3.2 分段函数（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第三章函数 3.2分段函数 》 梳理·必备知识 学生用书P25 《 基础盘点 落实双基 [知识点]分段函数 2.x,x>0 1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不 解析：B[函数f(x)= {x2+1,x≤0 同取值范围有着不同的对应关系的函数表达式.例 若a>0,可得f(a)=-2a,由f(a)+f(1)=0,知 如：函数y=|x与函数y 1x,x≥0 是同一分段 -2a-2=0,解得a=-1(舍)； -x,x< 若a≤0，可得f(a)=a2+1,由f(a)十f(1)=0,知 函数 a2十1-2=0，解得a=1(舍)或a=-1,符合题意. 2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段 综上，a=-1. 函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的 故选B.] 交集是空集， 4.已知函数f(x)的对应值如下表所示： [基础自测] 函数y=f(x)的对应值表 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） (1)分段函数由几个函数构成 0 (2)函数f(x)= (x+1,x≤1 1-x+3,x>2 是分段函数.( (3)分段函数的图象不一定是连续的 (4)y=|.x-1|与y= 1x-1,x≥1 则f[f(2)]= 是同一函数 -x,x<1 A.4 B.5 C.6 D.7 解析：D[由表可解f(2)=5,所以fLf(2)] 答案：(1)× (2)/(3)/(4)/ f(5)=7,故选D.] 2,x2 [0,.x>0 2.函数f(x) 则f(2)= 5.已知函数f(x)= 元，x=0 ,则f(f(f(-1))的值等 ,x≥2 x+1,x0 A.-1 B.0 C.1 D.2 于 解析：A [当x=2时，则f(2)=- 2 =-1.故 0,x>0 解析：因为f(x)={π，x=0 选A.] π2+1，x<0 -2.x.x>0 3.已知函数f(x)= x2+1,x≤0 若f(a)+f1)=0,则 所以f(-1)=x2+1, 所以f(f(-1)=f(π2+1)=0， 实数a的值等于 所以f(f(f(-1))=f(0)=π. A.1 B.-1 故答案为π C.-1或1 D.-3或3 答案：元 提升·学科素养 学生用书P25 《 直击考向 通法悟道 春点一 分段函数求值 通性通法 2x-5,x≥0 [例1]已知函数f(x) (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在 {x2+2x,x<0 (1)求f[f(1)]的值； 的范围，代入相应的解析式求解.对于含有多层 (2)求f(|a-1)<3,求实数a的取值范围. “f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层 [解](1)因为1>0，所以f(1)=2×1-5=-3, 处理. 因为-3<0，所以f[f(1)]=f(-3) =(-3)2+2×(-3)=3. (2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“”脱掉， (2)因为la-1|≥0，则f(|a-1|)=2|a-1|-5, 转化为关于自变量的方程求解. 因为f(a-1)<3,所以2a-1|-5<3, (3)求解函数值的不等式时，直接转化为不等式求 即a-1|<4, 解得-3<a<5. 解，也可通过图象求解。 ·31· 高考总复习数学 食跟踪训练 (2)由(1)知，当0≤≤号时，0≤<1152：当青< x2+1 (x0) 1.已知函数f(x) 2 ,则f[f(1)]= ≤号时，1.52<y≤2.4：当>音时y>22.4 (x>0) ( 所以若甲、乙两户共交水童26.4元时x>青 A.5 B.-5 C.-2 D.2 所以24x-9.6=26.4,解得x=1.5,5.x=7.5, 解析：A[1>0,.f(1)=-2,-2<0, 3x=4.5; f(-2)=(-2)2十1=5，故B,C,D错误.故选A.] 所以甲户用水量为7.5吨，应缴水费1.8×4十3× 春点“分段函数的应用 3.5=17.7元；乙户用水量为4.5吨，应缴水费1.8 ×4+3×0.5=8.7元. [例2]某市居民自来水收费标准如下：每户每月用 ★跟踪训练 水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨 2.某市居民生活用电电价实行全市同价，并按三档累 时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水 进递增.第一档：月用电量为0~200千瓦时（以下 费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5.x吨、 简称度)，每度0.5元；第二档：月用电量超过200 3x吨. 度但不超过400度时，超出的部分每度0.6元；第 (1)求y关于x的函数； 三档：月用电量超过400度时，超出的部分每度0.8 (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出 元；若某户居民9月份的用电量是420度，则该用 甲、乙两户该月的用水量和水费. 户9月份应缴电费是 () [解]1)当5≤4，即x≤号时，3<4， A.210元 B.232元 C.236元 D.276元 所以y=1.8×(5.x+3x)=14.4x. 解析：C[依题意可得某户居民9月份的用电量是 当5x>4,3x≤4， 420度时，该用户9月份应缴电费为200×0.5+ 即春<≤号y=1.8X4+3X(6-40+1.8X3x 4 200×0.6+200.8=236元.故选C.] =20.4-48当3x>4,即>号时，5x>4y 3.已知函数f(x) W+1,-1<x<0,若实数a满足 2.x,x≥0 1.8×(4+4)+3×(5.x-4)+3×(3.x-4)=24x a=a-期台) 9.6, 解析：由题意得a>0. [14.4x,0≤x≤5， 4 当0<a<1时，由f(a)=f(a-1),即2a=a 4 综上y= 4 20.4x-4.8,5<≤3， 解得a=子，则f(日)-f4)=8,当u≥1时， 由f(a)=f(a-1),得2a=2(a-1),无解. 24r-9.6>号 答案：8 》 突破·高效演练 学生用书P26 《 分层训练 ■高效提能 [基础题组练] 3.已知函数f(x)= x2+1,x≤1 {-2x,0若f(x)=10. (x2+1,x≤0 1.设函数f(x)= 2 ,则ff(3)]= ( 则x= ( x>1 A.-20 B.3 C.-3 D.-5 A号 B.3 c号 D 解析：C[当x≤0时，由x2十1=10得：x=-3或 x=3(舍)；当x>0时，由-2x=10得：x=-5 答案：D （舍)；x=-3.故选C.] 2.x,x>0 2.已知f(x) 4.(多选题)设函数f(x)= {,心00若fa)=4, ∫-x,x≤0 则实数a= = A.2 B.-2 C.4 D.-4 A.-2 B.4 C.2 D.-4 aD[向2C86-4表。 a=4或0 答案：B =2.] ·32 第三章 函数 (x+2,x≤0 当0<x<3时，f(.x)=4-x2∈(-5,4)， 5.已知函数f(x)= 则不等式f(x)≥ x+2,x>0 所以一当一4≤x<3时，f(.x)取值的集合为(-5,9]. 2x的解集是 [综合题组练] A(,】 B.(-∞，0] 1.设f(x)= 1-丘x≥0，则f兀f(-2)]=（） (2,x<0 D.(-o∞，2) 1 A.-1 C.2 解析：A[当x>0时，f(x)=一x十2≥2x,解得 3r<2,所以0≤号当≤0时f)=x十2≥ 解析：C [由已知得f(-2)=23=子，f[f(-2)] 2x,解得x2,又x≤0，所以x≤0. 综上，原不等式的解集为(，号]故选A门 2.函数f(x)= x+6,x∈[1,2] 6.设函数f(x)= t1圆-们- 十7，x∈t1,则fG)的最大值 和最小值分别为 A.10,6 B.10,8 解析：f[f(-4)]=f(16-4-2)=f(10)=-1. C.8,6 D.10,7 答案：一1 解析：A[由题意得当1≤x≤2时，7≤f(x)≤10； 7.已知函数f(x)= x+1,x≤1 1-2,1若fx)=-3,则 当-1≤x<1时，6≤f(x)<8.所以函数f(x)的最 大值为10，最小值为6.故选A.] 3.(2023·春招，5)如图所示， y/m 解析：若x≤1，由x十1=一3，得x=一4. 在平面直角坐标系xOy中， 1500 分别给出甲、乙同学在 甲 若x>1,由1-x2=-3得x2=4,解得x=2或x =一2（舍去）.综上可得，所求x的值为一4或2. 1500m比赛中所跑的路程 答案：-4或2 y(m)关于时间x(s)的函数图 象，其中(0，x1)为起跑阶段， 2x3 8.已知函数f(x)= x+1,x≤0若fa)+f1)=0, (2,x>0 (x2,x)为冲刺阶段，则下列结论正确的是 则实数a的值等于 A.起跑阶段，甲跑得比乙快 解析：因为f(1)=2,且f(1)十f(a)=0,所以f(a)= B.起跑阶段，甲、乙跑得一样快 -2<0,故a≤0.依题知a十1=-2，解得a=-3. C.冲刺阶段，甲跑得比乙快 答案：-3 D.冲刺阶段，甲、乙跑得一样快 9.已知函数f(x)= 答案：A 4-x2,(.x>0) 以 4.若函数f(x)在闭区间[-1,2] 12,(x=0) 3 上的图象如图所示，则此函数 1-2x,(x<0) 2 的解析式为 (1)画出函数f(x)的简图（不 解析：由题图可知，当一1≤x 必列表)； 3-2-10123x <0时，f(x)=x十1；当0≤x (2)求f(f(3))的值； -2 1 ≤2时，f(x)= 2x, (3)当-4≤x<3时，求f(x)取值的集合. 4一 x2,(x>0) x+1,-1≤x<0, 所以f(x)= 1 解：(1)由分段函数f(x)= 2,(x=0) 可知，函 2x,0≤x≤2. 1-2x,(x0) x+1,-1≤x<0 数f(x)的简图为 答案：f(x) 1 x,0≤x≤2 3 5.已知f(x) 2x+1,x≤0， 试求使f(x)≥-1 21 -(x-1)2,x>0, -3-2-101含3 成立的x的取值范围。 -1 解：f(x)≥-1， -2 x≤0， (2)因为f(3)=4-32=4-9=-5,所以f(f(3)) =f(-5)=1-2×(-5)=1+10=11. (3)当-4≤x<0时，f(x)=1-2x∈(1,9]； 解得-4≤x≤0或0<x≤2，即-4≤x≤2， 当x=0时，f(x)=f(0)=2; .所求x的取值范围是[一4,2]. ·33