2.3 一元二次不等式（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第二章 不等式 2.3 一元二次不等式 》 学生用书P17 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一]一元二次方程 [知识点六] 图象法解一元二次不等式 1.一元二次方程的定义 △=b2-4ac 4>0 4=0 4<0 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的 个y 整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般 =ax2+bx+ 形式为ax2十b.x十c=0(a,b,c是常数，且a≠0)，其 (a≥0)的图象 xi/x2 X1=X2x 中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常 数项。 有两个不相等 有两个相等 x2+bx+c=0 2.方程的解与解方程 的实根x1,2 的实数根 没有实数根 (a>0)的根 能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做 且x1<x2 x1=2 方程的解.求出方程的解或者确定方程无解的过 ax2+bx+c0 {xx<x1,或x>x2 程，叫做解方程 (a>0)的解果 品} [知识点二]用配方法解一元二次方程a.x2十bx十c x2+bx+c<0 xx<x<x -0(a≠0)的一般步骤 (a>0)的解果 1.把二次项系数化为1. [知识点七]分式不等式的解法 2.把常数项移动到等号的另一边， 解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理 3.在等号的两边同加相同的数. 将其转化为有理整式不等式（组）求解. 4.写成完全平方的形式. 5.开平方，注意根的个数. 1.f>0=f(x)g(x)>0: g(x) 6.求出结果 2.f<09fx)g(x)<0: [知识点三]解一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0) g(x) 的方法 3.f2≥09 (f(x)g(x)≥0 1.直接开方法， g(x) (g(x)≠0 2.因式分解法（提公因式法、公式法、十字相乘法）， 4.f≤0=fx)gx)≤0 3.求根公式法：判别式△=b一4ac. g(x) (g(x)≠0 当△>0时，方程有2个解； [知识点八] 一元二次不等式恒成立问题 当△=0时，方程有1个解； 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为 当△<0时，方程有0个解. R,对于一元二次不等式ax2+b.x十c>0,它的解集 当A≥0时，一元二次方程的求根公式为x 为R的条件为 /a0 -b±√62-4ac 4=b2-4ac≤0 2a 一元二次不等式ax2+bx+c≥0，它的解集为R的 [知识点四]一元二次方程的根与系数的关系 设方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个根为x1,x2, 条件为>0 {a=b2-4ac≤0 则x1十x2=一 b c 一元二次不等式a.x2十bx十c>0的解集为⑦的条 [知识点五]一元二次不等式的概念 件为/a<0 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的 i4≤0 最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一 2.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即 元二次不等式的一般形式是a.x2+b.x十c≤0或a.x ≥f(x)恒成立台k≥f(x)mx;k≤f(x)恒成立台k≤ +b.x十c>0,其中a,b,c均为常数，a≠0. f()min ·21 高考总复习数学 [基础自测] 3.设集合M={xx2-3x-4<0},N={x0≤x≤5}，则 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） M∩N= (1)m.x2-5.x<0是一元二次不等式. A.(0,4] B.[0,4) (2)若a>0,则一元二次不等式a.x2+1>0无解. C.[-1,0) D.(-1,0] ( (3)若一元二次方程a.x2十bx十c=0的两根为x1,x2 解析：B[因为M={x|-1<x<4},N={x|0≤x (x1<x2),则一元二次不等式a.x2+bx十c<0的解 ≤5}，所以M∩N=[0,4).] 集为{xx1<x<x2. ( ) 4.不等式-x2-2x十3≥0的解集为 (4)不等式x2-2.x+3>0的解集为R. 解析：不等式两边同乘以一1，原不等式可化为x2十 (5)若不等式ax2十b.x十c<0(a≠0)的解集为(x1, 2.x-30. x2),则必有a>0. ( ) (6)若方程a.x2十bx十c=0(a≠0)没有实数根，则不等式 方程x2十2x-3=0的解为x1=-3,x2=1. a.x2+br十c>0的解集为R. 而y=x2十2x一3的图象开口向上，可得原不等式 (7)不等式a.x十b.x十c≤0在R上恒成立的条件是a -x2-2x+3≥0的解集是{x-3≤x≤1}. <0且△=b2-4ac≤0. () 答案：{x-3≤x≤1} (8)若二次函数y=ax2+bx十c的图象开口向下，则 不等式ax2十b.x十c<0的解集一定不是空集. 5.不等式2x(.x-7)>3(x-7)的解集为 解析：2x(x-7)>3(x-7)台2x(x-7)-3(x-7) 答案：(1)×(2)×(3)×(4)/ (5)/ (6)×(7)X(8)/ >0与(x-7)(2x-3)>0,解得x<号或x>7,所 2.已知二次函数y=a.x2+bx十c的图象如图所示，则 不等式ax2十b.x十c>0的解集是 以原不等式的解来为{<号或>} y=ax2+bx+c 答案：{<或x>} 6.已知函数f(x)=ax2十a.x-1,若对任意实数x,恒 有f(x)≤0，则实数a的取值范围是 解析：当a=0时，f(x)=-1≤0成立， A.(-2,1) 当a≠0时，若对Hx∈R,f(x)≤0， B.(-o∞，-2)U(1,+∞) -4×a×(-1)0 C.[-2,1] 须有 ,解得-4≤a<0. D.(-∞，-2]U[1,+o∞) la<o 解析：A[由题中图象可知一2<x<1时，y>0即 综上知，实数a的取值范围是[一4,0]. ax2十bx十c>0,故选A.] 答案：[-4,0] 》 提升·学科素养 学生用书P18 《 直击考向 通法悟道 吉点一不含参数的二元三次不等式的解法 结合二次函数y=9x2一12x十4的图象知，原不等 [例1]解下列不等式： 式的解集为 } (1)-x2+7x>6; (2)4(2.x2-2x+1)>x(4-x). 通性通法 [解](1)原不等式可化为x2-7x+6<0. 解一元二次不等式的步骤 解方程x2-7x十6=0得，x1=1,x2=6. (1)化为基本形式a.x2+bx+c>0或a.x2+b.x+c<0 结合二次函数y=x2一7x十6的图象知，原不等式 (其中a>0); 的解集为{x1<x<6}. (2)计算△=b2-4ac,以确定一元二次方程a.x2 (2)由原不等式得8x2-8x十4>4x-x2. b.x十c=0是否有解； .原不等式等价于9x2一12x十4>0. (3)有根求根； 部方程9r-12z十4=0，得x=。=号 (4)根据图象写出不等式的解集， ·22 第二章不等式 ★跟踪训练 专点二元三次不等式恒成立的问题 1.解不等式(2-x)(x十3)<0. [例3]设函数f(.x)=mx2-mx-1. 解：原不等式可化为(x-2)(x十3)>0. 若对于一切实数x,f(x)<0恒成立，求m的取值 方程(x一2)(x十3)=0两根为2和一3. 范围. 结合二次函数y=(x一2)(x十3)的图象知，原不等 [解]若m=0,显然-1<0恒成立； 式的解集为{xx<-3,或x>2 (m0, 若m≠0，则 →-4<m<0. 春点二含参数的二元二次不等式解法 △=m2+4m<0 [例2]已知关于x的不等式x2十a.x十b<0的解集 .m的取值范围为（一4,0]. 为{x|1<x<2},求关于x的不等式bx2+a.x+1>0的 通性通法 解集。 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是 [解]，x十ax十b<0的解集为{x1<x<2}, 相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x .1,2是x2+十ax十b=0的两根. 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给 由韦达定理有厂a=1十 得∫a=一3 定的区间上全部在x轴下方；另外常转化为求二次 16=1×2符{6=2 函数的最值或用分离参数法求最值 代入所求不等式bx2+ax+1>0,得2.x2-3.x+1 (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即 >0. k≥f(x)恒成立台k≥f(x)mx;k≤f(x)恒成立 由2x2-3x+1>0台(2.x-1)(.x-1)>0台 台k≤f(x)min <号或>1 ★跟踪训练 3.二次不等式a.x2+2x-1<0的解集为R,则a的取 ∴.bx2十ax十1>0的解集为 值范围是 通性通法 解析：<0 1a<0 →a<-1,即a的取值范 {△<0{4+4a<0 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 围为(-∞，一1). (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0， 答案：(-∞，-1) 还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或 二次项系数为正的一元二次不等式； 专点四 一元三次不等式的实际应用 (2)判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数， [例4]近年来，我国中西部地区积极推进“一带一 即讨论判别式△与0的关系； 路“建设，提高对外开放水平，提升经济发展速度. (3)确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写 成都某公司借此契机，成功将其生产的汽车特种玻 出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两 璃销往欧洲市场.自2022年起，该种玻璃售价为 实根的大小关系，从而确定解集形式. 30欧元/平方米，年销售量为80万平方米，年销售 收入为2400万欧元.随着生产成本的提高，该公 食跟踪训练 司计划2026年起将销售价格提高x欧元/平方米. 2.解关于x的不等式x2-a.x-2a<0(a∈R) 若售价每提高1欧元/平方米，年销售量将减少 解：原不等式转化为(x-2a)(x十a)<0,对应的一 2万平方米。 元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.①当2a>-a, (1)用含x的代数式表示提价后该特种玻璃的年销 即a>0时，不等式的解集为{x-a<x<2a}; 售量； ②当2a=一a,即a=0时，原不等式化为x2<0, (2)要使年销售收入不低于2400万欧元，那么该 无解； 特种玻璃的售价最高为多少？ ③当2a<一a,即a<0时，不等式的解集为{x|2a<x< [解](1)设年销售量为y万平方米， -a}. ,售价每提高1欧元/平方米，年销售量将减少2万平 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x一a< 方米， x<2a};当a=0时，原不等式的解集为心；当a<0 '.将销售价格提高x欧元/平方米后，该特种玻璃 时，原不等式的解集为{x|2a<x<一a}. 的年销售量y=80-2.x(0≤x<40). ·23· 高考总复习数学 (2),将销售价格提高x欧元/平方米后，该特种玻 解：假设降价x元，考虑到实际情况，价格的降幅应 璃的年销售量y=80-2.x(0≤x<40), 小于10元，即保证销售价高于成本价，所以要求x .年销售收入为(30十x)(80-2x) >0并且x<10,即0<x<10. =-2x2+20x+2400, ,年销售收入不低于2400万欧元， 平时的日平均利润为(20一10)×100=1000（元）， .-2.x2+20x+2400≥2400， 降价x元后，销售单价为(20一x)元，单个玩具的利 .-2.x(x-10)≥0， 润为(20-x)一10=(10-x)元，日平均销售量为 解之得0≤x≤10 (100+20.x)个， 所以该特种玻璃的售价最高为10十30=40欧元/ 因此，降价x元后的日平均利涧为(10一x)(100十 平方米 20x)元. 华跟踪训练 由题意得(10-x)(100十20x)≥1000， 4.已知某网店销售一种电动玩具，成本为10元/个， 化简得-20.x2十100.x≥0，即x(x-5)≤0， 平时按单价20元销售，日平均销售量为100个.为 进一步提升业绩，该网店决定在“双11”期间举办 解得0≤x≤5，又0<x<10,所以取值范围是0<x 降价促销活动，根据以往的统计，如果该电动玩具 ≤5， 的单价每降低1元，日平均销售量就会增加20个， 即降价的范围应在0至5元之间（含5元，不含0 为了使促销活动期间日平均利润不低于平时，应如 元)，即单价定在15元至20元之间（含15元，不含 何确定降价的范围？ 20元). 》 学生用书P20 分层训练 突破·高效演练 高效提能 [基础题组练] A.b<0且c>0 1.下面所给关于x的几个不等式：①3x十4<0；②x2+ B.a-b+c>0 mx-1>0;③a.x2+4x-7>0;④x2<0.其中一定为一 C.a+b+c>0 元二次不等式的有 D.不等式a.x2+bx十c>0的解集是{x-2<x<1} A.1个B.2个 C.3个 D.4个 解析：ABD[对于A,a<0,-1,2是方程a.x2-b.u 答案：B 2.已知关于x的不等式x2-ax十b<0的解集为{x|2 十c=0的两个根，所以-1+2=1=号，-1×2= <x<3},则关于x的不等式bx2+ax十1<0的解 ,所以b=a,c=-2a,所以b<0,c>0,所以A 集为 ) a A.{x2<x<3} B.{x|-3<x<-2} 正确； c{-K}{} 令y=a.x2-bx十c,对于B,由题意可知当x=1时， a-b十c>0,所以B正确； 解析：C[因为关于x的不等式x2一a.x十b<0的 对于C,当x=-1时，a十b十c=0,所以C错误； 解集为{x|2<x<3},则2十3=a=5,2X3=b=6, 对于D,因为对于方程ax2十bx十c=0,设其两根为 不等式bx2+a.x+1<0为6x2+5x+1<0,解集 x,则x十，=-么=-1，x1,==-2,两 a a 为：{-言<x<}故选C] 根分别为-2和1.所以不等式ax2十b.x十c>0的解 3.已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6 集是{x|-2<x<1},所以D正确.] <0},则M∩N= 6.不等式x2+3x-4<0的解集为 A.{x-4<x<3}》 B.{x|-4<x<-2} 解析：易得方程x2十3.x一4=0的两根为一4,1，所 C.{x-2<x<2} D.{x2<x<3} 以不等式x2+3x-4<0的解集为（一4,1）. 答案：C 答案：(-4,1) 4不等式牛>0的解集为 7.不等式a.x2十bx十2>0的解集是 A.{x|-1<x≤1} .{x|-1≤x<1} {女-是<分}则a-b=—· C.{x-1≤x≤1} D.{x-1<x<1} 解析：不等式ax2十bx十2>0的解集是 答案：B 5.(多选题)若不等式a.x2-bx十c>0的解集是 {合<号}可得一吉是一元二次方程 (一1,2)，则下列选项正确的是 ( ) a.x2十bx+2=0的两个实数根， ·24· 第二章不等式 A.(-∞，-1)U(2,+∞) B.(1,2) 解得a=-12,b=-2, C.(-1,2) .a-b=-12-(-2)=-10. D.(-∞，1)U(2,+∞) 答案：一10 解析：C[由题知，不等式ax一b>0的解集是 8.学校计划在靠墙的位置围出一块长方形的花坛，目 （-∞，1)，所以2=1且4<0，因为(ax十b)(x-2) 前有可以垒出24m围栏的材料，要使花圃的面积 a 不小于70m2,与墙垂直的围栏的长度范围是 >0可变为(+}x-2)<0,所以(x+1Dx m. 2)<0,所以一1<x<2,所以不等式的解集是（一1， 解析：设与墙垂直的围栏的长度为xm,则与墙平 2),故选C.] 行的围栏长度为(24-2x)m,0<x<12,由题意，则 2.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元 有x(24-2x)≥70，化简得x2-12x十35≤0，即 的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1 (x-5)(x-7)≥0，解得5≤x≤7，所以与墙垂直的 元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使 围栏的长度范围是[5,7]m. 这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销 答案：[5,7] 售收入.则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取 9.关于x的不等式ax一b<0的解集是(1，十o∞)，则关 值范围是 () 于x的不等式(a.x十b)(x-3)>0的解集是 A.{x10≤x<16}B.{x|12≤x<18) 解析：关于x的不等式a.x-b<0的解集是(1，十oo), C.{x15<x<20}D.{x|10≤x<20} 即不等式a.x<b的解集是(1，十o∞)，a=b<0, 解析：C[设这批台灯的销售单价为x元，则单价 .不等式(a.x十b)(x-3)>0可化为(x十1)(x-3) 提高金额(x-15)元，其销量为2(x-15)盏，提价 <0,解得-1<x<3,∴.所求解集是(-1,3) 后日销售量30一2(x一15)，则销售收入为[30 答案：(-1,3) 2(x-15)]x,令[30-2(.x-15)]x>400,即x2 10.解关于x的不等式ax2-(a十1)x+1<0. 30x+200<0,可化为(x-10)(x-20)<0,解得10 <x<20,又x>15,所以15<x<20.故这批台灯的 解：①当a=0时，原不等式即为-x十1<0， 销售单价x的取值范围是{x15<x<20}.] 解得x>1. 3.若不等式x2一4x十3m<0的解集为空集，则实数 @当a<0时，原不等式化为-日)x-1D>0, m的取值范围是 解析：由题意，知x2-4x十3m≥0对一切实数x恒 解得<或x>1. 成立，所以△=(-4)-4X3m≤0，解得m≥号 @当a>0时，原不等气化为(e-)-10. .4 答案：m≥3 若a=1,即上=1时，不等式无解： 4.已知函数f(x)=a.x2+bx-a+2. (1)若关于x的不等式f(.x)>0的解集是(-1,3)，求 若a>1,即1<1时，解得1<x<1; 实数a,b的值； a (2)若b=2,a>0,解关于x的不等式f(x)>0. 若0<a<1,即1>1时， a 解：(1)由题意，知x=-1,x=3是方程ax2十bx 解得1<x< a十2=0的两个根， a 代入方程有。6十2=0 ·a=-1 综上，当a<0时，不等式的解集为 {8a+36+2=0“{6=2 (2)当b=2时，f(x)=ax2+2.x-a+2 =(ax-a十2)(x+1),:a>0, 当a=0时，不等式的解集为{xx>1}; .f(x)>0可化为x-a-2）(x十1D>0, a 当0<<1时，不等式的解案为{女1<<}： ①当0-2>-1，即a≥1时， 当a=1时，不等式的解集为⑦： a 当a>1时，不等式的解集为{日<<1} 解车为-1。} [综合题组练] ②当4-2<-1，即0<a<1时， 1.关于x的不等式a.x-b>0的解集是(-∞，1)，则关于 x的不等式(a.x+b)(x-2)>0的解集是 ) 解为{<或>- ·25·