2026年高考数学模拟冲刺卷05（全国一卷通用）

2026年高考数学模拟冲刺卷05（全国一卷通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（   ） A．5 B．3 C． D． 3．已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为 C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递减 5．已知双曲线的焦距为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 6．如图，在三棱锥中，平面平面和都是等腰三角形，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小正周期为4 D．在上单调递增 8．若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息（单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案，其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在某电商平台上，用户获取商品信息的途径有两种，一种是系统推荐，一种是用户自主搜索．根据大数据，用户在该平台获取的商品信息中有来自系统推荐．若商品由系统推荐，则用户购买的概率为，若商品由用户自主搜索，则用户购买的概率为．从该平台随机抽取一件商品，设事件为“该商品被用户购买”，事件为“该商品由系统推荐”，则（    ） A． B． C． D． 10．在平行六面体中，，，则（   ） A． B．平面 C． D．三棱锥的外接球表面积为 11．若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C．成等比数列 D． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______. 13．已知角的终边不重合，且，则___________. 14．已知分别为椭圆的左､右焦点，位于第三象限的点在上，.将沿其短轴翻折，使得的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直，则翻折后与之间的距离为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的面积的最大值. 16． （15分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，M是AD的中点，点N满足，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正切值． 17． （15分） 甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. (1)射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. (2)新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 18． （17分） 已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3)直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 19．（17分） 已知函数. (1)求在区间上的值域； (2)证明：； (3)已知，若存在，使得，求的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟冲刺卷05（全国一卷通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式 【详解】由题意得集合，集合， 根据交集的定义得. 2．已知复数z满足，则（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【详解】依题意，， 所以. 3．已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，即，解得. 4．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为 C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递减 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】应用二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质判断A、B；再由图象平移写出，结合奇函数性质及整体法求区间单调性判断C、D. 【详解】由题意得， 则的最小正周期，最大值为2，故A，B错误； 将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象， 所以，定义域为R，但，故C错误； 令，得， 因为，所以函数在区间上单调递减，故D正确. 5．已知双曲线的焦距为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【难度】0.68 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】令，则，解得，所以， 又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即， 所以，所以双曲线的离心率． 6．如图，在三棱锥中，平面平面和都是等腰三角形，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】几何图形中的计算、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直 【分析】如图设外接圆圆心为，外接球球心为，外接球半径为，由题设可得，据此可得答案. 【详解】如图设外接圆圆心为，外接球球心为，外接球半径为， 连接，则平面，取中点为，因，则， 又平面平面，，平面平面，平面， 则平面，又平面，平面，则，， 四点共面.因，，则， 从而四边形为平行四边形，. 由题，，则，由正弦定理推论： ， 因为为等腰三角形，且，所以， 所以又由题可得， 则，从而外接球表面积为：. 7．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．的最小正周期为4 D．在上单调递增 【答案】B 【难度】0.66 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】通过对和的平移换元，结合函数的奇偶性与周期性，转化出自身的对称轴和对称中心，进而推导出其奇偶性与周期性. 【详解】因为为偶函数，所以， 将替换为，则有①， 因为为奇函数，所以， 将替换为，则有， 再将替换为，则有②， 将替换为，则有③， 结合①③得④， 结合②④得，因此为偶函数，选项A错误，B正确； 因为，结合偶函数，将替换为得， 则，即2为的周期，选项C错误， 对于D选项，如满足偶函数且周期为2， 但不满足在上单调递增. 8．若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息（单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案，其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】先利用伯努利不等式对数列通项进行放缩，再通过裂项相消法求前项和，最终转化为由数列的单调性求的取值范围. 【详解】由伯努利不等式可得， 所以， 即，因此. 令，则， 则， 又，则，即，所以，因此数列为递增数列， 当时，，所以. 因对任意的，恒成立，则对任意的，恒成立， 则小于的最小值，即. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在某电商平台上，用户获取商品信息的途径有两种，一种是系统推荐，一种是用户自主搜索．根据大数据，用户在该平台获取的商品信息中有来自系统推荐．若商品由系统推荐，则用户购买的概率为，若商品由用户自主搜索，则用户购买的概率为．从该平台随机抽取一件商品，设事件为“该商品被用户购买”，事件为“该商品由系统推荐”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.72 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【详解】由已知得，，． 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，由全概率公式可得，故B错误； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 10．在平行六面体中，，，则（   ） A． B．平面 C． D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【难度】0.5 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】取定空间的一个基底，利用空间位置关系的向量证明推理判断AB；利用空间向量数量积运算律计算判断C；求出三棱锥外接球半径求解判断D. 【详解】在平行六面体中，令，则为空间的一个基底， ， 对于A，，不成立，A错误； 对于B，由，得，由菱形， 得，而平面，则平面，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，依题意，三棱锥为正四面体，令正的重心为，则平面， ，，令正四面体外接球半径为， 则，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，D正确. 11．若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C．成等比数列 D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】先利用导数判断两函数的单调性，求出极值，作出它们的图象，根据图象，利用函数与方程的思想，结合函数的性质逐一判断各选项即可. 【详解】对于，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，时，，当时，， 故； 对于，函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故. 对于A，由图知，要使直线与两条曲线和有四个不同的交点，需使，故A正确； 对于B，结合图象可知，，， 结合函数的单调性可知，，即故B正确； 同理可得，由知不可能构成等比数列，故C错误； 由前面分析可知，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______. 【答案】243 【难度】0.64 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】根据题意利用赋值法，令代入求解即可. 【详解】因为， 令，得， 两边同时乘以32，得. 13．已知角的终边不重合，且，则___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正弦函数对称性的其他应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用辅助角公式，化简得到，求得，进而得到答案. 【详解】由，可得， 因为， 且，所以， 因为角的终边不重合，所以， 则，可得， 所以. 14．已知分别为椭圆的左､右焦点，位于第三象限的点在上，.将沿其短轴翻折，使得的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直，则翻折后与之间的距离为__________. 【答案】 【难度】0.42 【知识点】证明面面垂直、椭圆定义及辨析、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】通过椭圆的基本性质得到焦点的坐标，采用数形结合的方法，通过线面垂直证明线线垂直，从而求得线段的长度. 【详解】 ，是椭圆的左、右焦点，即的坐标分别为， 因为，且为的中点， 所以， 设点为椭圆的短轴的一个端点，翻折后（如图所示）， 因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，则， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.68 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简可得，再结合，即可得出答案； （2）由余弦定理和基本不等式可得，再由三角形的面积公式即可得出的面积的最大值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 即， 由于，因此， 又因为，所以，则 因为，所以， 则，故 （2）由余弦定理可得， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 则的面积， 故的面积的最大值为. 16． （15分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，M是AD的中点，点N满足，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【难度】0.57 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法 【分析】（1）连接、交于点，连接，由是中点、，推出，再结合得，故，由平行线分线段成比例定理得，再由线面平行判定定理，得平面. （2）以为原点建系，写出各点坐标与相关向量，分别求出平面与平面的法向量，再用向量夹角公式算出两平面夹角的余弦值，进而求得正切值为. 【详解】（1）连接交于点，连接． 因为是的中点，，，所以． 又，所以，从而，在平面中，有． 所以，又平面BDN，平面． 所以平面． （2）因为底面，以为坐标原点，以的方向为轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，底面四边形为菱形，所以易得为等边三角形. 则，，，． 所以，，，． 设为平面的法向量， 则，即 可取． 设为平面的法向量， 则，即，可取． 设平面与平面的夹角为，则， 所以，所以． 设平面与平面的夹角的正切值为． 17． （15分） 甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. (1)射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. (2)新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 【答案】(1)（i）；（ii） (2). 【难度】0.44 【知识点】独立事件的乘法公式、递推法求概率、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，由题设求解即可. （ii）第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，可得化简后可得数列为等比数列，由此求解即可. （2）设表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，分别求解，即可. 【详解】（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件， 可得. （ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为， 所以，即. ， 令，得，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （2）表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率， 则①， ②， 联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为. 18． （17分） 已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2． (1)求的方程； (2)记的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线与交于另一点，直线与交于另一点，设，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； (3)直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）先设点，根据题设条件推得，结合离心率代入求出即可； （2）设，利用向量共线的坐标运算即可求解； （3）设，由联立方程组可得，再结合平面向量共线，分类讨论的取值即可. 【详解】（1）的渐近线方程为，设双曲线上一点， 则， 又在上，所以， 即，代入可得， 又，代入可得，所以的方程为. （2）由（1）易得，设， 由，可得， 即得，(*)， 又，所以， 即， ，即， 又，所以. 因为，所以，， 又，所以， 即， 所以，所以， 又，所以， 所以， 解得，即为定值. （3）设， 由消元得， 由，解得， 则有. 因为，所以 因为点在上，所以， 即， 因， 故得，即， 即， 代入韦达定理，可得 整理得. 当时，等式左边，右边，因为左边右边，不合题意； 当时，因，则，解得，产生矛盾，舍去； 当时，，解得或，故或. 综上，的取值范围为. 19．（17分） 已知函数. (1)求在区间上的值域； (2)证明：； (3)已知，若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.32 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题、裂项相消法求和 【分析】（1）根据导数判断单调性即可得到值域； （2）利用（1）得到的以及对不等式左边进行放缩，裂项相消求和即可证明不等式； （3）分离参数将不等式转为，再构造函数，分析其取值范围，从而得到的范围. 【详解】（1）由题得，所以在上单调递增， 于是有，且当时，， 故在区间上的值域为. （2）由（1）可知当时有，所以， 又因为，所以 ，证毕. （3）依题意有即， 当时不等式不成立， 当时，因为，不等式可变为， 根据重要极限可得， 又因为 ，所以， 从而可得当 时，， 所以接下来只分析的情况， 令，则 ，再令， 则， 时，同时由（1）有，所以， 则单调递减，可得，从而，单调递减， 所以，故应满足. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $