3.1 函数的概念及其表示方法（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第三章 函数 函数的定义 函数概念 定义域同一函数（定义域 函数的两要素一 对应法则对应法则都相同) 常见函数的定义域的求法 列表法 正比例函数 西数的厂 图象法 综合法 定义 增区间 一次函数 表示法 解析法☐ 增函数 图象 单调 单调性 判断证明 区间减区间 反比例函数 减函数一般步骤 二次函数 函数的性质 奇偶性 奇函数 偶函数 定义 指数函数 基本初 函数 周期性 图象 图 等函数 判断证明一般步骤 对数函数 般式 形式 顶点式 ☐解析式求法一待定系数法 幂函数 交点式 三角函数 二次函数 图象和性质一a>0 -a<0 常值函数 与一元二次方程，一元二次不等式 分段函数 分段函数 函数的应用二次函数 一次函数 3.1 函数的概念及其表示方法 》 梳理·必备知识 学生用书P21 《 基础盘点 落实双基 [知识点一] 函数的概念 [知识点三]函数的三种表示方法 般地，设A,B是非空的实数集，如果 表示法 定义 对于集合A中的任意一个数x,按照某 用数学表达式表示两个变量之间的对应 种确定的对应关系f,在集合B中都有 解析法 概念 关系 唯一确定的数y和它对应，那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 函数 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 对应 关系 y=f(x),x∈A [基础自测] 定义 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”) 域 x的取值范围 (1)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着 与x的值相对应的y 值域 不同的y. () 的值的集合{f(x)|x∈A} (2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也 [知识点二]相同函数 就确定了 () 值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数 (3)f(x)=3.x+4与f(t)=3t+4是相同的函数. 的定义域和对应关系相同，我们就称这两个函数是 ( 同一函数.两个函数如果仅对应关系相同，但定义 (4)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之 域不同，则它们不是相同的函数 对应 () ·26 第三章函数 (5)两个函数相同指定义域和值域相同的函数. 解析：B[对于A,函数y=(W十1)2的定义域为{x x≥一1}，与函数y=x十1的定义域不同，不是相等 答案：(1)×(2)/(3)/(4)×(5)× 函数；对于B,定义域和对应关系都相同，是相等函 2.函数y=√2x-3+3的定义域为 ( 数：对于C,函数)=工+1的定义战为{xx≠01， A.+) B.(-∞，3)U(3,+∞) 与函数y=x十1的定义域不同，不是相等函数；对 C.|23jU3,+∞)D.3,+eo) 于D,定义域相同，但对应关系不同，不是相等 函数.] 解析：C [由23≥0解得x≥多且≠3，所以 0x-3≠0， 4.已知f()+5,则f) 已知函数的定义越为[受3U3,十).门 解析：令1=是则1≠0x=}f)=(日)+5 3.下列函数中，与函数y=x十1是相等函数的是 ( =1.所以fr)=5(x≠0). t 2 A.y=(Wx+1)2 B.y=Vr+1 C.y=+1 D.y=√x+1 答案：：0) 》 提升.学科素养 学生用书P22 《✉ 直击考向 通法悟道 专点一 函数概念的理解 [例1]下列四个图形中，不是函数图象的是( y 2x0 D [解析][对于ABC,每一个x的取值均有唯一的 解析：D[A中的对应不满足函数的存在性，即存 一个y值与其对应，符合函数定义，则ABC中图象 在x∈M,但N中无与之对应的y;B、C均不满足 均为函数图象；对于D,对于每一个x∈(0,2]的取 函数的唯一性，只有D正确.门 值，都有两个y值与其对应，不符合函数定义，则D 中图象不是函数图象.故选D.] 专点二已知函数的解析武求定艾域 [答案]D [例2]求下列函数的定义域： 通性通法 (1)一个对应关系函数，要满足A,B必须是非空数集； 1y=2+322y=F-2x-3 A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A 中任一元素在B中必有唯一元素与其对应. [解](1)当且仅当x一2≠0，即x≠2时，函数y= (2)函数中两变量xy的对应关系是“一对一”或者 是“多对一”而不能是“一对多” 2十有言又，所以这个通数的定义战为≠2 食跟踪训练 (2)要使函数有意义，需x2一2.x-3≥0，即(x-3) 1.若集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}，则下 列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f: (x十1)≥0，所以x≥3或x≤一1，即函数的定义域 M-N的是 ( ) 为{xx≥3或x≤-1}. ·27· 高考总复习数学 通性通法 ③f(x)=|x十3|，与g(x)的解析式不同，不是相等 求函数定义域的几种类型 函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；⑤ (1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R. f(t)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相 (2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零 等函数 (3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零 [答案]⑤ (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域 通性通法 是几个部分定义域的交集 判断两个函数为同一函数的方法 (5)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合实际情 判断两个函数是否为同一函数，要先求定义 境，使其有意义. 域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相 食跟踪训练 同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同. 2.求下列函数的定义域： [注意](1)在化简解析式时，必须是等价变形， (1)y=(x+1)2 W-x2-x+6; (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么 x+1 字母表示自变量、因变量是没有限制的 (2)y= W/10-x x-3 ★跟踪训练 解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 3.与函数y=x-1为同一函数的是 x+1≠0 1x≠一1 ,即 Ay=2- B.m=(Wn-1)2 -x2-x+6>0'{x2+x-6≤0 即1 C.y=x-x° D.y=(t-1) 解得-3≤x≤2且x≠-1， (x+3)(x-2)≤0 解析：D[A中的x不能取0；B中的n≥1；C中的 即函数定义域为{x|一3≤x≤2，且x≠一1}. x不能取0；D化简以后为y=t一1.故选D.] 110-x2≥ (2)要使函数有意义，则 ,解得-√10≤ 专点四 求函数解析式 |x|-3≠ [例4](1)已知函数f(x)是一次函数，若f几f(x)] x≤10，且x≠土3，即定义域为{x|一√I0≤x≤ 4x+8,求f(x)的解析式. √10，且x≠±3}. (2)已知函数f(W+1)=x十2√元+1，求f(x)的 春点 函数相同 解析式。 [例3]下列各组函数： (3)已知函数f(x)满足2f(x)十 3x,求 ①fx）=x-工，g(x)=x-1:②fx)=E,g(x) x f(x)的解析式. -2:®f)=+3,g)=+3:④) [解](1)设f(x)=a.x+b(a≠0)，则f[f(x)] =f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. x十1，g(x)=x十x°；⑤汽车匀速运动时，路程与时 又f[f(x)]=4x+8,.a2x+ab+b=4x+8, 间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数 a=2 g(x)-80x(0≤x≤5). 即 6= 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的 3 序号) “fx)=2x+号或f)=-2x-8. [解析]①f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等 函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是相等 (2)配凑法：f(√(+1)=x十2√(+1=(W元+1)， 函数； .f(x)=x2.又x+1≥1，.f(x)=x2(x≥1). ·28 第三章函数 换元法：令t=√x+1,则x=(t-1)2.由于x≥0，所 (3)方程组法：已知关于f(x)与 或f(-x)的 以t≥1. 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)+1=2,所以 表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式 f(x)=x2(.x≥1) 组成方程组，通过解方程组求出f(x). (31:2f)+f()3x,①将x用上替提， 食跟踪训练 4.(1)已知f(x)是二次函数且满足f(0)=1,f(x+1)- 得2()+)=，@ f(x)=2.x,则函数f(x)的解析式为 (2)已知f(x+1)=x2-3.x十2，求f(x). 联立①②得 ,解得f(.x)=2x (3)已知f(x)+2f(-x)=x+2x,求f(x). 2)+f)- (1)解析：设f(x)=a.x2十b.x十c(a≠0)，由f(0)=1 -是u≠0)，脚r)的解折式是fx)=2红-（ 得c=1,则f(x)=ax2十bx十1，f(x十1)-f(x) [a(.x+1)2+b(x+1)+1]-(ax2+b.x+1)=2ax ≠0). +a+b=2x. 通性通法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数 故得/2a2 ,解得a=1,b=-1, (a+b=0 法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条 故得f(x)=x2-x十1. 件列方程（组），通过解方程（组）求出待定系数，进 答案：f(x)=x2-x十1 而求出函数解析式. (2)解：配凑法：，f(x十1)=x2-3x十2=(x+1) (2)已知f(g(x)=h(x),求f(x),常用的有两 -5x+1=(.x+1)2-5(.x+1)+6,.f(x)=x2 种方法： 5x+6. ①换元法，即令t=g(x),解出x,代入h(x)中， 换元法：令t=x十1，则x=t-1,.f(t)=(t-1) 得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意： -3(t-1)+2=t2-5t+6,即f(.x)=x2-5x+6. 换元后新元的范围， (3)解：：f(.x)+2f(-x)=x2+2x,① ②配凑法，即从f(g(x)的解析式中配凑出 .将x换成-x,得f(-x)十2f(x)=x2-2x.② “g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然后将解析式 中的g(x)用x代替即可. 由①@得3f(x)=r2-6xf)=号2-2x 》 突破·高效演练 学生用书P24 分层训练 高效提能 [基础题组练] 2.函数y=√x-1-3的定义域是 1.函数符号y=f(x)表示 A.(-2,4) B.(-∞，-2)U(4,+∞) A.y等于f与x的乘积 C.[-2,4] D.(-o∞，-2]U[4,+o∞) B.f(x)一定是一个式子 答案：D C.y是x的函数 3.y与x成反比，且当x=2时，y=1,则y关于x的 D.对于不同的x,y也不同 函数关系式为 解析：C[符号y=f(x),即“y是x的函数”的数 学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与 A.y- B.y=-1 x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，可以是图象、 表格，也可以是文字叙述，故A、B错误；当y=x c- D.y=-2 x 时，x=1或x=一1时，y=1,故D错误.故选C.] 答案：C ·29· 高考总复习数学 4.(多选题)下列函数中，值域为(0，十∞)的是( 解：由题可知，要使函数有意义，则有 A.y=√a 12.x2-7x十3≥0 解得 (x 或≥3，则有 x-a>0 C.y 1 x>a D.y=x2+1 解析：BC[y=√的值域为[0，+o∞)，y= 的 ①当4<号时，)的定义装为 为(0，十)y=的值城为0，十∞)y7子 ≤a<3时，f(x)的定义城为(xx≥3： ②当1 的值域为[1，十∞).] ③当a≥3时，f(x)的定义域为{xx>a}. 5.已知函数f(.x)=√a-x的定义域为(-o∞，1]，则实 [综合题组练] 数a的取值集合为 1.已知f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的表达式是 A.1} B.(-c∞，1] ( C.[1,+o∞) D.(-,1)U(1,+∞) A.fx)=x2+6xB.f(x)=x2+8.x+7 解析：A[由a-x≥0可得x≤a,即f(x)的定义 C.f(x)=x+2x-3D.f(x)=x2+6.x-10 域为（一o∞，a],所以a=1,则实数a的取值集合为 解析：A[设t=x-1,则x=t十1. {1},故选A.] f(x-1)=x2十4.x-5, 6.(2023·春招，2)函数f)=气3的定义域是 .f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t,.f(x)的 表达式是f(x)=x2+6.x.故选A.] A.[0,3) 2.已知函数f(x)=x-的图像经过点(5,4)，则实 x B.[0,+o∞) 数m的值为 C.(-o∞，3)U(3,+∞) A.3 B.4 C.5 D.6 D.[0,3)U(3,+∞) 答案：D 解析：C[由题意可得4=5-号，解得m=5,故 7.设函数f(x)=x2-2x-1,若f(a)=2,则实 选C.] 数a= 3.函数f(x)= 2.x 十(2x一1)°的定义域为 解析：由f(a)=2,得a2-2a-1=2,解得a=-1 √1-x 或a=3. 答案：-1或3 解析：列式得一x>0 8.已知函数fx)=-1的定义域为 2.x-1≠01 √x-1 郎得x(0)U(合 解析：由f(x)= x-1有意义可知，x2-1>0,解 √x-1 答案：(，)0（合 得x<-1或x>1, 故函数的定义域为{xx>1或x<-1}. 4.已知函数f(x)=√2x-x. 答案：{xx>1或x<-1} (1)求函数f(x)的定义域. 9.一个面积为100cm的等腰梯形，上底长为xcm, (2)若a≥f(x)恒成立，求a的取值范围 下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关 解：(1)由题意，函数f(x)=√2x-x,要使函数 系为 f(x)=√2x-x有意义，则满足2x-x≥0， 解析：由梯形的面积公式有1O0=士3.y,得 即x2-2x=x(x-2)≤0，解得0≤x≤2， 2 故函数f(x)的定义域为[0,2]. y=50(x>0). (2)由(1)知x∈[0,2]， 令y=2.x-x2=-(x-1)2+1, 答案：y=50(x>0) 当x=1时，ymax=1;当x=0或2时，ymm=0, 10.已知函数f(x)=√2.x-7x+3+1,求f(x) 所以0≤2x-x2≤1，可得0≤√2.x-x≤1， Vx-a 又由a≥f(x)恒成立，得a≥f(x)mx=l, 的定义域 故a的取值范围为[1，十o∞). ·30·