2.1 不等式的基本性质（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第二章 不等式 方程的概念 方程 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 按元 配方法 方程的分类 一元二次方程解法 因式分解法（十字相乘法）》 按次数 求根公式法 a>b a-b>0 根与系数的关系：韦达定理 实数大小的比较 a=b a-b=0 作差法比较两因式（数）大小 a<b a-b<0 思维导图 方程与不等式 对称性 不等式的基本性质传递性 加法法则 乘法法则 不等式 不等式的解集与区间 不等式的解 一元一次不等式阻)的解 c>0 含绝对值不等式的解lax+1>c c=0 lax+bl<cc<0 元二次不等式的解一般形式ax+bx+c>0a≠0) ax+bx+c<0(a≠0) 不等式的应用 解法配方法 不等式组法（因式分解） 图解法（三次函数图解） 2.1 不等式的基本性质 学生用书P11 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一]实数大小的基本性质 思考： 1.a-b>0台a>b;2.a-b=0台a=b; 1.若a>b,c>d,那么a十c>b十d成立吗？a-c> 3.a-b<0台a<b. b一d呢？ [知识点二]不等式的基本性质 提示：a十c>b十d成立，a-c>b-d不一定成立， 1.对称性：a>b台b<a, 但a-d>b-c成立. 2.传递性：如果a>b,b>c,那么a>c. 2.若a>b,c>d,那么ac>bd成立吗？ 3.加法法则：如果a>b,那么a十c>b十c. 提示：不一定，但当a>b>0,c>d>0时，一定 4.乘法法则：如果a>b,c>0,那么ac>bc.如果a>b, 成立 c<0,那么ac<bc [基础自测] [知识点三]不等式性质的相关推论 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） 1.移项法则：a十b>c→a>c-b. (1)a=b是9=b成立的充要条件. (×) 2.不等式相加法则：a>b,c>d→a十c>b十d! (2)a>b→ac2>bc2. (X) 3.不等式相乘法则：a>b>0,c>d>0→ac>bd. (3)若a十c>b+d,则a>b,c>d. (×) 4.乘方法则：a>b>0→a">b"(n≥2，n∈N*) (4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的. (×) [知识点四]几个常用重要不等式 (5)设a,b∈R,且a>b,则a3>b3」 (√) 1.a2≥0，(a∈R) 2.(a一b)2≥0，当且仅当a=b时等号成立. (6)若号>1.则a>b (X) 3.a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立. 答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/(6)× ·13. 高考总复习数学 2.已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项 解析：D[因为c<d<0,所以0<一d<一c, 中一定成立的是 又0<b<a,所以-bd<-ac,即bd>ac, A.ab-ac B.c(b-a)<0 C.cb2<ab D.ac(a-c)>0 又周为>0，所以船>晋即之>号] cdcd 解析：A[因为c<b<a,且ac<0,所以a>0,c< 0,b的符号不确定，b-a<0,a-c>0,b-c>0,据 4.若一 <a<B<受，则。一日的取值范围 此判断A成立，B,D不成立，C不一定成立.] 是 3.若a>b>0,c<d<0,则下列结论正确的是( A.-子>0 B.4-b<0 解析：由一 c> a<b 得-π<a-B<0. D. 答案：(-x,0) 》 直击考向 提升·学科素养 学生用书P12 通法悟道 春点一 用性质解不等式 1x3, x>-1, x+2(5-x)≥2， [例1]一元一次不等式组， 的解集是 .-1<x<3, 3(x-1)>-2(x-2) .不等式组的解集为(-1,3).故选C.] 吉点三 不等式性质的应用 A.(1,8] (] [例2]（特值法）设a,b∈R,则“a>b”是“aa|>b|b1” 的 C.[-8,1) D(古] A.充分不必要条件 x+2(5-x)≥2， B.必要不充分条件 [解析] 由题， 其中x十 3(x-1)>-2(x-2), C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2(5-x)≥2，化简得-x≥-8，解得x≤8,3(x-1) [解析]当b<0时， x2,化简得3z-3>一2x+4,解得 显然有a>b台aa>blb; 当b=0时，显然有a>b台aa>bbl; 故不等式组解集为 8故选B. 7 当b>0时，由a>b有a>b|, [答案]B 所以a>b台aa>b|bl. 综上可知a>b台aa>bb,故选C. 通性通法 [答案]C 1.熟记不等式性质. 通性通法 2.应用不等式性质时，注意字母有正有负还可能是0. 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不 ★跟踪训练 等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误 答案. 2x-6<0, 1.不等式组 的解集为 3x+3>0 ★跟踪训练 A.(-3,1) B.(-∞，-3)U(1,+o∞) 2.(一题多解)已知a>0>b,则下列不等式一定成立 的是 C.(-1,3) D.(-∞，-1)U(3,+∞) A.a2<-ab B.lal1b 12x-6<0, 解析：C[:不等式组 3.x+3>0, .)>(合)》 ·14 第二章 不等式 解析：C[通解：当a=1,b=-1时，满足a>0> 通性通法 6,此时a2=-abla=1b1,(合)<（合）所以 作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 A,B,D不一定成立，因为a>0>b,所以b-a<0, (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号 ab<0,所以1-1-4>0，所以1>1 结论。 a b ab 一定成 (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分 立，故选C 母或分子有理化；⑤分类讨论. 优解：因为a>0>b所以>0>，所以> 食跟踪训练 定成立.故选C.门 3.已知x>1,a=x3-1,b=x2-x,则 告点 A.ab0 B.b>a>0 数（式）的大小比较 C.a>6>1 D.6>a>1 [例3]已知a>b,e>f,c>0,求证：f-ac<e-bc 解析：A[利用作差法比较大小.因为x>1,所以 [证明](1)因为a>b,c>0,所以ac>bc, a-b=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x- 即-ac<-bc. 1)(x2+1)>0,b=x(x-1)>0,所以a>b>0.故 又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc. 选A.] 》 突破·高效演练 学生用书P13 分层训练 ■高效提能 [基础题组练] 解析：C[若a<b<0,则a2>b2,故A错；若0<a 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x), <b,则会>号放D错：若ab<0,即a<0,b>0,则 g(x)的大小关系是 A.f(x)=g(x) 。00>a,方之0>衣故B错，C三第所以 B.f(x)>g(x) 选C.] C.f(r)<g(x) 5.设a,b∈R,则“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2” D.随x的值变化而变化 答案：B 的 2.已知a,b∈R,若a>6,<分同时成立，则（ A.充分不必要条件 a B.必要不充分条件 A.ab0 B.ab<0 C.充要条件 C.a+b>0 D.a+b<0 D.既不充分又不必要条件 答案：A 解析：A[若a>2且b>1,则由不等式的同向可 3.若m<0,n>0且m十n<0,则下列不等式中成立 的是 ) 加性可得a十b>2十1=3，由不等式的同向同正可 A.-n<m<n<-m 乘性可得ab>2×1=2.即“a>2且b>1”是“a十b B.-n<m<-m<n >3且ab>2”的充分条件.反之，若“a十b>3且ab C.m<-n<-m<n >2”,则“a>2且b>1”不一定成立，如a=6,b= D.m<-n<n<-m 答案：D 合，所以a>2且6>1是a十6>3且ab>2”的充 4.已知a,b为非零实数，且a<b,下列不等式一定成 分不必要条件.故选A.] 立的是 ( ) 6.已知下列四个条件：①b>0>a,②0>a>b,③a>0 A.a2<62 B.ab2-a2b >6,①a>6>0,能推出}<方成立的有（) D.bxa A.1个B.2个C.3个D.4个 ·15 高考总复习数学 解析：C[由不等式的倒数性质易知条件①，②，④ [综合题组练] 部能挚出日<公由>0>6得日>名故能拉出 a 1已知条件甲：a>0,条件乙：a>b且日>行，则甲是 公成2的条件有3个] 乙的 A.充分不必要条件 7.已知-2<x<2,1<y<3,则x-2y的取值范围是 B.必要不充分条件 C.充要条件 B.(-8,2) D.既不充分也不必要条件 A.(-8,0) C.(-4,2) D.(-10,-2) 解析：B[由a>0不能推出a>6且>方放甲 解析：A[因为1<y<3,所以-6<-2y<-2,又 不是乙的元分条件.若a>b且>古，即a>6且 因为-2<x<2,所以-8<x-2y<0.故选A.] 8.(多选题)设b>a>0,c∈R,则下列不等式中正确 二4>0，则ab<0,所以a>0,b<0.所以由a>b ab 的是 ( 且】>行能推出a>0,故甲是乙的必受条件，所以 A.a B. 1-c7t-c 1 甲是乙的必要不充分条件，] c号号 2.已知1<a<4,2<b<8,则2a十b的取值范围是 D.ac2<bc2 ( 解析：ABC[因为y=x在(0，十o∞)上是增函数， A.1<2a+b<4 B.2<2a+b<8 C.42a+b16 D.4<2a+b8 所以a<b.因为y=1一c在(0，十o0)上是减函数， 解析：C[由1<a<4可得2<2a<8,而2<b<8, 所以>}-。周为号号-22%>0，所 故4<2a+b<16,故选C.] a b+2b(b+2)b 3.若角@，9满足-受<a<<x,则Q一月的取值范 以士号>4.当c=0时，ac2=bc,所以D不成立. 6+26 围是 故选ABC.] A(受，别 (警】 9.若a1<a2,b1<b2,则a1b十a2b2与a1b2+a2b1的大 小关系是 c..) n(- 解析：作差可得(a1b1十a2b2)一(a1b2十a2b1) 解析：B[-吾<a<,-艺<gK-<-g< =(a1-a2)·(b1-b2),因为a1<a2,b1<b2, 受-要<a受又aRa-K0,从而 3π 所以(a1-a2)(b1-b2)>0, 即a1b1十a2bg>a1b2十a2b1. <a-B<0.] 答案：a1b1+azb2>a1b2+a2b1 4.若c-ad≥0，bd>0,求证：古< b 10设a≥，有下列不等式：@号>名，@日< 证明：.bc-ad≥0，.bc≥ad,.bc+bd≥ad+bd, 即b(c+d)≥d(a+b). ③|a>|bl;④a|c≥b|c|,其中一定成立的有 .(填正确的序号) 又6>0，两边月路以d得吉≤ 解析：对于①，>0，故①成立； 5a<b0,求证合<号 对于②，a>0,b<0时不成立； 证明：由于么-只=-a=b十a)6-a a b ab ab 对于③，取a=1,b=一2时不成立； ,a<b<0,.b+a<0,b-a>0,ab>0, 对于④，c≥0，故④成立. :+a)h-a)<0,故2<8 ab 答案：①④ ·16·