专题14 同角三角函数的基本关系（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题14 同角三角函数的基本关系 【复习目标】 1.熟记平方关系与商数关系两个核心公式 2.理解同角的含义 3.掌握常用的变形公式如“1”的代换： 4.掌握“知一求二”型以及“齐次式的求值” 5.掌握平方整体代换的思想. 一、【知识清单】 1．平方关系 2．商的关系 3.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者关系 3．同角三角函数基本关系式的变形 （1）平方关系的变形：； （2）商的关系的变形：； （3）． 二、【技巧归纳】 1.同角三角函数关系式的常用变形 ；sin α＝tan α·cos α. 2. 利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 4.诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 三、【考点清单】 考点1 平方关系 【典例1】（2026届浙江省绍兴市新昌技师学院高三高职班回头考）知，则等于（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 1.（2024届浙江省湖州、衢州、丽水市中职学校二模）已知，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 2.（2023届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）若，且，则等于（    ） A． B．或 C．或 D． 3.（2021届浙江省高职考单招单考宁波市三模）已知，若，则a的值可能是（    ） A．0 B．1 C．−1 D．2 4.（2021届浙江省湖州市高三高职复习一模）在中，，角为钝角，则（    ） A． B． C． D． 5. （2024届浙江省温州市普通高职单独考试二模）已知,且为第四象限角，则______. 6.（2023届浙江省高职考一轮系统性考试文化课阶段性考试）已知是第四象限的角，则______. 7.（2023届浙江省绍兴市柯桥区职教中心高考模拟）函数的值域是______. 考点2 商数关系 【典例2】（2023届浙江省高职考二三轮系统性考试高三一模）若角的终边经过点，则（   ） A．10 B． C． D． 【即时训练】 8.（2024届浙江省温州市单独考试三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 9.（2022届浙江省嘉兴市高三高职考第三次模拟考试数学试题三模）已知，则（    ） A．－2 B．2 C． D． 10.（2023届浙江省金华市职教联合高三联考）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 11.（2024届浙江省宁波市高职复习一模）已知角满足，则______. 12.（2022届浙江省高职考试研究联合体高三第一次调研考试）已知，则___． 13. 已知，则___________. 14.已知，求： (1).； (2). 考点3 与 的关系 【典例3】（2022届浙江省职教高考中职财会联盟第一次统考）若是的一个内角，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 15.已知角，且，则（   ） A． B． C． D．2 16. 已知和是一元二次方程的两个根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 17. 若，则（    ） A．1 B． C． D． 18. 已知，则__________． 19. 若，则___________． 20. 已知，则______. 21. （2023届浙江省台州市高职考三校联合期中）在中,若,则的形状是______. 22. 已知，且，求下列各式的值： (1)的值； (2)的值. 23.已知是方程的两个根,求 (1)的值 (2)的值 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，24）已知，若. 求： （1）的值； （2）的值. 2. （2024年浙江，28）已知角为第二象限角，且. （1）求和； （2）将角的终边绕原点按顺时针方向旋转形成角，求. 3. （2021年浙江，11）已知，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 4.（2021年浙江，31）已知， （1）求； （2）求. 二、【考向感知】 1.考纲定位 属于必考基础模块，依附任意角三角函数、诱导公式、三角化简求值联合出题，分值稳定、难度偏低，是送分主干考点。 2.命题难度梯度（浙江中职分层） 基础层（80%考题）知一求二、简单齐次式、终边点求值，套路固定，熟记公式就能满分。 中档层（20%考题）带根号化简、二次齐次式、不给象限需分类讨论，少量陷阱。 拔高层浙江中职几乎不考复杂恒等证明、高次弦切互化，不用深挖难题。 3.备考命题应对策略（针对性拿分） ①死记两个核心公式，做到秒默写； ②专项练三类必考题型： · 知一求二带象限 · 一次、二次齐次式弦化切 · 终边上一点求三角值 ③固定解题模板：先判象限→再用平方→最后商数求切； ④不刷难题，只刷浙江中职同类真题变式，题型重复率极高。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题14 同角三角函数的基本关系 【复习目标】 1.熟记平方关系与商数关系两个核心公式 2.理解同角的含义 3.掌握常用的变形公式如“1”的代换： 4.掌握“知一求二”型以及“齐次式的求值” 5.掌握平方整体代换的思想. 一、【知识清单】 1．平方关系 2．商的关系 3.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者关系 3．同角三角函数基本关系式的变形 （1）平方关系的变形：； （2）商的关系的变形：； （3）． 二、【技巧归纳】 1.同角三角函数关系式的常用变形 ；sin α＝tan α·cos α. 2. 利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 4.诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 三、【考点清单】 考点1 平方关系 【典例1】（2026届浙江省绍兴市新昌技师学院高三高职班回头考）知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合角的范围求解即可. 【详解】（解法一：直接法）． 故选：D. （解法二：间接法）因为是第二象限角，所以， 故选：D 【即时训练】 1.（2024届浙江省湖州、衢州、丽水市中职学校二模）已知，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平方关系求参数、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】先根据角所在的象限，判断余弦的正负，再根据同角三角函数的平方关系求解. 【详解】为第四象限角，故. 又∵，∴. 故选：B. 2.（2023届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）若，且，则等于（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】∵，且，∴为第二象限角， ∴ ∴． 故选：D． 3.（2021届浙江省高职考单招单考宁波市三模）已知，若，则a的值可能是（    ） A．0 B．1 C．−1 D．2 【答案】A 【知识点】利用平方关系求参数 【分析】令，反推的值即可求解. 【详解】令，则，即， 所以a的值可能是0. 故选：A. 4.（2021届浙江省湖州市高三高职复习一模）在中，，角为钝角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】先根据角的范围，分析余弦值的正负，再根据同角三角函数的平方关系求解. 【详解】∵角为钝角，∴， 即. 故选：C. 5. （2024届浙江省温州市普通高职单独考试二模）已知,且为第四象限角，则______. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】由同角三角函数基本关系式及象限角三角函数的符号即可得解. 【详解】因为,且为第四象限角. 所以. 故答案为:. 6.（2023届浙江省高职考一轮系统性考试文化课阶段性考试）已知是第四象限的角，则______. 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据三角函数的基本关系式及三角函数符号即可化简求解. 【详解】因为是第四象限的角， 所以，即， . 故答案为： 7.（2023届浙江省绍兴市柯桥区职教中心高考模拟）函数的值域是______. 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值及对应x值、利用平方关系求参数、求二次（型）函数的最值 【分析】先根据得到函数，再设，则根据二次函数的单调性求最值即可. 【详解】∵， ∴函数， 设，则， ， ∴函数在时单调递增， 但时单调递减，∵当时，， 当时，， 当时，， 所以的值域为， ∴函数的值域是， 故答案为：. 考点2 商数关系 【典例2】（2023届浙江省高职考二三轮系统性考试高三一模）若角的终边经过点，则（   ） A．10 B． C． D． 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据题意，结合任意角三角函数的定义，及正、余弦齐次式的化简，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以．（分子分母一次式，直接同除以cosα） 故选：A． 【点拔】 一次齐次：上下同除cosα； 二次齐次：上下同除，化为含tanα式子代入。 【即时训练】 8.（2024届浙江省温州市单独考试三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将原式分子分母同除，将正余弦的平方化为正切的平方即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. （分子分母二次式，同除以） 故选：A. 【点拔】本题用到了“”的代换技巧：对于形如的式子，可以利用“1”的代换，构造成齐次式 ， 再同除以即可化为含的式子. 9.（2022届浙江省嘉兴市高三高职考第三次模拟考试数学试题三模）已知，则（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】由同角的三角函数的商数关系求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 10.（2023届浙江省金华市职教联合高三联考）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、正、余弦齐次式的计算 【分析】先由诱导公式求解正切值，再将正余弦化成正切即可求解. 【详解】因为， 所以，则， 所以. 故选:A. 11.（2024届浙江省宁波市高职复习一模）已知角满足，则______. 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据同角三角函数基本关系式进行化简求值即可得解. 【详解】角满足， 则， 故答案为：. 12.（2022届浙江省高职考试研究联合体高三第一次调研考试）已知，则___． 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、平方关系 【分析】由同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为，则， 又因为，所以， 解得. 故答案为：. 13. 已知，则___________. 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】化简题目给定的等式，再根据求解. 【详解】∵， ∴，整理得， 若，则，不满足条件等式，故， 得到. 故答案为：. 14.已知，求： (1).； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）分子分母同除构造出，代值即可求解. （2）整式化为分式，分母用平方关系式替换，再分子分母同除构造出，代值即可求解. 【详解】（1）. （2） . 考点3 与 的关系 【典例3】（2022届浙江省职教高考中职财会联盟第一次统考）若是的一个内角，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用同角三角函数关系式，先求，再根据得出结果. 【详解】∵是的一个内角，∴，则 ∵，∴，从而. ∵， ∴. 故选：B. 【即时训练】 15.已知角，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据同角三角函数的平方关系化简求值即可. 【详解】已知， 则， 所以， 又因为角，从而， 于是． 故选：C. 16. 已知和是一元二次方程的两个根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、利用平方关系求参数 【分析】结合一元二次方程根与系数的关系与同角三角函数平方关系求解. 【详解】因为是的两根，由根与系数的关系可得，， 则，解得. 故选：B. 17. 若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简求出的值，原式利用同角三角函数间基本关系化简，将的值代 入计算即可求出值. 【详解】将已知等式两边平方得：， 整理得：， 则 所以， 即. 故选：A 18. 已知，则__________． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据同角三角函数的平方关系，结合题意，即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以． 故答案为：． 19. 若，则___________． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用同角三角函数的基本关系，即可求解. 【详解】由题意知， 所以， 所以. 故答案为：. 20. 已知，则______. 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由与关系进行求解即可. 【详解】因为， 又因为， 所以有， 解得. 故答案为: . 21. （2023届浙江省台州市高职考三校联合期中）在中,若,则的形状是______. 【答案】钝角三角形 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由平方关系结合象限角三角函数值的正负即可得解. 【详解】因为. . 所以. 因为为的内角. 所以. 所以为钝角三角形. 故答案为:钝角三角形. 22. 已知，且，求下列各式的值： (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系即可求解. （2）根据同角三角函数的平方关系结合象限角的三角函数值符号即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 解得. （2）由（1）得，， 则， 因为，则，所以. 23.已知是方程的两个根,求 (1)的值 (2)的值 【答案】(1). (2). 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（）根据韦达定理，结合同角三角函数基本关系式即可得解. （）利用同角三角函数基本关系式将所求式子进行化简即可得解. 【详解】（1）因为是方程的两个根， 根据韦达定理可知，，， 所以， 解得. （2）原式. 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，24）已知，若. 求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式化简计算即可得解； （2）先根据（1）结合同角三角函数的平方关系式求出，再利用和角的正、余弦公式化简求解即可. 【小问1详解】 由， 得， 因为，所以， 解得. 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴ . 2. （2024年浙江，28）已知角为第二象限角，且. （1）求和； （2）将角的终边绕原点按顺时针方向旋转形成角，求. 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）由题意根据同角三角函数的平方关系和商数关系分别求解和即可； （2）由题意，根据两角差的正切公式求解. 【小问1详解】 为第二象限角，， ， . 【小问2详解】 将角的终边绕原点按顺时针转动， ， . 3. （2021年浙江，11）已知，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求解，再求解的值即可. 【详解】因为， 所以，则. 故选：A. 4.（2021年浙江，31）已知， （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由同角三角函数的基本关系求解正弦值和余弦值，再由正弦的二倍角公式求解即可. （2）由两角和的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 由已知，，可知为第三象限角， 所以可得， . 【小问2详解】 . 二、【考向感知】 1.考纲定位 属于必考基础模块，依附任意角三角函数、诱导公式、三角化简求值联合出题，分值稳定、难度偏低，是送分主干考点。 2.命题难度梯度（浙江中职分层） 基础层（80%考题）知一求二、简单齐次式、终边点求值，套路固定，熟记公式就能满分。 中档层（20%考题）带根号化简、二次齐次式、不给象限需分类讨论，少量陷阱。 拔高层浙江中职几乎不考复杂恒等证明、高次弦切互化，不用深挖难题。 3.备考命题应对策略（针对性拿分） ①死记两个核心公式，做到秒默写； ②专项练三类必考题型： · 知一求二带象限 · 一次、二次齐次式弦化切 · 终边上一点求三角值 ③固定解题模板：先判象限→再用平方→最后商数求切； ④不刷难题，只刷浙江中职同类真题变式，题型重复率极高。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $