1.1 集合及其关系（教师用书）-【创新教程】2027年职教高考总复习数学

第一章 集合与充要条件 集合的概念 确定性 定义：可以判断真假的陈述句 集合中元素的性质互异性 分类命题 无序性 集合的概念集合与元素的关系属于 结构写成“若，则g”的形式 不属于 集合分类」 按元素个数 充分条件（一） 按元素性质 常见集合的符 必要条件（仁） 列举法 充要条件 号：N,N*,Z,Q,R 性质描述法 思维导图 充要条件（台） 集合的 图形法（文氏图，数轴） 表示法 既不充分也不必要条件（中） 要条作 零 区间法（数集） 子集AcB台P9台P是g的充分条件 子集：AsB台P→q台 集合与集相等A=B一P一9一P是q的充要条件 p是g的充分条件 合的关系真子集A作BP3g且qp=p是g的充分不 必要条件 相等：A=BP 9 子集与推 交集定义AnB白PAg 性质 p是g的充要条件 出的关系 集合的运算并集定义AUB一PVg或 逻辑 性质 联结词 真子集：A=B台P→q且q中 补集定义CA一p非 一p是g的充分不必要条件 性质 1.1 集合及其关系 学生用书P1 基础盘点 梳理·必备知识 落实双基 [知识点一]元素与集合的相关概念 2.描述法 1.元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的 (1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方 拉丁字母a,b,c..表示. 法称为描述法」 2.集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁 (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素 字母A,B,C..表示 的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线， 3.集合相等：构成两个集合的元素是一样的 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同 特征。 4.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性。 [知识点五]集合间的基本关系 [知识点二]元素与集合的关系 1.一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一 1.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A, 个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合 记作a∈A, 有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A三 2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属 B(或B2A), 于集合A,记作a任A 读作“A含于B”(或“B包含A”). [知识点三]常见的数集及表示符号 2.如果集合A是集合B的子集(A三B),且 非负整数集 集合B是集合A的子集(B三A),此时，集合A与 数集 正整数集整数集 有理数集 实数集 (自然数集) 集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B 相等，记作A=B. 符号 N或N Q 3.如果A三B,但存在元素x∈B,且xA,我们称集合A 是集合B的真子集，记作AB(或B军A). [知识点四] 集合的表示 4.不含任何元素的集合叫作空集，记作心 1.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号 5.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真 “{}”括起来表示集合的方法叫作列举法， 子集。 高考总复习数学 [基础自测] 3.集合{0,1}的子集有 ( 1.判断正误（正确的打“/”，错误的打“×”） A.1个 B.2个C.3个D.4个 (1)某公司的优秀员工可以组成集合， 解析：D[集合{0,1}的子集为，{0}，{1}，{0,1}.] (2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相 4.已知集合A={x|一1一x<0},则下列各式正确 等的. 的是 (3)由-1,1,1组成的集合中有3个元素. ( ) A.0三A B.{0}∈A (4)空集中只有元素0，而无其余元素. C.∈A D.{0}三A (5)任何一个集合都有子集. (6)若A=B,则A二B, 解析：D[集合A={x|-1-x<0}={xx>-1},所 ( (7)空集是任何集合的真子集。 以0∈A,{0}二A,D正确.] 答案：(1)×(2)/(3)×(4)×(5)/(6) (7)× -2-1012 2.用“∈”或“氏”填空： 5.能正确表示集合M={xx∈R且0≤x≤1}和集合 1 N;-3Z;W2Q;0N*; N={x∈R|x2=x}关系的Venn图是 ) 2 5 R 解析：因为2不是自然数，所以2N:-3是整数， 所以一3∈Z;因为√2不是有理数，所以√2Q;0不是 B 非零自然数，所以0N;因为√5是实数，所以W5∈R 解析：B[N={x∈Rx2=x}={0,1},M={xx 答案：任∈任氏 ∈R且0≤x≤1}，.N年M.] 直击考向 提升·学科素养 学生用书P2 《 通法悟道 春点5 集合的概念及其表示 食跟踪训练 [例1](1)（集合的确定性）下面给出的四类对象 1.(1)(集合的确定性)下列四组对象中能构成集合 中，能组成集合的是 ( ) 的是 ( ) A.高一某班个子较高的同学 A.某市第一中学高一学习好的学生 B.比较著名的科学家 C.无限接近于4的实数 B.在数轴上与原点非常近的点 D.到一个定点的距离等于定长的点的全体 C.很小的实数 (2)已知a∈R,b∈R,若集合{a,么，1}={a2,a+b,0, D.倒数等于本身的数 (2)(集合的确定性)下列说法正确的是 ( 则b2s一a2026的值为 A.2026年上半年发生的大事能构成一个集合 A.-2B.-1C.1 D.2 B.小于100的整数构成的集合是无限集 [解析](1)D[选项A,B,C所描述的对象没有 一个明确的标准，故不能构成一个集合， C.空集中含有元素0 选项D的标准唯一，故能组成集合.故选D.] D.自然数集中不含有元素0 (2B[{a,,1}=a2a+b.02=0,则6=0： (3)(集合的互异性)若-1∈{2，a2-a-1,a2+1, a 则a= ( ) .{a,0,1}={a2,a,0},a2=1且a≠1，.a=-1, .b2026-a202s=0-1=-1.故选B.] A.-1 B.0 C.1 D.0或1 通性通法 解析：(1)D(2)B 与集合中的元素有关问题的求解策略 (3)B[①若a2-a-1=-1,则a2-a=0,解得a (1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集 (平面直角坐标系)点集还是其他类型的集合， =0或a=1,a=1时，{2，a2-a-1,a2+1}={2, (2)看这些元素满足什么限制条件. -1,2},舍去，∴.a=0: (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的 ②若a2+1=-1,则a2=-2,a无实数解；由①② 个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性. 知：a=0.故选B.] ·2· 第一章集合与充要条件 专点三“元素与集合的关系 单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与 {0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}.故②③是正确 [例2] 给出下列6个关系：①9∈R,②5∈0， 2 的，应选B.] ③0tN,④W4∈N,⑤π∈Q,⑥|-2|tZ. (2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素 其中正确命题的个数为 是有序实数对，故A与B之间无包含关系. ②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是 A.4 B.3 C.2 D.1 两边相等的三角形，故A手B. 解析：C[R,Q,N,Z分别表示实数集、有理数集、 ③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但 自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数， 由于n∈N,因此集合M含有元素“1”，而集合N √5，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确.] 不含元素“1”，故N军M. 通性通法 方法二由列举法知M=(1,3,5,7,..},N={3, 首先确定集合的元素是什么，即集合是数集还 5,7,9,..},所以N军M. 是点集或其他，再明确集合元素满足的限制条件是 通性通法 什么. (1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再 ★跟踪训练 进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确。 (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件 2.用符号“∈”或“”填空 转化为元素或区间端点间的关系（要注意区间端 若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则 点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数 点(0,0) A,(1,1) A, 轴、Venn图等来直观解决这类问题. (-1,1) A. 食跟踪训练 解析：第一、三象限的角平分线上的，点的集合可以 3.(1)若集合M={xx2-1=0},T={-1,0,1},则M与 用直线y=x表示，显然(0,0)，(1,1)都在直线y= T的关系是 ) x上，(-1,1)不在直线上.(0,0)∈A,(1,1)∈A, A.M年T B.MCT (-1,1)在A. C.M=T D.M∈T 答案：∈∈ (2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A={xx 专点】 集合间关系的判断 是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={xx是矩 [例3](1)下列各式中，正确的个数是 形}，D={xx是正方形}. ①{0}∈{0,1,2}②{0,1,2}三{2,1,0} 解析：(1)A[因为M={xx2-1=0}={-1,1}, ③三{0,1,2}④0={0}⑤{0,1}={(0,1)} 又T={-1,0,1},所以M军T.] ⑥0={0} (2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合 A.1 B.2 C.3 D.4 之间的关系，再画Venn图.如图所示. (2)指出下列各组集合之间的关系： ①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1, D 1)};②A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰 三角形}；③M={xx=2n-1,n∈N},N={xlx=2nm 专点四子集、真子集的个数问题 +1,n∈N. [例4](1)已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}, [解析](1)B[对于①，是集合与集合的关系，应 B={x∈N0<x<5},则满足条件A手C手B的集 为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一 合C的个数为 个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合 A.1 B.2 C.3 D.4 的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集 (2)已知集合A={x∈Rx2=a},使集合A的子集 不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子 个数为2个的a的值为 ( 集，所以心军{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0 A.-2 B.4 与1的集合，而{(0,1)}是以有序数对(0,1)为元素的 C.0 D.以上答案都不是 ·3… 高考总复习数学 [解析](1)由x2-3.x+2=0,得x=1或x=2,所 [解析]B三A,当a=0时，B=⑦，满足条件，当 以A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},所以满足 a≠0时，B={-1}或{2}，即-a-2=0或2a-2 条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4. 0,解得a=-2或a=1.综上可得，实数a的取值所 (2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2=a 组成的集合是{0，一2,1}.故选C. 只有一个解；若方程x2=a只有一个解，必有a=0. [答案]C [答案](1)B(2)C 通性通法 通性通法 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真 根据集合间的关系求参数的策略 子集，应时刻关注对空集的讨论；任何集合都是自身 (1)注意对集合是否为空集进行分类讨论 的子集；含有n个元素的集合，共有2”个子集，有 因为心三A对任意集合A都成立， 2”-1个真子集，2”-1个非室子集。 (2)借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.列出关 于参数的等式或不等式（组） ★跟踪训练 (3)注意检验区间端点值. 4.(1)已知集合M={x∈Z1≤x≤m},若集合M有 4个子集，则实数m= ) 食跟踪训练 A.1 B.2C.3 D.4 5.设集合A={xx2-8x十15=0}，B={xa.x-1=0}. (2)若集合A{1,2,3},且A中至少含有一个奇 数，则这样的集合有个. (1)若a=号，试判定集合A与B的关系： 解析：(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有 (2)若B二A,求实数a的取值集合. 2个元素，又由M={x∈Z1≤x≤m},其元素为大 解：(1)由x2-8.x十15=0，得x=3或x=5, 于等于1而小于等于m的全部整数，则m=2. (2)若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}， 故A=3,,当a=言时， {1,2},{3,2}:若A中含有两个奇数，则A={1,3}. 由a.x-1=0,得x=5.所以B={5},所以B手A. 答案：(1)B(2)5 (2)当B=时，满足B三A,此时a=0；当B≠0，a 春点五根据集合之间的关系求参数 [例5]已知集合A={-1,2},B={xax-2=0}, 0时，集合B={日出} 若B二A,则实数a的取值所组成的集合是( ) 由BA得=3或=5，所以a= 0 或a= 3 A.{-1,2} B.{-2,1} C.{-2,0,1} D.{-1,0,2} 综上所运，实数a的取维集合为{和，合} 》 分层训练 突破·高效演练 学生用书P4 高效提能 [基础题组练] A.1 B.2 C.-1 D.-2 1.下列对象能构成集合的是 答案：B A.高一年级全体较胖的学生 4.已知集合A={-1,0,1},则含有元素0的A的子 B.高一(2)班的高个子学生 集的个数为 C.比较大的自然数 A.2 B.4 C.6 D.8 D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 解析：B[根据题意，含有元素0的A的子集为 答案：D {0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},共4个.] 2.集合A={1,2,3,5},当x∈A时，若x-1A且 5.设A={x|2<x<3},B={xx<m},若A二B,则m x十1任A,则称x为A的一个“孤立元素”，则A中 的取值范围是 孤立元素的个数为 A.m>3 B.m≥3 A.1 B.2 C.3 D.4 C.m<3 D.m≤3 答案：A 解析：B[因为A={x2<x<3},B={xx<m}, 3.己知集合A={1,2},B={xx2-(a十1)x十a=0, A二B,将集合A,B表示在数轴上，如图所示，所以 a∈R},若A=B,则a= ( m≥3.] ·4· 第一章集合与充要条件 6.已知集合A={x|x-3>0},B={x2x-5≥0}，则 [综合题组练] 这两个集合的关系是 1.已知集合{x|x2+ax=0}={0,1},则实数a的值为 解析：A={xx-3>0}={x|x>3},B={x2x-5 ( ≥0={红x≥}结合数轴知AB. A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：A[由x2十ax=0,得x(x十a)=0,所以x=0 BA二 012 或x=一a.所以由已知条件可得一a=1,所以a= 答案：A军B -1.] 7.设集合A={1,3,a},B={1,a2-a十1}，且B三A, 2.已知集合A={xx2-2x≤0}，B={xx≤a},若 则a的值为 A三B,则实数a的取值范围是 ( 解析：，A={1,3,a},B={1,a2-a十1}，且B二A, A.a≥2 B.a>2 .a2-a+1∈A,.a2-a+1=3或a2-a+1=a. C.a<0 D.a≤0 由a2-a十1=3，得a=2或a=-1; 解析：A[,A={x0≤x≤2}，B={xx≤a}, 由a2-a十1=a,得a=1.经检验，a=1时集合A, .为使A三B,a须满足a≥2.] B不满足集合中元素的互异性，舍去.故a=一1或 B a=2. A 答案：-1或2 02a 8.已知A={x-3<x<5},B={x|x>a},A三B,则 3.集合M={xx=3”,n∈N},集合N={x|x=3n, 实数a的取值范围是 n∈N},则集合M与集合N的关系为 ( 解析：在数轴上画出集合A. A.MN B.NM -305 C.M=N D.M庄N且N生M 又因为A二B,所以a<-3,当a=一3时也满足题 意，所以a≤-3. 解析：D[因为1∈M,1N,所以M车N,因为0 答案：{aa≤-3}》 ∈N,0度M,所以N车M.综上知，M车N且N 9.已知M={2,a,b},N={2a,2,b},且M=N,试求 车M.] a与b的值. 解：根据集合中元素的互异性， +已知集合M={-经+k∈z集合V 有 {领-至∈z则 A.M年N B.NM [=1 a= 4 C.M=N D.以上都不对 或 1 b=2 解析：A[:经+至-2结D,kez 8 1 a= 再根据集合中元素的互异性，得=0】 餐-骨-g26ez, 61或 b= 2 任取x∈M,有x∈N,且答∈N,但gEM, 8 10.已知A={xx2-3x十2=0}，B={xa.x-2=0}, .M年N.] 且B二A,求由实数a的值组成的集合C. 5.已知集合A={xax-6=0},B={x2x-3.x=0},且 解：由x2-3.x十2=0，得x=1或x=2.所 A二B,则a= 以A={1,2}. 因为B二A,所以对B分类讨论如下：①若B=财， 解析：B=x2x2-3x=0)={和，}当A=⑦时 即方程a.x一2=0无解，此时a=0; A三B成立，此时a=0,当A≠☑时，A={xa.x-6 ②若B≠0，则B={1}或B={2}. 当B={1}时，有a-2=0,即a=2; =0一{侣}国为AB,所以吕-音得a=:接 当B={2}时，有2a-2=0,即a=1.综上可知，符 上a=0或a=4,故答案为0或4. 合题意的实数a所组成的集合C={0,1,2}, 答案：0或4 ·5·