第18章 等腰三角形（知识清单，4知识6易错5重难）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学“等腰三角形”单元知识清单系统梳理了核心内容，涵盖等腰三角形的概念、性质、判定，等边三角形（特殊等腰三角形）及线段垂直平分线等知识范畴，搭建了从基础定义到性质判定再到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识点-易错点-重难点”三级架构呈现知识体系，如明确“三线合一”需等腰三角形前提，培养推理意识。设计分类讨论题（已知两边长求周长）和折叠问题（翻折后点的位置关系），强化几何直观。标注易错点（混淆性质与判定）及几何语言示例，助力学生精准掌握，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

第18章 等腰三角形 知识点01等腰三角形的概念与性质 1. 定义：有______相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫______，第三边叫______；两腰夹角叫______，腰与底边夹角叫______。 2. 性质1（等边对等角）：等腰三角形______相等。 几何语言：∵______，∴______。 3. 性质2（三线合一）：等腰三角形______、______、______互相重合。 4. 对称性：等腰三角形是______图形，对称轴为______。 知识点02等腰三角形的判定 1. 判定定理（等角对等边）：有______相等的三角形是等腰三角形。 几何语言：∵______，∴______。 2. 定义判定：有______相等的三角形是等腰三角形。 知识点03等边三角形（特殊的等腰三角形） 1. 定义：______都相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质：三边______，三角均为______；有______条对称轴。 3. 判定： ______相等； ______相等； 有一个角是60°的______三角形。 知识点04线段垂直平分线 1. 定义：______于一条线段且______这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2. 性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段______的距离相等。 几何语言：∵______，∴______。 3. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的______上。 几何语言：∵______，∴______。 4. 与等腰三角形的关联：等腰三角形的______、______、______所在直线，就是底边的垂直平分线。 1. 忽略“三线合一”的前提条件 易错：直接说“三角形的角平分线、中线、高重合”。 正解：只有等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高才重合（三线合一）。 2. 等腰三角形边/角分类讨论不全 易错：已知等腰三角形两边长为3和6，直接得周长12或15。 正解：需满足三角形三边关系：3为腰时，3+3=6（不成立）；6为腰时，周长=6+6+3=15。 3. 混淆“等边对等角”与“等角对等边”的适用场景 易错：在非等腰三角形中用“等边对等角”。 正解：等边对等角是性质（等腰→边角相等），等角对等边是判定（边角相等→等腰）。 4. 等边三角形与等腰三角形的包含关系误解 易错：认为等边三角形不是等腰三角形。 正解：等边三角形是特殊的等腰三角形（腰=底边），具备等腰三角形所有性质。 5. 底角与顶角的范围误区 易错：认为等腰三角形底角可以是钝角。 正解：底角只能是锐角（若底角≥90°，两角和≥180°，矛盾）；顶角可为锐角、直角、钝角。 6. 线段垂直平分线的易错点 易错1：混淆“线段垂直平分线”与“垂线”“中线”，认为垂直于线段的直线就是垂直平分线。 正解：必须同时满足垂直于线段和平分线段两个条件，才是线段的垂直平分线。 易错2：误用性质，认为“到线段一个端点距离相等的点在垂直平分线上”。 正解：需满足到线段两个端点距离都相等，才能判定点在这条线段的垂直平分线上。 重难点1：“三线合一”的灵活应用（证明垂直、相等线段/角） 1．如图，点D，E在的边上，，，求证：． 2．如图，已知，，与相交于点． 求证：． 3．如图，，是边上的中线，于点．求证：． 4．已知：如图，在中，点D是边上的一点，且，是边的中线，平分交于点E．求证：． 5．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)若为的中点，求证：． 6．如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，交的延长线于点．试说明：． 重难点2：等腰三角形的分类讨论（边、角、周长） 7．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 8．等腰中，顶角，点在边上，且是等腰三角形，则___________ 9．已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 10．已知等腰的周长为，一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，试求三边的长． 11．如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 12．如图，点O是等边内一点．将绕点C顺时针方向旋转得，使得，连接．已知，设．    (1)发现问题：发现的大小不变为 ． (2)分析问题：当时，分析判断的形状是 三角形． (3)解决问题：请直接写出当为 度时，是等腰三角形． 13．如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 重难点3：等边三角形的性质与判定综合（证明边/角为60°） 14．如图，已知：和都是等边三角形，点在边上，点是边上一点，且．求证：． 15．如图，是直角三角形，，，以点C为旋转中心，将旋转到的位置，且使经过点A． (1)求的度数，并判断的形状； (2)求线段AC与线段AB的数量关系． 16．在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 17．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题： （1）若点P在一边BC上（图（1）），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （2）若当点P在△ABC内（图（2）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （3）若点P在△ABC外（图（3）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系___．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．） 18．如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 19．综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：在等边三角形中，O是边的中点，D是射线上一点（不与点C，B重合），连接，作等边三角形（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F，连接． 【特例分析】 (1)如图1，当点D与点O重合时，与之间的数量关系是______； 【拓展探究】 (2)如图2，当点D在线段上（不与端点重合）时，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【推广应用】 (3) 当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 重难点4：等腰三角形的轴对称性应用（折叠问题） 20.在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 21．如图，在中，，，是上的一点，将沿折叠得到，边交于点，若，则______ 22．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是等腰三角形，则的度数为________． 23．如图，在中，，，D，P分别为，上的动点，将沿直线翻折（点B的对应点为），使射线恰好经过点A，若为等腰三角形，则的度数为________． 24．在数学活动课上，数学老师让同学们以“等腰三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，在三角形纸片中，．将三角形纸片沿折叠，使落在上，点C的对应点为点E，连接． (1)将三角形纸片展开，则图中共有______个等腰三角形． (2)如图2，在图1的基础上，延长交的延长线于点F，连接．求证：所在的直线垂直平分． 25．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 重难点5：线段垂直平分线的性质与判定应用（证明线段相等、点共线） 26．如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 27．在中，，点D是线段上的一个动点（不与点B重合）．于E，与相交于点F，． (1)如图1，当点D与点C重合时，探究与的数量关系，并证明． (2)如图2，当点D与点C不重合时，试判断（1）中的猜想是否仍然成立，并证明． 28．如图，在中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长是19，，求的长； (3)在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上． 29．【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 等腰三角形 知识点01等腰三角形的概念与性质 1. 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，第三边叫底边；两腰夹角叫顶角，腰与底边夹角叫底角 几何语言：在△ABC中，∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。 2. 性质1（等边对等角）：等腰三角形两底角相等。 几何语言：∵AB=AC，∴∠B=∠C。 3. 性质2（三线合一）：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 几何语言： 若AB=AC，∠BAD=∠CAD，则AD⊥BC，BD=CD； 若AB=AC，BD=CD，则∠BAD=∠CAD，AD⊥BC； 若AB=AC，AD⊥BC，则∠BAD=∠CAD，BD=CD。 4. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（底边中线/底边高）所在直线。 知识点02等腰三角形的判定 1. 判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 几何语言：∵∠B=∠C，∴AB=AC。 2. 定义判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。 知识点03等边三角形（特殊的等腰三角形） 1. 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质： 三边相等，三角均为60°； 轴对称图形，有3条对称轴。 3. 判定： 三边相等； 三角相等； 有一个角是60°的等腰三角形。 知识点04线段垂直平分线 1. 定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 几何语言：∵直线l⊥AB，且l平分AB（垂足为O，AO=BO），∴直线l是线段AB的垂直平分线。 2. 性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB。 3. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。 4. 与等腰三角形的关联：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在直线，就是底边的垂直平分线。 1. 忽略“三线合一”的前提条件 易错：直接说“三角形的角平分线、中线、高重合”。 正解：只有等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高才重合（三线合一）。 2. 等腰三角形边/角分类讨论不全 易错：已知等腰三角形两边长为3和6，直接得周长12或15。 正解：需满足三角形三边关系：3为腰时，3+3=6（不成立）；6为腰时，周长=6+6+3=15。 3. 混淆“等边对等角”与“等角对等边”的适用场景 易错：在非等腰三角形中用“等边对等角”。 正解：等边对等角是性质（等腰→边角相等），等角对等边是判定（边角相等→等腰）。 4. 等边三角形与等腰三角形的包含关系误解 易错：认为等边三角形不是等腰三角形。 正解：等边三角形是特殊的等腰三角形（腰=底边），具备等腰三角形所有性质。 5. 底角与顶角的范围误区 易错：认为等腰三角形底角可以是钝角。 正解：底角只能是锐角（若底角≥90°，两角和≥180°，矛盾）；顶角可为锐角、直角、钝角。 6. 线段垂直平分线的易错点 易错1：混淆“线段垂直平分线”与“垂线”“中线”，认为垂直于线段的直线就是垂直平分线。 正解：必须同时满足垂直于线段和平分线段两个条件，才是线段的垂直平分线。 易错2：误用性质，认为“到线段一个端点距离相等的点在垂直平分线上”。 正解：需满足到线段两个端点距离都相等，才能判定点在这条线段的垂直平分线上。 重难点1：“三线合一”的灵活应用（证明垂直、相等线段/角） 1．如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【详解】解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 2．如图，已知，，与相交于点． 求证：． 【详解】证明：，，， ， ，又， ． 3．如图，，是边上的中线，于点．求证：． 【详解】解：∵  ，是边上的中线， ∴，． ∴． ， ． ∴． ∵， ． 4．已知：如图，在中，点D是边上的一点，且，是边的中线，平分交于点E．求证：． 【详解】证明：∵，是边的中线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 5．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)若为的中点，求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵为的中点， ∴， ∴是的中线， ∴． 6．如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，交的延长线于点．试说明：． 【详解】（1）解：∵，， ，． 又∵， ． （2）解：由（1），得． ， ∴， ∴ 重难点2：等腰三角形的分类讨论（边、角、周长） 7．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【答案】或． 【详解】解：∵实数满足，，， ∴，， 解得：，， 若是腰长， ∵， ∴以、、为边可以构成三角形， ∴的周长是； 若3是底边长， ∵， ∴以、、为边能构成三角形， ∴的周长是． 故答案为：或． 8．等腰中，顶角，点在边上，且是等腰三角形，则___________ 【答案】或或 【详解】解：∵等腰中，顶角，， ∴， 分三种情况讨论 ： ① 当时， ∴， ∴， ∴； ② 当时， ∴， ∴； ③ 当时， ∴， ∴， 综上可得，的值为或或． 9．已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或或 【详解】解：设等腰三角形的一个内角为，则另一个内角为，分三种情况讨论： ① 当为顶角，为底角时，根据三角形内角和定理得：，解得，即顶角度数为； ② 当为底角，为顶角时，根据三角形内角和定理得：，解得，因此顶角度数为； ③ 当与均为底角时，根据等腰三角形两底角相等得：，解得，因此顶角度数为； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或或． 10．已知等腰的周长为，一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，试求三边的长． 【详解】解：设等腰的腰长为，底边长为，则， ∵一腰上的中线把分成周长差是的两个三角形，设中线长为， ∴， 当时， 即， 解得：， ∴的三边长分别为，，， ∵， ∴能组成三角形； 当时，即， 解得：， ∴的三边长分别为，，， ∵， ∴不能组成三角形； 综上所述：的三边长分别为，，． 11．如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 12．如图，点O是等边内一点．将绕点C顺时针方向旋转得，使得，连接．已知，设．    (1)发现问题：发现的大小不变为 ． (2)分析问题：当时，分析判断的形状是 三角形． (3)解决问题：请直接写出当为 度时，是等腰三角形． 【答案】(1) (2)直角 (3)或或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点C顺时针方向旋转得， ∴， ∴， 故答案为：    （2）解：∵将绕点C顺时针方向旋转得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （3）解：当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或时，是等腰三角形． 13．如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)或 【详解】（1）解：在中, ，, 根据运动的特点可知：点运动的距离为， ∵, ∴, 即点在上, ∴, ∴, 故答案为: ； （2）解：∵在中， , ， 当点在上, 如图， 的面积等于15 ， ， ， 解得：(秒)； 当点在上, 如图, 此时：点P运动的距离为： 的面积等于15 ， ， ， ， ， ， 解得：(秒)； 综上：经过 秒或秒, 的面积等于； （3） 解：当是以为底边的等腰三角形时，如图， 即有 ， ， 根据运动的特点，可得点P运动的距离为：， ， 解得： (秒)； 当 是以为底边的等腰三角形时，如图， 过点作于点， ∵在等腰中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 根据运动的特点，可得点运动的距离为：， ∴， 解得：； 综上所述： 或． 重难点3：等边三角形的性质与判定综合（证明边/角为60°） 14．如图，已知：和都是等边三角形，点在边上，点是边上一点，且．求证：． 【详解】解：证明如下： ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，是直角三角形，，，以点C为旋转中心，将旋转到的位置，且使经过点A． (1)求的度数，并判断的形状； (2)求线段AC与线段AB的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴∠BAC=60°， 由旋转可知，CA=，，， ∵经过点A， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：由（1）得，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 16．在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知是等边三角形，， ，， ， ， , ， ， ， ， ． 17．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题： （1）若点P在一边BC上（图（1）），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （2）若当点P在△ABC内（图（2）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系?请说明理由； （3）若点P在△ABC外（图（3）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系___．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．） 【答案】（1）h=h1+h2，理由见解析；（2）h=h1+h2+h3，理由见解析；（3）h=h1+h2−h3 【详解】 （1）h=h1+h2，理由如下： 连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC ∴BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PF 即BC⋅h=AB⋅h1+AC⋅h2 又∵△ABC是等边三角形 ∴BC=AB=AC， ∴h=h1+h2． （2）h=h1+h2+h3，理由如下： 连接AP、BP、CP，则S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP ∴BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PF+BC⋅PE 即BC⋅h=AB⋅h1+AC⋅h2+BC⋅h3 又∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=AC． ∴h=h1+h2+h3． （3）h=h1+h2−h3． 当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2−h3=h． 理由如下：连接PB，PC，PA 由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC−S△PBC， 即BC⋅AM=AB⋅PD+AC⋅PE−BC⋅PF， ∵AB=BC=AC， ∴h1+h2−h3=h， 即h1+h2−h3=h． 18．如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 19．综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：在等边三角形中，O是边的中点，D是射线上一点（不与点C，B重合），连接，作等边三角形（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F，连接． 【特例分析】 (1)如图1，当点D与点O重合时，与之间的数量关系是______； 【拓展探究】 (2)如图2，当点D在线段上（不与端点重合）时，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【推广应用】 (3)当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 等边，点是的中点， ， 等边， ， ， ， ， ； （2）证明：上述结论仍然成立，证明如下： 和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ； （3）解：①当点在线段上时，连接， 是等边三角形， ， 点是的中点， ， ， 由（2）同理知：， ； ②当点在线段上时， 由①知， 由（2）知， ， ； ③当点在线段的延长线上时，连接， 由①知， 由（2）知， ， ； 重难点4：等腰三角形的轴对称性应用（折叠问题） 20.在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°． 【答案】120 【详解】解：如图： ∵在中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， 故答案为：120． 21．如图，在中，，，是上的一点，将沿折叠得到，边交于点，若，则______ 【答案】 【详解】解：，， ， 由折叠的性质可得，，， ， ， ， ， ∴． 22．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，与边交于点，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（在边上），连接．若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或或 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵将向下折叠，使与重合， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， 当时，则， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：； 综上所述，的度数为或或． 23．如图，在中，，，D，P分别为，上的动点，将沿直线翻折（点B的对应点为），使射线恰好经过点A，若为等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或或 【详解】解：，， ． 由折叠的性质可知，，． 射线恰好经过点，即、、三点共线， ． ． 在中，． 点在上， ． ①当时， ， ； ②当时， ， ； ③当时， ， ， ． 综上所述，的度数为或或． 24．在数学活动课上，数学老师让同学们以“等腰三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，在三角形纸片中，．将三角形纸片沿折叠，使落在上，点C的对应点为点E，连接． (1)将三角形纸片展开，则图中共有______个等腰三角形． (2)如图2，在图1的基础上，延长交的延长线于点F，连接．求证：所在的直线垂直平分． 【详解】（1）解：∵， ∴可设． ∵， 解得， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 均为等腰三角形， 由折叠的性质得：为等腰三角形，且， ∴， ∴， ， ∴为等腰三角形． 综上所述，等腰三角形有，共5个． （2）证明：由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴所在的直线垂直平分． 25．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 【详解】解：（1）垂直平分线段； 证明：已知，． 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴垂直平分线段． （2）由（1）知垂直平分线段， ∴， ∴． 重难点5：线段垂直平分线的性质与判定应用（证明线段相等、点共线） 26．如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 27．在中，，点D是线段上的一个动点（不与点B重合）．于E，与相交于点F，． (1)如图1，当点D与点C重合时，探究与的数量关系，并证明． (2)如图2，当点D与点C不重合时，试判断（1）中的猜想是否仍然成立，并证明． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图所示，延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴ ，即； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图所示，过点D作交延长线于点G，交于点T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可证明， ∴． 28．如图，在中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长是19，，求的长； (3)在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴． （2）解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19， ∴，即． ∵， ∴． （3）证明：如图：连接， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 29．【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 【详解】（1）证明：和是美好等腰三角形， ． ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是美好等腰三角形 （3）①解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②问题：在图2的基础上继续探究：分别连接、，若，请直接写出的度数． 解：如图3， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $