-x D.y=e" 上，k≠0) k<0 (一0∞，0)和(0，+∞) 无 解析：A[易知A中y=1-x在(0，十∞)上是减 b 二次函数(y=a.x2+ a>0 2a,+∞） 2a 函数，B,C中函数y=x2-x与y=lnx-x在 b.x十c,a≠0) a<0 2a (0,十∞)上不单调，D中y=e在(0，+o∞)上是增 [知识点四] 复合函数的单调性判断：同增异减 函数.故选A.门 [基础自测] 3.函数f(x)=2的单调递减区间是 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） A.(-∞，0)，(0，十∞)》 (1)因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)在[-1,2]上 B.(0,+∞) 是增函数， C.(-o∞，0)U(0,+∞) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1).( D.(-o,0) ·34· 第三章函数 解析：A[因为函数fx)=2是反比例函数，函数 5.函数y=4x一x2十3，x∈[0,3]的单调递增区间是 ,最小值是 ,最大值是 图像为一三象限双曲线，定义域为（一∞，0）U 解析：因为y=4x-x2十3=-(x-2)2+7, (0,十∞)，函数在（一∞，0）和(0，十∞)上单调递 所以函数y=4x一x2十3，x∈[0,3]的单调递增区 减，故函数的单调递减区间为（一∞，0）和 间是[0,2].当x=2时，ymx=7;当x=0时， (0,+∞).故选A.] ymin-3. 4.设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如 答案：[0,2]37 图所示，则函数y=f(x)的增区间为 6.函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函数，则a y 的取值范围是 解析：因为函数f(x)=(2a一1)x一3是R上的减 01 函数，所以2a-1<0,解得a<分 解析：由题图可知函数的单调递增区间为[一1,1] 和[5,7]. 答案： 答案：[-1,1]，[5,7] 》 提升·学科素养 学生用书P29 直击考向 通法悟道 专点一函数单调性的判定与证明 专点二利用图象确定函数的单调区间 [例1] 用定义证明：函数(x)=x+上在(-1,0) [例2]如图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象， 上是减函数， 指出它的单调区间. [证明]设-1<x1<x2<0, y 则有)-)-(+)一(+》 -2:0V 23456 I1I2 由于-1<x1<x2<0,0<x1x2<1,x1x2-1<0,又 x1x2>0,x1-x2<0, [解]函数的单调递增区间为[-1.5,3)，[5,6)， 则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数 单调减区间为[-4，-1.5)，[3,5)，[6,7]. 在（一1,0）上为减函数. 通性通法 通性通法 利用定义证明函数单调性的4个步骤 1.求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单 取值 设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1〈x2 调区间要根据函数的自变量的取值范围分段 作差f)f)或f)fx),并通过因式分解、 作差 配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的 求解； 变形 方向变形，一般化为积的形式 (2)利用函数的图象， <定号 确定差fx)-f(x2)或f()-fx1)的符号，当符号不 确定时，可以进行分类讨论 2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯 <结论 根据定义得出结论 一，函数的单调区间之间要用“，”“和”连接，不能 用“U”连接。 ★跟踪训练 ★跟踪训练 1.用定义证明，函数y-千在(-1，十∞)上为增 2.画出函数y=-x2+2x|十3的图象，并指出函数 函数 解：设x1>x2>-1, 的单调区间， 2.x12x2 2(x1-x2) 解：y=-x2+2x|+3 y1-y2= 1+1x2+1+1)(c,+1D)>0, -x2+2x+3=-(x-1)2+4(.x≥0) 气>2函数y干在(1，十0∞)上为增 -x2-2.x+3=-(x+1)2+4(.x<0) 函数， 函数图象如图所示 ·35· 高考总复习数学 通性通法 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求 10 参数。 (2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函 函数在(-∞，-1]，[0,1]上是增函数； 数、二次函数的单调性求解。 函数在[一1,0]，[1，十∞)上是减函数. 所以函数的单调增区间是（一∞，一1]和[0,1]，单 (3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a,b)”与“函数 调减区间是[-1,0]和[1，十∞). f(x)在区间(a,b)上单调递增”是不同的，后者 专点三 函数单调性的应用 意味着区间(a,b)是函数f(x)的增区间的一个 [例3]已知函数f(x)的定义域为[-2,2]，且f(x) 子集 在区间[-2,2]上是减函数，且f(1-m)>f(m), ★跟踪训练 求实数m的取值范围. 3.若函数f(.x)=(m-1)x十b在R上是增函数，则f(m) [解]因为f(x)在区间[-2,2]上单调递减，所以 当-2≤x1<x2≤2时，总有f(x1)>f(x2)成立，反 与f(1)的大小关系是 ( 之也成立，即若f(x1)>f(x2),则-2≤x1<x2≤ A.f(m)<f(1) B.f(m)>f(1) 2.因为f(1-m)>f(m), C.f(m)≤f1) D.fm)≥f(1) f-2m2 解析：B[由题意得m一1>0，即m>1,而f(x)在R 所以 2≤1一m≤2，解得 <m≤2. 上是增函数，则f(m)>f(1),故选B.] -mzm 分层训练 突破·高效演练 学生用书P30 高效提能 [基础题组练] 4.已知函数f(x)的定义域是R,若对于任意两个不 1.函数y=f(x)的图象如图所示，其增区间是( 相等的实数1，，总有)>0成立，则 2一x1 函数f(x)一定是 A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数 A.[0,1] B.[-4,-3]U[1,4] 解析：C[由题意可知x1≠x,因为f,)-f C.[-3,1] D.[-3,4] x2-x1 答案：C >0→(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0→在R上，当 2.已知函数f(x)在（一∞，十∞）上是减函数，则下列关 x1<x2时都有f(x1)<f(x2)成立，所以选C.] 系正确的是 () 5.函数f(x)=x2+x-2(x∈[0,2])的值域是 A.f(1)<f(0)<f(-1) B.f(0)<f(-1)<f(1) C.f(-1)<f(0)<f(1) A.[-2,4] D.f(0)<f(1)<f(-1) B是 答案：A 3.已知f(x)=(3a-1)x十b在(-∞，+∞)上是增 函数，则a的取值范围是 ( 解析：A[函数f(x)=x2十x一2的对称轴为x= A(∞，号)B(合+） ,故函数f(x)=x2十x-2在[0,2]上单调递 1 c(】 D.片+eo 增，又f(0)=-2,f(2)=4,所以函数f(x)=x2十 答案：B x-2(x∈[0,2])的值域是[-2,4]，故选A.] ·36 第三章函数 6.若函数f(x)=x2-2ax十3在(2，十∞)上是增函 1x(1-x),x≥0 数，则实数a的取值范围是 解析：B[y=x(1-x)= 一x(1-x),x<0 解析：由已知可得函数f(x)=x2-2a.x十3的图 象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x=a, 十x,x≥0 画出函 又函数在(2，十∞)上是增函数，故可得a≤2， -x,x<0 综上所述，实数a的取值范围是（一o∞，2]. ,x<0 答案：(-∞，2] 数的图象如图所示. 7.已知函数y=f(x)是(-∞，十∞)上的增函数，且 f(2.x-3)>f(5.x-6),求实数x的取值范围为 解析：因为函数y=f(x)在（一∞，十∞）上是增函 0 数，且f(2.x-3)>f(5x-6), 所以2x-3>5x-6,解得x<1, 由图易知原画数在[0，]上单调递增，故选B] 即实数x的取值范围为（一∞，1）， 3.(2023·春招，7)若函数f(x)=(m-2)x+4在 答案：(-∞，1) (一o∞，十∞)上是减函数，则实数m的取值范围是 8.若函数f(x)=2x十a的单调递增区间是[3，十o∞)， () 则a= A.(-∞，0) B.(-o∞，2) 2.x十a,x≥- 2 C.(0,+∞) D.(2,十∞) 解析：f(x) ，.f(x)的单调 解析：B[f(x)为减函数，m一2<0，即m<2, -2x-a,x<- 2 故选B]. 递增区间是[-受，十∞ =3,即a=-6. 4.若函数f(x)=Qx十1在R上递减，则函数g(x)= 2 a(x2-4.x+3)的增区间是 答案：一6 解析：因为函数f(x)=ax十1在R上递减，所以 9.设a为实数，已知函数y=f(x)在定义域R上是减 函数，且f(a+1)>f(2a),求a的取值范围. a<0,所以g(x)=a(x2-4x+3)=a[(x-2)2-1] 解：因为函数y=f(x)在定义域R上是减函数，且 的增区间是（一∞，2）. f(a十1)>f(2a),所以a+1<2a,解得a>1,所以 答案：(-∞，2) a的取值范围是(1，十o∞). [综合题组练] 已知f)兰。g≠a). 1.(多选题)如图是定义在区间[-5,5]上的函数y= (1)若a=一2，证明：f(x)在（一o∞，-2）上单调 f(x),则下列关于函数f(x)的说法正确的是 递增； ( (2)若a>0且f(x)在(1，十o∞)上单调递减，求a 的取值范围. 2 解：(1)证明：当a=一2时，f(x)= x+2 -4-3-2-1012345 设x1<x2<-2, 人 则f(西)一f(x:)=十2 x2+2 A.函数在区间[一5，一3]上单调递增 2(x1-x2) B.函数在区间[1,4]上单调递增 (x1+2)(x2+2) C.函数在区间[-3,1]U[4,5]上单调递减 因为(x1十2)(x2+2)>0,x1-x2<0, D.函数在区间[一5,5]上没有单调性 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 解析：ABD[由题图可知，f(x)在区间[-3,1]， 所以f(x)在（一∞，一2）上单调递增， [4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“U”连 (2)设1<x1<x2, 接，故不选C.] a(x2-x1) 2.函数y=|x(1-x)在区间A上是增函数，那么区 则f)-fx,)=4- x-ax2-a(x1-a)(x2-a)1 间A可能是 因为a>0,x2-x1>0, A.(-∞，0) B[] 所以要使f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立，所以a≤1. C.[0,+∞) 综上所述，0<a≤1. ·37·