2026年中考数学临考冲刺卷01（上海专用）

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学临考冲刺卷（上海专用) 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 题号 3 6 答案 C B B D 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7-5+-8 91 10.2.4×105 11.增大 12.as 4 14.13 15.3 16.1.9 17.2-118.5-或5-2 2 三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） (5-2 19.(本题10分)解：原式= -327+4+1=√5-2-3+4+1=V5.10分 (5+25-2) 20.(本题10分)解：原式=m-2+1(m- m-22(m-2 m-12(m-2 m-2(m-1)2 2 m-1' 6分 将m=√3代入，得： 2 25+ 原式=55-3+ =5+1.10分 21(木题10分))解：把=代入反t例数=得： 32 2 4 :AB1x轴， 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,AB=2, :点B,C关于原点对称， BC=3, S2A80=7BC.AB=3;5分 2 (2)解：：tan∠ACB=4B-1 B-BC :点B,C关于原点对称， OC=OB=BC .AB=OB, 设AB=OB=1,由题意知A(-t,,B(-t,0),C(1,0), 把4司代入反比例质数y=子得：1=子 解得：t=√3，（负根舍去） :A-5,5,C(5,0), 设直线AC的解析式为y=c+b,则有， -3k+b=3 1 2 ,解得： 3k+b=0 b=3 2 :直线4C的解析式为y=-x+V3 2r 2 10分 22.(本题10分)(1)解：360°×25%=90°， 扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为90°；2分 (2)解：总人数：24÷15%=160（人）， B的人数：160×25%=40（人）， 则E的人数为：160-56-40-24-16=24（人）， 补全条形统计图： 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 小报名人数 60 -----56---- 50 40 40 20 6分 10 0 A.唱歌B.舞蹈C.器乐D.戏刷E.其他 表演类别 图1 1 (3)解：①a=7×8+6+7+6+7+9+6)=7: 乙的数据排列为：3,4,8,8,8,9,9，则b=8; c=3-7°+(4-7+(8-73x3+9-7}2×236. > > ②甲、乙的平均数一样，说明甲、乙的平均水平接近，乙的中位数高于甲，说明乙的高分多，甲的方差小， 说明成绩更加稳定， 10分 23.(本题12分)(1)证明：如图， A D 2 E G 人3 B C F :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC .∠4=∠3， DG2=GE.GA DG GA GE DG ∠5=L5 ∴.△GED∽△GDA .∠1=∠2 CF=DE :.△ADE≌△DCF(AAS), .AD =DC 又，四边形ABCD是平行四边形， 3/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .四边形ABCD是菱形；6分 (2)解：：AE=3EG .设EG=m,AE=3m .AG EG AE 4m .DG2=GE.GA=m×4m DG=2m(舍负)， :△GED∽△GDA DE DG 2m 1 AD AG 4m 2' AD=CD DE 1 .DE=CE, 点E是边CD的中点. 12分 24.(本题12分)(1)解：：抛物线C,:y=x2+bx+c经过点A-1,0)和点B(3,0), -12-b+c=0 32+3b+c=0 [b=-2 解得 c=-3 则抛物线C:y=x2-2x-3=（x-1)-4, .点M(1,-4),2分 如图，过点M作MC⊥x轴，交x轴于点C,交直线I于点N, 则∠ACM=∠ACN=90°，∠MAC+∠AMC=90°， :1⊥AM, 4/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠NAC+∠CAM=90°， .∠NAC=∠AMC, 则aNAC∽△AMC, :NC、AC AC MC' :点M(1,-4)和点A(-1,0), .CM=4,AC=2, 期受-子解等c 点N(1,1 设直线1的解析式为y=kx+b(k≠0)， :直线I经过点A和点N, 「-k+b=0 k+b=1 1 k22 解得 1 b2 11 则直线1的表达式y=。x+…4分 2 (2)解：：抛物线C,:y=ax2+mx+n开口向下， a<0, :抛物线C,:y=ax2+mx+n经过A-1,0)、B(3,0)两点， ax(-1)2+mx(-1)+n=0 a×32+3m+n=0 m=-2a 解得 n=-3a1 则抛物线C2:y=ax2-2ax-3a=ax-1)2-4a, :抛物线C,:y=ax2+mx+n顶点为N, .N(1,-4a, 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 1 联立 y=二x+ 22 y=ax2-2ax-3a 1 x=-1 x3=3+ 2a 解得 出=0 y3=2+ 1’ 4a +2 1 则点D3 4a/ :四边形ANDM是梯形， AN∥DM,或ND∥AM, ①如图，若AN∥DM,过点N作NC⊥x轴于点C,过点M作平行于x轴的直线与过点D作DE⊥ME轴于 点C,线段DM与x轴交于点F, M 则∠E=∠ACw=90°，LNAC=LDFB=ZDME,点C,0,点E62,4, △NAC∽aDME, AC ME NC DE 40点N1-4a,点4-，0)，点M,-4,点C,0, 1 、、D3+2+ :AC=2,Nc:-4a,ME=60+1-1=4g+1,DE=8a+l+4=6+ 2a 2a 4a 4a+1 2=2 则4 1, 6+ 解得4=7-35,4，=7+35（构不破榜形，舍去）。 8 8 那么、提线c少735-2列： 8分 6/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若ND∥AM,过点M作MG⊥x轴于点G,过点D作平行于x轴的直线与过点N作NH⊥DH轴于点H, 同理可得△NHDMGA,点H,4 18a+1 ,点M(1,-4), NH HD ,4G=2,MG=4,NH=-4a-8a+l-16a+8a+l,DH=6a+l-1=4a+l MG GA 4a Aa 2a 2a 16a2+8a+1 4a+1 则-4a 4 2 解得a= 1 4’4=-4 (构不成梯形，舍去) 那么，抛物线C2:y=- -2a- 12分 25.(本题14分)(1)证明：连接0C,如图， C ·EF⊥BD, D E .∠DEF=90°， .∠D+∠F=90°， :∠AOC=2∠ABC,∠F=2∠ABC, .∠F=∠AOC, .∠D+∠AOC=90°， LDC0=90°， .∠DCA+∠AC0=90°， :AB是O0的直径， 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∴.∠ACB=90° ∴.∠ACO+∠OCB=90°， .∴.∠ACD=∠OCB, OC=OB, ∠OCB=∠ABC, LACD=LABC;3分 (2)解：连接0C，如图， C G D B OE 设OE=x,则AD=x,BE=30E=3x, :.0B=OE+BE =4x, .0A=0B=4x,AB=20B=8x, BD=AD+AB=9x,DO=AD+A0=5x, ..DE=D0+0E=6x, 由(1)可知∠ACD=∠ABC,∠DCO=∠DEF=90°， ∠D=∠D, .∴△ACD∽△CBD.△DCO∽△DEF, AD CDCD DO CD BD'DE DF' .CD2=AD·BD=x.9x=9x2 解得CD=3x或CD=-3x(舍去)， 3r=5x 6x DF 解得DF=10x, :CF=DF-CD=7x, CF 7x 7 CD-3x3 7分 (3)解：如图， 8/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B DA E 设OM=OE=y,BE=a, ∴DA=OE=y,OB=y+a, ∴.BD=DA+2OB=3y+2a, AB=20B=2y+2a, :BC切于以OE为半径的OO于点M, .OM⊥BC,OM=OE=y, ∴.∠OMB=∠ACB=90°， .'∠OBM=∠ABC ∴.△OBM△ABC, OM OB 1 AC AB2 .AC=20M=2y, 由(2)可知CD2=AD·BD=y(3y+2a=3y2+2ay, :△DACADCB, AD AC CD BC 即0品 :BC 2CD BC2 =(2CD)2=12y2+8ay, AC2+BC2 AB2, ∴(2y)2+12y2+8ay)=(2y+2a)2, 4y2+12y2+8ay=4y2+8ay+4a2, 3y2=a2, 解得a=√3y或-V3y(舍去)， 0B=y+5y=5+1y, 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :sin∠ABc=OM 0B9 y=5-1 (3+1y 214分 10/10 2026年中考数学临考冲刺卷（上海专用） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列实数中，无理数是（    ） A．0 B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 5．用纸板剪成的两个全等的直角三角形，一定能够拼成的四边形是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．分解因式：___________． 8．已知，那么__________． 9．不等式的解集是___________． 10．2026年春节期间（2月15日-2月23日），上海全市共接待游客约人次，那么这9天上海全市平均每天接待的人数约为___________人次．（用科学记数法表示） 11．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________．（填“增大”或“减小”） 12．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______． 13．在如图所示的月历表中任取1天，恰好这一天是星期日的概率是__________． 14．在中，，，，那么____． 15．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 16．如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 17．如图，已知矩形是边的中点，是边上一点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，（点、分别与点、对应）．如果点、在同一条直线上，那么的值是___________． 18．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题10分）计算：． 20．（本题10分）先化简，再求值：已知代数式，其中． 21．（本题10分）如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足点B在x轴负半轴上，已知点B，C关于原点对称． (1)当点A的横坐标是时，求的面积； (2)当，求直线的表达式． 22．（本题10分）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B舞蹈、C器乐、D戏剧、E其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图． (1)扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为______°； (2)本次大赛总共报名______人，请补全条形统计图； (3)才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下： 甲 8 6 7 6 7 9 6 乙 8 4 8 9 8 9 3 平均数 中位数 方差 甲 a 7 乙 7 b c ①表中的数据： ______， ______， ______； ②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法． 23．（本题12分）已知：如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在的延长线上，，的延长线与相交于点，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证：点是边的中点． 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 25．（本题14分）如图1，是半圆的直径，点是半圆上一点，过点的直线交的延长线于点，点是线段上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)设与的交点为，连接，交于点，若以为圆心，长为半径的圆与以为圆心，为半径的圆外切，求的值． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学临考冲刺卷（上海专用） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列实数中，无理数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵有理数是整数与分数的统称，无理数是无限不循环小数， ∴A选项：0是整数，属于有理数； B选项：，是整数，属于有理数； C选项：是无限不循环小数，属于无理数； D选项：是分数，属于有理数， ∴无理数是． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，A错误. ，B错误. ，C正确. ∵与不是同类项，不能合并， ∴，D错误. 3．博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意； D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的标准形式为（k为常数，） A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除； B、符合的形式，其中，因此y是x的反比例函数，符合要求； C、是二次函数，不符合反比例函数定义，排除； D、是y关于的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合定义，排除． 5．用纸板剪成的两个全等的直角三角形，一定能够拼成的四边形是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【详解】解：任意两个全等直角三角形，将斜边重合拼接，两个直角分别位于斜边两侧时，可以拼成一个平行四边形，且该平行四边形有一个内角为直角，则一定能拼成矩形，故B选项正确； 对于A选项，两个全等直角三角形无法拼成直角梯形，故A选项错误； 对于C选项，只有当原直角三角形边长满足邻边相等时才能拼成菱形，不是任意全等直角三角形都可拼成，故C错误； 对于D选项，只有两个全等等腰直角三角形才能拼成正方形，不是任意全等直角三角形都可拼成，故D错误． 6．在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴ 过点作于 ∵， ∴ ∴ ∴， 即， 整理得 ∵半径为，且与边（线段）有两个公共点 ∴需满足两个条件：①直线与相交，②端点在外（或圆上）． ①直线与相交，即圆心到的距离小于半径则， ∴， 解得 ②端点在外（或圆上），则 综上，． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： ． 8．已知，那么__________． 【答案】 【详解】解：将代入得： ． 故答案为：． 9．不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】解：， 解不等式， 移项得， 系数化为1得， 解不等式 ， 移项得 ， 系数化为1得， 取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集为． 10．2026年春节期间（2月15日-2月23日），上海全市共接待游客约人次，那么这9天上海全市平均每天接待的人数约为___________人次．（用科学记数法表示） 【答案】 【详解】解：由题意得，平均每天接待人数为总人数除以天数，即． 11．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【详解】根据正比例函数的性质可知， 如果正比例函数y=kx的图像经过第一、三象限，那么k>0， 那么y的值随自变量x的值增大而增大． 故答案为：增大． 【点睛】本题考查正比例函数的性质，属于基础题，熟练掌握正比例函数的性质即可解题． 12．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 故答案为：． 13．在如图所示的月历表中任取1天，恰好这一天是星期日的概率是__________． 【答案】 【详解】解：由图可知，该月历表中显示的日期从1号到30号，共有30天， 观察月历表可知，星期日的日期分别为7号，14号，21号，28号，共有4天， 则恰好这一天是星期日的概率为． 14．在中，，，，那么____． 【答案】 【详解】解：如图， 在中，，，， 由勾股定理得， ∴． 15．已知抛物线，将其向右平移n个单位，使平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，那么n的值是______． 【答案】3 【详解】解：， 原抛物线判别式， 令得， 则原抛物线与轴交点为， 左右平移不改变抛物线的判别式，因此平移后抛物线始终与轴有2个交点，且一定与轴有1个交点， ∵平移后所得的抛物线与坐标轴恰好只有两个公共点，平移后的抛物线与轴恒有两个不同交点，与轴恒有一个交点，要使总共只有两个公共点，则必然是其中一个轴交点与轴交点重合于原点， 即原点在平移后的抛物线上， 抛物线向右平移个单位，平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：（舍去）， 因此的值为． 16．如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 【答案】1.9 【详解】解： 过点作于点， 由题意可知，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在中，， ， ， . 17．如图，已知矩形是边的中点，是边上一点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，（点、分别与点、对应）．如果点、在同一条直线上，那么的值是___________． 【答案】 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由翻折性质得，， 如图，当F与点C重合时，点M在如图位置，由于F不能再向右移动，故点M不能在的延长线上， ∵， ∴点只能落在、之间， 点在点、点之间时， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 【答案】或 【详解】解：在中，， ， 设过点的直线与相交于点P，连接， 由翻折的性质可知 当四边形是“等对角四边形”时，有以下两种情况： ①当时， ∵， ∴和点重合，如图所示， 此时， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴， 整理得到， 解得， 即（不合题意，舍去）， ∴时，， 即 ②当时，如图所示， 同理可得， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 由①可知， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 综上可知，的值为或． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题10分）计算：． 【答案】 【详解】解：原式.........10分 20．（本题10分）先化简，再求值：已知代数式，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ，.........6分 将代入，得： 原式．.........10分 21．（本题10分）如图，点A在反比例函数的图像上，轴，垂足点B在x轴负半轴上，已知点B，C关于原点对称． (1)当点A的横坐标是时，求的面积； (2)当，求直线的表达式． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解：把代入反比例函数得：， ∴， ∵轴， ∴，， ∵点B，C关于原点对称， ∴， ∴， ∴；.........................................................................................5分 （2）解：∵， ∴， ∵点B，C关于原点对称， ∴， ∴， 设，由题意知，，， 把代入反比例函数得：， 解得：，（负根舍去） ∴， 设直线的解析式为，则有， ，解得：， ∴直线的解析式为．..........................................................10分 22．（本题10分）某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“A唱歌、B舞蹈、C器乐、D戏剧、E其他”几个表演类别．图1、图2是每类表演报名人数的不完整统计图． (1)扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为______°； (2)本次大赛总共报名______人，请补全条形统计图； (3)才艺大赛当天由7名学生代表作为评审进行打分（满分10分），甲、乙两位同学在“A唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下： 甲 8 6 7 6 7 9 6 乙 8 4 8 9 8 9 3 平均数 中位数 方差 甲 a 7 乙 7 b c ①表中的数据： ______， ______， ______； ②结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法． 【答案】(1)90 (2)160，补全条形统计图见解析 (3)①7，8，；②见解析 【详解】（1）解：， ∴扇形统计图中“B舞蹈”所在扇形的圆心角度数为；.....................................2分 （2）解：总人数：（人）， B的人数：（人）， 则E的人数为：（人）， 补全条形统计图： .....................................6分 （3）解：①； 乙的数据排列为：3，4，8，8，8，9，9，则； ； ②甲、乙的平均数一样，说明甲、乙的平均水平接近，乙的中位数高于甲，说明乙的高分多，甲的方差小，说明成绩更加稳定．.....................................10分 23．（本题12分）已知：如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在的延长线上，，的延长线与相交于点，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证：点是边的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形；.....................................6分 （2）解：∵ ∴设 ∴ ∵ ∴（舍负）， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴点是边的中点．.....................................12分 24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 【答案】(1)直线的表达式 (2)抛物线或 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， 则抛物线， ∴点，.....................................2分 如图，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N， 则，， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵点和点， ∴，， 则，解得， ∴点 ∴设直线l的解析式为， ∵直线经过点和点N， ∴， 解得 则直线的表达式；.....................................4分 （2）解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线经过、两点， ∴， 解得， 则抛物线， ∵抛物线顶点为， ∴， 联立， 解得，， 则点， ∵四边形是梯形， ∴，或， ①如图，若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F， 则，，点，点， ∴， ∴， ∵点，点，点，点，点， ∴，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线；.....................................8分 ②若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H， 同理可得，点，点， ∴，，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线．.....................................12分 25．（本题14分）如图1，是半圆的直径，点是半圆上一点，过点的直线交的延长线于点，点是线段上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)设与的交点为，连接，交于点，若以为圆心，长为半径的圆与以为圆心，为半径的圆外切，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， ， 是的直径， ；.....................................3分 （2）解：连接，如图， 设， 则，， ， ，， ，， ， 由（1）可知 解得或(舍去)， 解得， ， .....................................7分 （3）解：如图， 设， ， ， ， 切于以为半径的于点， ， ， 由（2）可知 ， ， ， 即 ， ，即， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ， ．.....................................14分 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $