1.3 充要条件（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第一章集合与充要条件 3.已知集合A={x|x-a≤0}，B={1,2,3},若A∩B 由CB={x|x≤0或x>3},所以A∩(CB) ≠，则a的取值范围为 解析：集合A={xx≤a},集合B={1,2,3},若 ={红-合<x≤0} A∩B≠心，则1,2,3这三个元素至少有一个在集 合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1. -3023 (2)由A∩B=☑知，当A=☑时，a-1≥2a+1, a≤-2，当A≠⑦时 答案：[1，十∞) 4.已知集合A={xa-1<x<2a+1},B={x0<x 12a+1>a-1,.t2a+1>a-1, 或 ≤3}，U=R. a-1≥3， 2a+1≤0， I)若a=,求AUB,An(CB). ∴a≥4或-2<a≤- (2)若A∩B=☑，求实数a的取值范围 解：(1)若a=号时A={-2<<2}B a-12a+10 a-1 0<3AUB={-<≤3} 综上：实数a的取值范国是{如a≤-或a≥4} 1.3充要条件 》 梳理·必备知识 学生用书P8 基础盘点 落实双基 [知识点一]命题 解析：A[:(A∩B)三A,.x∈A∩B→x∈A, 1.命题：能够判断真假的语句叫命题. .“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件.] 2.真命题与假命题： 3.“x=1”是“(x-1)2=0”的 (1)真命题：当命题给出的判断正确或符合客观实际 A.充分而不必要条件 时，称该命题为真命题. B.必要而不充分条件 (2)假命题：当命题给出的判断不正确或不符合客观 C.充分必要条件 实际时，称该命题为假命题. [注]没有真假意义的语句都不是命题.如：感叹 D.既不充分也不必要条件 句、疑问句、祈使句等。 解析：C[将x=1代入方程(x-1)2=0中，显然 [知识点二]充要条件 方程成立；解方程(x-1)2=0,可得x=1;故“x=1” 如果力是q的充分条件(p→q),p又是q的必要条 为方程“(x一1)2=0”的充要条件.故选C.] 件(g→)，则称p是q的充分且必要条件，简称充 4.已知条件甲：0<x<5,条件乙：-3<x-2<3,那 要条件.记作p台q. 么甲是乙的 () [基础自测] A.充分不必要条件 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） B.必要不充分条件 (1)“x-3>0”是命题. (×) C.充要条件 (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.(×) D.既不充分也不必要条件 (3)当q是p的必要条件时，p是g的充分条件.（√） 解析：A[条件乙：-1<x<5.所以0<x<5→-1 (4)q不是p的必要条件时，“p力g”成立. (/) <x<5,但-1<x<5中0<x<5,所以甲是乙的充 2.对于任意两个集合A,B,“x∈A∩B”是“x∈A”的 ( 分不必要条件，故选A.] A.充分条件 5.写出-1<x<2的一个必要不充分条件 B.必要条件 解析：因为{x一1<x<2}军{xx<3},所以“x<3”是 C.充要条件 不等式“一1<x<2”成立的一个必要不充分条件. D.既不充分也不必要条件 答案：x<3 ·9· 高考总复习数学 提升·学科素养 学生用书P8 直击考向 通法悟道 专点一 命题及其关系 ★跟踪训练 [例1](1)命题真假的判断 1.转化与化归的数学思想很重要，比如要证明命题 ①下面的命题中是真命题的是 A.y=sinx的最小正周期为2x p:“若a≥。，则a·c≥x”,我们可以证明命题 B.若方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两根同号，则 C☑0 a A.若a·e<x,则a< e C.如果M二N,那么MUN=M D.在△ABC中，若AB·BC>0,则B为锐角 B.若a·e≤x,则a<1 e ②能说明产若。>则<号为假命题的一组a6的 C.若a·e<x,则a≤ e 值依次为 [解析]DBD=simx-厂g2,T-受-元 D.若a<1,则a·e<x 2 解析：A[由题意可知，应证明命题力的逆否命 所以A是假命题；若方程ax2十bx十c=0(a≠0)的 两报同号，则x=日>0，所以B是真命题：当M 题，即“若a·c<x,则a<是] 2.下列命题的逆命题是真命题的是 三N时，MUN=N,故C是假命题；当AB·BC>O A.两直线平行，内错角相等 时，向量AB与BC的夹角为锐角，而B可为钝角，故 B.如果a=b,那么a2=b D是假命题.故选B.] C.钝角三角形中有两个锐角 ②1若≥>0.则日石成 D.内错角相等 解析：A[A.逆命题：内错角相等，两直线平行， i若a>0>0:日>0，<0所以日<不成立： a b 该逆命题是真命题，故A符合题意； n若0>a>6:则日<方<0成主 B.逆命题：如果a2=b,那么a=b, ,如果a2=b2那么a=土b, 综上，只需选取符合“a>0>b”的一组a,b,就能说 .该逆命题是假命题，故B不符合题意； 明原命题是假命题， C,逆命题：有两个锐角的三角形是 例如，a=1,b=-1;a=2,b=-1等. 钝角三角形，该逆命题是假命题，故C不符合题意； [答案]1，一1（答案不唯一） D.逆命题：相等的角是内错角，是假命题，∴.该逆 (2)四种命题的关系 命题“已知a>1,若x>0,则a>1”的否命题为 命题是假命题，故D不符合题意，数选A.] ( 专点三充分条件、必要条件的判断 A.已知0<a<1,若x>0,则a>1 B.已知a>1,若x≤0，则a>1 [例2】(1)已知a,6都是实数，那么b>a>0”是“号> C.已知a>1,若x≤0，则a≤1 D.已知0<a<1,若x≤0，则a≤1 ”的 b 解析：C[根据原命题与否命题的关系，得原命题 A.充分不必要条件 的否命题为“已知a>1,若x≤0，则a≤1”.] B.必要不充分条件 通性通法 C.充要条件 1.写一个命题的其他三种命题时的注意事项 D.既不充分也不必要条件 (1)对于不是“若，则q”形式的命题，需先改写为 (2)已知：x=2,q:x-2=√2-x,则p是q的 “若p,则g”形式. ( (2)若命题有大前提，需保留大前提. (3)注意一些常见词语及其否定表示： A.充分不必要条件 词语是 B.必要不充分条件 都是 都不是 等于 大于 C.充要条件 否定不是不都是至少一个是 不等于不大于 D.既不充分也不必要条件 2.判断命题真假的两种方法 (1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格 [解桥]1)若日>则日-方-心2>0当0 a b ab 的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反 例即可 <a<b时日>公成立：当a≥060时满足> (2)间接判断（等价转化）：由于原命题与其逆否命题 为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那 方，但0<a<6不成立.故“6>a>0”是“上>1的 “a>6 么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假 充分不必要条件，故选A. ·10 第一章集合与充要条件 (2)当x一2=√2-x时，两边平方可得(x一2)2=2 吉点三全称命题与特称命题 -x,即(x-2)(x-1)=0,解得x1=2,x2=1.当x [例3]已知函数f(.x)=x2-2a.x十1，则“a>1”是 =1时，一1=√1，不成立，故舍去，则x=2,所以p “f(x)在（一∞，1）内单调递减”的 ( 是g的充要条件，故选C A.充分不必要条件 [答案](1)A(2)C B.必要不充分条件 C.充要条件 通性通法 D.既不充分也不必要条件 充分条件、必要条件的两种判断方法 [解析]由题意，f(x)=x2-2ax十1=(x-a)2十 (1)定义法：根据p→q,q→p进行判断， 1一a2,此二次函数的对称轴为x=a, (2)集合法：根据p,9成立的对应的集合之间的包 当a>1时，f(x)在（一∞，1）上单调递减成立，若 含关系进行判断. f(x)在(-∞，1)上单调递减，可得a≥1， .“a>1”是“f(x)在(-∞，1)上单调递减”的充分 [提醒]判断充要条件需注意三点： 不必要条件.故选A. (1)要分清条件与结论分别是什么. [答案]A (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断」 通性通法 (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明。 判断充要条件需注意的3点 ★跟踪训练 (1)要分清条件与结论分别是什么. 3.已知a∈R,若集合M={0,a},N={0,1,2},则“a=1” (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断： 是“M二N”的 ( (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明， A.充分不必要条件 食跟踪训练 B.必要不充分条件 5.二次函数y=ax2+b.x+c的图象在x轴上方的充 C.充要条件 要条件是 D.既不充分也不必要条件 解析：①确定抛物线的开口方向 解析：A[当a=1时，集合M=(1,0},N={0,1, 二次函数y=a.x2十bx十c的图象是抛物线，其开口 方向由二次项系数a决定.当a>0时，抛物线开口 2},可得M二N,满足充分性，若M二N,则a=1或 向上；当a<0时，抛物线开口向下.要使图象在x a=2,不满足必要性，所以“a=1”是“M三N”的充 轴上方，抛物线需开口向上，因此a必须大于0，所 分不必要条件，故选A.门 以a>0. 4.已知a∈R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},则 ②判断抛物线与x轴的交点情况 “a=0”是“MCN”的 抛物线与x轴的交，点个数由判别式△=b2一4ac决 A.充分不必要条件 定.当△>0时，抛物线与x轴有两个不同交点；当 B.必要不充分条件 △=0时，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴 C.充要条件 上)；当△<0时，抛物线与x轴没有交，点.要使图象 D.既不充分也不必要条件 在x轴上方，抛物线需与x轴无交，点，因此判别式 解析：A[当a=0时，M={1,0},可解M三N,当 需小于0，△=b2-4ac<0. 综上，二次函数y=a.x2十b.x十c的图象在x轴上方 MCN时，a=0或-1，即“a=0”是“M二N”的充分 的充要条件是a>0且△=b2-4ac<0. 不必要条件，故选A.门 答案：a>0且△=b2-4ac<0 》 突破·高效演练 学生用书P10 《✉ 分层训练 高效提能 [基础题组练] 2.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的 1.命题“若x,y都是偶数，则x十y也是偶数”的逆否 A.充分不必要条件 命题是 B.必要不充分条件 A.若x十y不是偶数，则x,y都不是偶数 C.既不是充分条件也不是必要条件 B.若x十y是偶数，则x,y不都是偶数 D.无法判断 C.若x十y是偶数，则x,y都不是偶数 解析：A[由a=1可得a=1成立，由a|=1 D.若x十y不是偶数，则x,y不都是偶数 得，a=1或a=-1,即|a|=1得不到a=1,所以“a 答案：D =1”是“|a=1”的充分不必要条件.故选A.] ·11 高考总复习数学 3.向量a=(m,1),b=(1,m),则“m=1”是“a∥b”的 解：(1)因为命题“若x=1,则x2-4x十3=0”是真 ( 命题，而命题“若x2一4x十3=0，则x=1”是假命 A.充分不必要条件 题，所以力是g的充分条件，但不是必要条件，即 B.必要不充分条件 是q的充分不必要条件 C.充要条件 (2)因为力y,而q→，所以力是q的必要不充分 D.既不充分也不必要条件 条件 答案：A (3)因为→q,而qPp,所以力是q的充分不必要 条件 4.设x∈R,则“x2-5.x<0”是“|x-1<1”的( (4)因为→q,而qP,所以p是q的充分不必要 A.充分而不必要条件 条件 B.必要而不充分条件 [综合题组练] C.充要条件 1.“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席 D.既不充分也不必要条件 1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反 解析：B[由x2-5.x<0可得0<x<5.由|x-1 映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋 <1可得0<x<2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子 斗精神.从数学逻辑角度分析，其中“好汉”是“到长 集，故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充 城”的 ) 分条件.] A.充分条件 5.已知平面a,直线m,n满足m中a,nCa,则“m∥n” B.必要条件 是“m∥a”的 C.充要条件 ) D,既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 解析：A[设p为不到长城，推出一q非好汉，即 B.必要不充分条件 一→一q,则q→p,即好汉→到长城，故“好汉”是 C.充分必要条件 “到长城”的充分条件，故选A.] D.既不充分也不必要条件 2.设U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得A二C, 解析：A[由线面平行的判定定理可知，m∥n→ B二CC”是“A∩B=心”的 ( ) m∥a,但m∥a≯m∥n.] A.充分不必要条件 6.“-2<x<1”是“x>1或x<-1”的 条件 B.必要不充分条件 解析：因为-2<x<1Px>1或x<-1,并且x>1 C.充要条件 或x<-1羚-2<x<1,所以“-2<x<1”是“x>1 D.既不充分也不必要条件 或x<一1”的既不充分条件，也不必要条件， 解析：A[由A二C,B二CuC,易知A∩B=,但 答案：既不充分也不必要 A∩B=⑦时未必有A二C,B二C,C,如图所示. 7.已知集合A={x|a-2<x<a十2}，B={x|x≤-2 或x≥4}，则A∩B=⑦的充要条件是 U 所以“存在集合C使得A二C,B三CC”是“A∩B 解析：AnB=g台+2≤4， {a-2≥-2， 台0≤a≤2. =⑦”的充分不必要条件.] 3.已知x,y为两个正整数，p:x=2且y=3,q:x十y 答案：0≤a≤2 =5,则p是q的 条件 8.若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则 解析：若x=2且y=3,则x十y=5成立.可知 a的最小值为 p→q,反之当x=1,y=4时，满足x十y=5, 解析：由x2-x一6>0，解得x<-2或x>3. 但x=2且y=3不成立.p→q,q力p,故p是q的 因为“x2一x一6>0”是“x>a”的必要不充分条件， 充分不必要条件. 所以{x|x>a}是{x|x<-2,或x>3}的真子集， 答案：充分不必要 4.设p:P={x|x2-8x-20≤0}，9：非空集合S={x 即a≥3，故a的最小值为3. 1一m≤x≤1十m},且p是g的充分不必要条件.求 答案：3 实数m的取值范围. 9.下列“若p,则q”形式的命题中，p是q的什么条 解：由题知P={x-2≤x≤10. 件？（充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分 :p是q的充分不必要条件 条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) p→q且q中p,即P军S. (1)若x=1,则x2-4x+3=0; 1-m≤-2 (2)若x为无理数，则x2为无理数； 1 (3)若x=y,则x2=y2; .m≥9，又因为S为非空集合， (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积 所以1-m≤1十m,解得m≥0， 相等. 综上，实数m的取值范围是[9，十o∞). ·12