专题1 集合（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合及其运算 【复习目标】 1. 理解集合的定义与元素三要素（确定性、互异性、无序性），能判断对象能否构成集合。 2. 掌握集合的三种表示方法（列举法、描述法、Venn图法），能根据需求选择合适的方法表示集合。 3. 区分元素与集合、集合与集合的关系，熟练使用∈、∉、⊆、⊂、=等符号。 4. 掌握集合的交、并、补运算，能结合Venn图或数轴解决简单集合问题。 考点1 集合的概念 1.集合的定义 一般地，把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，我们就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（简称集），通常用大写英文字母表示。 2.元素 集合中的每个对象称为这个集合的元素，一般用小写英文字母表示。 3.集合元素的性质 (1)确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的。 (2)互异性：对于给定的集合，它的元素是互不相同的。 (3)无序性：对于给定的集合，不考虑元素之间的顺序关系。 示例：集合元素性质中的易考点是确定性，即能给出一个明确的限定条件。如“高个子”无法明确多高才是高个子，但“身高180cm以上”则可以表示一个集合。 4.元素与集合的关系 (1)如果是集合的元素，就说，记作。 (2)如果不是集合的元素，就说，记作。 5.集合的分类 (1)含有有限个元素的集合称为有限集。例如，小于3的正整数构成的集合。 (2)含有无限个元素的集合称为无限集。例如，大于3的正整数构成的集合。 (3)任何元素的集合称为空集，记作。例如，大于2小于3的正整数构成的集合。 注意：只有1个元素的集合称为单元素集，如大于1小于3的正整数构成的集合。 6.实数的分类 7.常用的数集及记法 集合名称 记法 自然数集（非负整数集） N 正整数集 或 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 注意：为非负整数集，即自然数集，而或是正整数集，两者是不同的。简单地说包括0，或不包括0。 【即时训练】 1．以下不能构成集合的是（    ） A．比1小的实数 B．所有的偶数 C．接近1的实数 D．所有的正整数 【答案】C 【分析】根据集合中元素的确定性来逐一分析选项. 【详解】对于A，比1小的实数，对象是明确的，故能构成集合； 对于B，所有的偶数，对象是明确的，故能构成集合； 对于C，接近1的实数，没有具体的标准，无法确定某数是否是该集合中的元素的，故它不能构成集合； 对于D，所有的正整数，对象是明确的，故能构成集合. 故选：C. 2．下列说法正确的是（    ） A．单词的字母构成的集合有7个字母 B．集合与集合是两个不同的集合 C．某班性格开朗的同学可以构成一个集合 D．方程的所有实数解构成的集合的元素有2和 【答案】D 【分析】根据集合中元素的确定性，互异性，无序性逐个分析即可. 【详解】根据元素的互异性可知， 单词的字母构成的集合中有共个字母，故A错误. 根据元素的无序性可知， 集合与集合是两个相同的集合，故B错误. “性格开朗”不具有确定性，根据元素的确定性可知， 某班性格开朗的同学不能构成一个集合，故C错误. 方程的解为， 所以方程的所有实数解构成的集合的元素有2和，故D正确. 故选：D. 3．集合是_______ 集.（填“有限”或“无限”） 【答案】无限 【分析】根据有限集与无限集的定义即可求解. 【详解】因为含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. 又因为集合含有无限个元素，所以是无限集. 故答案为：无限. 4．下列语句中正确的是（   ） A．由构成一个集合，这个集合共有4个元素 B．所有三角形构成的集合是无限集 C．与1接近的实数的全体可以构成集合 D．与不是同一个集合 【答案】B 【分析】根据集合中元素的互异性，确定性，和无序性，以及集合的分类逐个分析即可. 【详解】由构成一个集合，这个集合共有2个元素，故A错误， 所有三角形构成的集合元素的个数是无限的，所以是无限集，故B正确， 与1接近的实数的全体，“接近”不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误， 与是同一个集合，故D错误， 故选：B. 5．用符号“”或“”填空. （1）3.14________ （2）________R 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为3.14是有理数，为有理数集，所以3.14， 因为是无理数，R为实数集，所以R. 故答案为：，. 6．下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数与常用数集的关系判断即可得解. 【详解】对于A，0是自然数，所以正确； 对于B，是实数，所以正确； 对于C，是有理数，所以正确； 对于D，是无理数，所以，故D不正确. 故选：D. 7．已知集合，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合之间的符号表示和集合与集合之间的符号表示即可得出结果. 【详解】已知集合，其中元素为有序数对， 所以，，故A，B错误. 是集合中的元素，元素与集合之间用表示， 所以，故C正确，D错误. 故选：C. 考点2 集合的表示方法 1.列举法 把集合中的元素一一列举出来，用花括号“”括起来，并且元素之间用“，”隔开。 ▲注意：①一般不必考虑元素之间的顺序，但要考虑元素的互异性。 ②在不方便或不可能列出集合中所有元素时，可以列出该集合的一部分元素，以提供某种规律，其余元素以省略号代替。 ③用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序。 ④只含一个元素的集合也是集合，要将它与它的元素加以区分，即。 2 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，即把集合中元素的公共属性描述出来，写在花括号里的方法。 表示形式：，其中竖线前的表示此集合的代表元素，表示元素所具有的公共属性，如表示集合是由集合中具有性质的所有元素构成的。 ▲注意：①有些集合的代表元素需用2个或以上字母表示。 ②应防止集合表示中的一些错误。例如，把表示成，或；用实数集表示。 ③在某种约定下，的取值集合可省略不写。例如，在实数集中取值时，常常省略不写。 ④用描述法表示集合时，要注意“特征性质”是什么，从而理解集合的含义，“特征性质”不是唯一的。 3.维恩（Venn）图法 画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合。如图所示为任意一个集合。 A ▲注意：边界用直线或曲线、用实线或虚线都可以，只要是封闭的且能把有关元素包含在内就行，但不能理解成曲线内每个点都是集合的元素。 维恩图又称维氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法。一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法。 【即时训练】 8．.已知集合，则集合A用列举法表示为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合中的元素一一列举出来，再由列举法表示即可. 【详解】表示整数集，由题意可得：集合. 故选：C. 9．用列举法表示集合，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合中的元素，再一一列举出来即可. 【详解】已知集合， 其中，解得， 所以， 故选：B. 10．方程组 的解集用列举法表示为_____ 【答案】 【分析】先解出方程组，再用列举法表示点集即可. 【详解】因为方程组 的解为 该方程组的解集为点集， 所以用列举法表示方程组 的解集为 . 故答案为： . 11．已知集合，集合A中的点所在的象限是（   ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一象限或第三象限 【答案】B 【分析】由集合的描述法确定坐标的特征即可得解. 【详解】因为集合， 所以集合A中的点在第二象限. 故选：B. 12．已知集合，若，则_____ 【答案】4 【分析】将代入方程，可得出的值. 由题意可知代入方程的一根，则，解得. 故答案为：. 13．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 14．由全体偶数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由根据偶数的特征判断即可. 【详解】对A，是全体偶数集合，A项正确； 对B，是非负偶数集合，B项错误； 对C，，该集合不含偶数0，C项错误； 对D，不是偶数集合，当时，不是偶数，D项错误. 故选：A. 15．能正确表示集合和集合关系的Venn图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合得出，结合维恩图的应用即可得解. 【详解】，解得或，所以， 集合，所以， 故选：. 考点3 集合之间的关系 1.子集 (1) 定义：对于集合，如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集。 符号语言：或（读作：包含于或包含）。图形语言（维恩图）如图1-2所示： 或 A(B) ▲注意：①“”读作“包含于”，“”读作“包含”，开口朝哪边，哪边范围大。 ②与之间的区别：“”表示元素与集合之间的关系，“”表示集合与集合之间的关系。 ③有两层含义： a.是的一部分，即中存在不在中的元素。例如，，。 b.与相等，例如，与相等。 (2) 性质：① 空集是任意一个集合的子集。也就是说，对于任意集合都有。 ② 任意一个集合都是它本身的子集，即。 ③ 如果，，则。 2 真子集 (1) 定义：如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集。 符号语言：或（读作：真包含于或真包含）。 图形语言（维恩图）如图所示： (2) 性质： ① 空集是任意非空集合的真子集。也就是说，对于任意非空集合都有。 ② 如果，，则。 3 集合相等 (1) 定义：中任意一个元素都在中，中任意一个元素都在中，那么就说集合与集合相等，记作。 符号语言：（且）。 图形语言（维恩图）如图所示： A(B) (2) 性质：如果，，则；反之，如果，则且。 拓展：与子集、真子集个数有关的4个结论： 假设集合中含有个元素，则 ① 的子集的个数为； ② 的真子集的个数为； ③ 的非空子集的个数为； ④ 的非空真子集的个数为。 注意事项： ①集合的非空子集个数为；非空真子集个数为。 ②0和空集不相同，正确区分才成功。 ③“元素与集合间的关系”和“集合与集合间关系”，元素集合是属于，集合之间淡包含。 ④是含有一个元素0的单元素集合，不是空集。 名师点拨：(1) 考查集合与集合之间的关系，考虑两种可能： ①是中的一部分（真包含）； ②与相等。 (2)子集与真子集的区别：真子集的定义“是的子集，且中至少有1个元素不属于”中两个条件缺一不可。 【即时训练】 16．集合的子集个数是（     ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】A 【分析】根据集合子集个数的计算公式计算即可． 【详解】含有个元素的集合的子集共有个， 集合的子集个数． 故选：A． 17．集合的非空真子集的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】将所有的非空真子集列出来，即可得出结果. 【详解】已知集合， 则集合A的非空真子集为， 共6个， 故选：B. 18．下列关系式错误的是（　　） A． B． C．⫋ D．⫋ 【答案】D 【分析】根据集合的子集、真子集的概念及空集的性质可判断. 【详解】由子集的概念可判断，A、B正确； 由真子集概念可判断C正确； 由空集是任何非空集合的真子集可判断，D错误. 故选：D 19．下列说法正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常用数集的定义判断即可. 【详解】表示有理数集，表示自然数集， 表示整数集，表示实数集； 故：. 故选：. 20．设集合，，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用列举法表示集合，结合集合之间的包含关系即可得解. 【详解】，解得或，所以， ，所以， 故选：. 21．给出以下集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用相等集合的定义逐项判断即可. 【详解】对于选项A，集合，有一个元素；集合中有两个元素，故不是相等集合，故A选项错误； 对于选项B，集合是空集，集合有一个元素0，故不是相等集合，故选项B错误； 对于选项C，集合都只有一个元素，但，元素不相等，故不是相等集合，故选项C错误； 对于选项D，， ， 所以集合中元素完全相同，故是相等集合，故选项D正确， 故选：D. 22．若集合，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意，转化为方程无实根，分和两种情况讨论可求解. 【详解】由题可知，方程无实根. ①若时，显然方程无实根，即符合题意； ②若时，要使方程无实根，则 ，解得. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为： 考点4 集合的运算 1 并集 (1) 定义：给定两个集合，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，称为与的并集，记作，读作“并”，即。 例如，若，，则。 图形语言（维恩图）如图所示： （1） （2） （3） ▲注意：这里的“或”有3种可能：①，但； ②，但； ③且。 求需掌握两点（可归纳为3个字“取全部”）： ①把集合所有的元素合并在一起； ②集合与的公共元素出现一次即可。 (2) 运算性质： ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤如果，则，反之也成立。 2 交集 (1) 定义：给定两个集合，由既属于集合又属于集合的所有公共元素所构成的集合，称为集合与的交集，记作，读作“交”，即。 图形语言（维恩图）如图1-6所示： A B （1） （2） （3） ▲注意：如果集合与没有公共元素，不能说它们没有交集，而是（可归纳为“取公共”3个字）。 (2) 运算性质： ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤如果，则，反之也成立。 注意事项：(1)——属于集合或属于集合的所有元素（强调“或”）。 (2)——属于集合且属于集合的所有元素（强调“且”）。 3 补集 (1) 定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么就称这个给定的集合为这些集合的全集，记作。全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 补集：如果是全集的一个子集，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作，读作“在中的补集”，即。 图形语言（维恩图）如图所示： (2) 运算性质： ①，。 ②，。 ③，，。 ④，。 ▲注意：只有有全集，才能有补集，全集是相对于研究对象而言的，可归纳为“取剩余”3个字。 注意事项： (1) 表示全集和除集合剩下的部分。 (2) 表示集合在全集中的补集，它是一个相对的概念，离开了全集无所谓补集，事实上就是全集与它的一个子集的差集，因此，。 (3) 对于补集的定义：用“差”的概念理解，事实上就是全集和集合之间的差集，运算条件是且。 (4) 两个集合的交集一定是一个集合，而不是元素，如，，则，而不是。 【即时训练】 23．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集的概念可求. 【详解】因为集合，集合， 所以； 故选：A. 24．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】因为集合，， 解方程组可得，所以. 故选：D. 25．已知集合，或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定集合A，再根据集合的交集求解即可. （2）根据交集的结果以及空集的定义求解即可. 【详解】（1）当，集合， 则. （2）因为集合，或， 且，所以有，即， 解得 26．已知集合，，若，则_________. 【答案】或 【分析】根据集合的并集转化为子集关系，建立方程求解即可. 【详解】已知集合，， 由，得， 所以或， 解得或或， 当时，不满足集合中元素的互异性，舍去， 当时，，满足题意， 当时，，满足题意， 故答案为：或. 27．已知集合，均为全集的子集，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图即可求解． 【详解】因为，，所以， 因为，所以且，作出韦恩图如图所示：    所以， 故选：A． 28．集合，若，则的值为________． 【答案】4 【分析】利用集合的并集运算解答即可. 【详解】因为集合，且， 因为集合中有确定元素0,2，集合中有确定元素1， 而，所以两个集合中缺少元素4,6， 所以解得，当在集合中就会有元素256不符合， 即， 故答案为：4. 29．已知全集，集合，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出全集U和集合M的元素，结合补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为全集， 集合， 所以. 故选：D. 30．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出全集为，由集合运算定义得到阴影部分表示的集合，从而得到答案. 【详解】设全集为， 由集合运算的定义可知，图中阴影部分表示的集合为， 即. 故选：C. 31．为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（    ） A．237 B．297 C．277 D．267 【答案】D 【分析】应用Venn图求解即可. 【详解】画出Venn图.全集表示全校学生， 分别用集合表示参与“数学建模选修课”和“语文素养选修课”的学生， 则表示两项选修课都参与的学生， 表示两项选修课都没有参与的学生则可用表示，即. 由题意可知，全集元素的个数为317，元素的个数为30， 元素的个数为20， 则阴影部分表示只参与一项活动的学生，设有人， 则， 故只参与一项活动的学生数为, 故选：D. 32．已知全集，集合，集合． (1)求，； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交集，并集概念运算； （2）根据补集、交集概念运算. 【详解】（1）由题可知：，所以，. （2）由（1）可知：，所以，所以. 33．已知全集，集合. (1)求； (2)求，并写出它的所有子集. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据交集与并集的概念即可求解. （2）先根据补集和交集的概念求出，再利用子集的概念即可求解. 【详解】（1）因为集合， 所以. （2）因为全集， 所以，所以， 所以的所有子集为. 34．某机械加工厂生产发动机和变速箱两种部件.生产发动机的工人集合为，有人；生产变速箱的工人集合为，有人.其中既生产发动机又生产变速箱的工人有人.问该工厂参与这两种部件生产的工人一共有多少人？ 【答案】人 【分析】首先利用集合表示两种部件生产的工人，再根据集合的运算求解即可. 【详解】已知，，既生产发动机又生产变速箱的工人有人，即， 所以（人）. 35．已知集合，且，求实数的值组成的集合． 【答案】 【分析】由条件可得，分和，分别求出，再由求得的值，即可得到答案． 【详解】由，得或，则， 由得：． 若，则，满足题意； 若，则，由得：或，解得或， 所以实数的值组成的集合． 36．已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的交补运算即可得解； （2）利用集合并集的结合得到，再利用集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）当时，， 因为，所以. 或， （2）因为，所以，又因为，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 1.（2025·内蒙古·真题T01）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合并集的定义即可得解. 【详解】，解得或，所以； ，解得或，则， 则， 故选：. 2．（2024·内蒙古·真题T01）学校在五月份组织了篮球比赛和足球比赛，某班有人参加了篮球比赛，有人参加了足球比赛，有4人既参加了篮球比赛又参加了足球比赛，那么该班参加比赛的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合运算概念解题即可. 【详解】设参加了篮球比赛的人为集合，集合中有10个元素， 参加了足球比赛的人为集合，集合中有8个元素， 因为中有个元素， 所以中有个元素， 故选：C. 3.（2023·内蒙古·真题T01）设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个集合的范围，再根据交并补的混合运算计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以或， 所以 故选：C. 4.（2022·内蒙古·真题T01）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】∵，，∴. 故选：B. 5.（2021·内蒙古·真题T01）若集合则满足条件的实数x的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集得到集合的包含关系，进而求解即可. 【详解】因为集合. 所以. 所以或. 当时，，满足题意. 当时，或（舍去）， 故满足条件的实数有3个. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合及其运算 【复习目标】 1. 理解集合的定义与元素三要素（确定性、互异性、无序性），能判断对象能否构成集合。 2. 掌握集合的三种表示方法（列举法、描述法、Venn图法），能根据需求选择合适的方法表示集合。 3. 区分元素与集合、集合与集合的关系，熟练使用∈、∉、⊆、⊂、=等符号。 4. 掌握集合的交、并、补运算，能结合Venn图或数轴解决简单集合问题。 考点1 集合的概念 1.集合的定义 一般地，把一些能够______的______的对象看作一个整体，我们就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（简称集），通常用大写英文字母表示。 2.元素 集合中的每个对象称为这个集合的______，一般用小写英文字母表示。 3.集合元素的性质 (1)______性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的。 (2)______性：对于给定的集合，它的元素是互不相同的。 (3)______性：对于给定的集合，不考虑元素之间的顺序关系。 示例：集合元素性质中的易考点是确定性，即能给出一个明确的限定条件。如“高个子”无法明确多高才是高个子，但“身高180cm以上”则可以表示一个集合。 4.元素与集合的关系 (1)如果是集合的元素，就说，记作______。 (2)如果不是集合的元素，就说，记作______。 5.集合的分类 (1)含有______个元素的集合称为有限集。例如，小于3的正整数构成的集合。 (2)含有______个元素的集合称为无限集。例如，大于3的正整数构成的集合。 (3)任何元素的集合称为空集，记作______。例如，大于2小于3的正整数构成的集合。 注意：只有1个元素的集合称为单元素集，如大于1小于3的正整数构成的集合。 6.实数的分类 7.常用的数集及记法 集合名称 记法 自然数集（非负整数集） _____ 正整数集 ______或______ 整数集 ______ 有理数集 ______ 实数集 ______ 注意：为非负整数集，即自然数集，而或是正整数集，两者是不同的。简单地说______0，或不包括0。 【即时训练】 1．以下不能构成集合的是（    ） A．比1小的实数 B．所有的偶数 C．接近1的实数 D．所有的正整数 2．下列说法正确的是（    ） A．单词的字母构成的集合有7个字母 B．集合与集合是两个不同的集合 C．某班性格开朗的同学可以构成一个集合 D．方程的所有实数解构成的集合的元素有2和 3．集合是_______ 集.（填“有限”或“无限”） 4．下列语句中正确的是（   ） A．由构成一个集合，这个集合共有4个元素 B．所有三角形构成的集合是无限集 C．与1接近的实数的全体可以构成集合 D．与不是同一个集合 5．用符号“”或“”填空. （1）3.14________ （2）________R 6．下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 考点2 集合的表示方法 1.列举法 把集合中的元素____________出来，用花括号“”括起来，并且元素之间用“，”隔开。 ▲注意：①一般不必考虑元素之间的顺序，但要考虑元素的互异性。 ②在不方便或不可能列出集合中所有元素时，可以列出该集合的一部分元素，以提供某种规律，其余元素以省略号代替。 ③用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序。 ④只含一个元素的集合也是集合，要将它与它的元素加以区分，即。 2 描述法 用集合所含元素的____________表示集合的方法，即把集合中元素的____________描述出来，写在花括号里的方法。 表示形式：，其中竖线前的表示此集合的代表元素，表示元素所具有的公共属性，如表示集合是由集合中具有性质的所有元素构成的。 ▲注意：①有些集合的代表元素需用2个或以上字母表示。 ②应防止集合表示中的一些错误。例如，把表示成，或；用实数集表示。 ③在某种约定下，的取值集合可省略不写。例如，在实数集中取值时，常常省略不写。 ④用描述法表示集合时，要注意“特征性质”是什么，从而理解集合的含义，“特征性质”不是唯一的。 3.维恩（Venn）图法 画一条____________曲线，用它的内部来表示一个集合。如图所示为任意一个集合。 A ▲注意：边界用直线或曲线、用实线或虚线都可以，只要是封闭的且能把有关元素包含在内就行，但不能理解成曲线内每个点都是集合的元素。 维恩图又称维氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法。一般用平面上的______或______表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法。 【即时训练】 8．.已知集合，则集合A用列举法表示为（   ）. A． B． C． D． 9．用列举法表示集合，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．方程组 的解集用列举法表示为_____ 11．已知集合，集合A中的点所在的象限是（   ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一象限或第三象限 12．已知集合，若，则_____ 13．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为______． 14．由全体偶数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 15．能正确表示集合和集合关系的Venn图是（   ） A． B． C． D． 考点3 集合之间的关系 1.子集 (1) 定义：对于集合，如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的____________。 符号语言：或（读作：包含于或包含）。图形语言（维恩图）如图1-2所示： 或 A(B) ▲注意：①“”读作“包含于”，“”读作“包含”，开口朝哪边，哪边范围大。 ②与之间的区别：“”表示元素与集合之间的关系，“”表示集合与集合之间的关系。 ③有两层含义： a.是的一部分，即中存在不在中的元素。例如，，。 b.与相等，例如，与相等。 (2) 性质：① 空集是任意一个集合的。也就是说，对于任意集合都有。 ② 任意一个集合都是它本身的子集，即。 ③ 如果，，则。 2 真子集 (1) 定义：如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的。 符号语言：或（读作：真包含于或真包含）。 图形语言（维恩图）如图所示： (2) 性质： ① 空集是任意非空集合的真子集。也就是说，对于任意非空集合都有。 ② 如果，，则。 3 集合相等 (1) 定义：中任意一个元素都在中，中任意一个元素都在中，那么就说集合与集合相等，记作。 符号语言：。 图形语言（维恩图）如图所示： A(B) (2) 性质：如果，，则；反之，如果，则且。 拓展：与子集、真子集个数有关的4个结论： 假设集合中含有个元素，则 ① 的子集的个数为； ② 的真子集的个数为； ③ 的非空子集的个数为； ④ 的非空真子集的个数为。 注意事项： ①集合的非空子集个数为；非空真子集个数为。 ②0和空集不相同，正确区分才成功。 ③“元素与集合间的关系”和“集合与集合间关系”，元素集合是属于，集合之间淡包含。 ④是含有一个元素0的单元素集合，不是空集。 名师点拨：(1) 考查集合与集合之间的关系，考虑两种可能： ①是中的一部分（真包含）； ②与相等。 (2)子集与真子集的区别：真子集的定义“是的子集，且中至少有1个元素不属于”中两个条件缺一不可。 【即时训练】 16．集合的子集个数是（     ） A．32 B．31 C．16 D．15 17．集合的非空真子集的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 18．下列关系式错误的是（　　） A． B． C．⫋ D．⫋ 19．下列说法正确的是（ ）． A． B． C． D． 20．设集合，，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 21．给出以下集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 22．若集合，则实数a的取值范围是______. 考点4 集合的运算 1 并集 (1) 定义：给定两个集合，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，称为与的，记作，读作“并”，即。 例如，若，，则。 图形语言（维恩图）如图所示： （1） （2） （3） ▲注意：这里的“或”有3种可能：①，但； ②，但； ③且。 求需掌握两点（可归纳为3个字“取全部”）： ①把集合所有的元素合并在一起； ②集合与的公共元素出现一次即可。 (2) 运算性质： ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤如果，则，反之也成立。 2 交集 (1) 定义：给定两个集合，由既属于集合又属于集合的所有公共元素所构成的集合，称为集合与的，记作，读作“交”，即。 图形语言（维恩图）如图1-6所示： A B （1） （2） （3） ▲注意：如果集合与没有公共元素，不能说它们没有交集，而是（可归纳为“取公共”3个字）。 (2) 运算性质： ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤如果，则，反之也成立。 注意事项：(1)——属于集合或属于集合的所有元素（强调“或”）。 (2)——属于集合且属于集合的所有元素（强调“且”）。 3 补集 (1) 定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么就称这个给定的集合为这些集合的全集，记作。全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 补集：如果是全集的一个子集，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作，读作“在中的补集”，即。 图形语言（维恩图）如图所示： (2) 运算性质： ①，。 ②，。 ③，，。 ④，。 ▲注意：只有有全集，才能有补集，全集是相对于研究对象而言的，可归纳为“取剩余”3个字。 注意事项： (1) 表示全集和除集合剩下的部分。 (2) 表示集合在全集中的补集，它是一个相对的概念，离开了全集无所谓补集，事实上就是全集与它的一个子集的差集，因此，。 (3) 对于补集的定义：用“差”的概念理解，事实上就是全集和集合之间的差集，运算条件是且。 (4) 两个集合的交集一定是一个集合，而不是元素，如，，则，而不是。 【即时训练】 23．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 24．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 25．已知集合，或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 26．已知集合，，若，则_________. 27．已知集合，均为全集的子集，且，，则（   ） A． B． C． D． 28．集合，若，则的值为________． 29．已知全集，集合，则 （     ） A． B． C． D． 30．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 31．为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（    ） A．237 B．297 C．277 D．267 32．已知全集，集合，集合． (1)求，； (2)求． 33．已知全集，集合. (1)求； (2)求，并写出它的所有子集. 34．某机械加工厂生产发动机和变速箱两种部件.生产发动机的工人集合为，有人；生产变速箱的工人集合为，有人.其中既生产发动机又生产变速箱的工人有人.问该工厂参与这两种部件生产的工人一共有多少人？ 35．已知集合，且，求实数的值组成的集合． 36．已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 1.（2025·内蒙古·真题T01）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2．（2024·内蒙古·真题T01）学校在五月份组织了篮球比赛和足球比赛，某班有人参加了篮球比赛，有人参加了足球比赛，有4人既参加了篮球比赛又参加了足球比赛，那么该班参加比赛的人数为（ ） A. B. C. D. 3.（2023·内蒙古·真题T01）设全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4.（2022·内蒙古·真题T01）已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5.（2021·内蒙古·真题T01）若集合则满足条件的实数x的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $