四川阆中中学2026届高三物理复习专题二：微专题3　圆周运动中的受力和能量问题

微切口3　圆周运动中的受力和能量问题 类型1　有摩擦作用 　如图所示，一轻支架由水平段ON和竖直段OO′组成．轻弹簧一端固定于O点，另一端与套在水平杆ON上的A球相连，一根长为10 cm的轻绳连接A、B两球．A球质量mA＝1 kg，B球质量mB＝4 kg，A球与水平杆的动摩擦因数μ＝0.36，弹簧原长20 cm，劲度系数k＝450 N/m.初始时使A球尽量压缩弹簧并恰好处于静止状态．现使系统绕OO′轴缓慢转动起来，转动过程中保持A、B两球始终与OO′在同一竖直平面内，当系统以某角速度稳定转动时，细绳与竖直方向成37°角，此时弹簧的弹力大小恰好与初始时相同．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求： (1) 初始时弹簧的长度． (2) 细绳与竖直方向成37°角时，系统转动的角速度． (3) 整个过程中驱动力对系统所做的总功． 类型2　无摩擦作用 　(2021·江苏卷)如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°.现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到0，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反，重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1) 装置静止时，弹簧弹力的大小F. (2) 环A的质量M. (3) 上述过程中装置对A、B所做的总功W. 求解圆周运动中受力和能量问题的方法 1. 选择研究对象，根据运动状态求某一个力或合力． 2. 根据圆周运动的知识求向心力、向心加速度等． 3. 根据功能关系或动能定理求解该过程中外力对装置所做的功． 　(2025·如皋第二次适应性考试)如图所示，足够长的水平轻杆中点O固定竖直轻质转轴，小球A和B分别套在水平杆中点两侧，原长L0＝0.8 m的轻质弹簧一端固定在O点，下端与套在转轴上的小球C连接，C分别与A、B用长L＝1 m的轻质细线连接．装置静止时，两根绳恰好拉直且无张力．在外力作用下，装置绕转轴缓慢增大转速，C缓慢上升．小球A、B、C的质量均为m＝1 kg，均可看成质点，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.求： (1) 弹簧的劲度系数k. (2) 当绳AC与水平方向成37°时，装置转动的角速度ω. (3) 从静止开始到绳AC与水平方向成37°过程中，外力对装置做的功W. 配套热练 1. 如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，细线与水平杆平行，环A的质量为m，小球B的质量为2m.现使整个装置绕竖直轴以角速度ω匀速转动，细线与竖直方向的夹角为37°.缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动，细线与竖直方向的夹角为53° ，此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等，已知重力加速度为g，取sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，求： (1) 当装置转动的角速度为ω时，细线OB的长度s. (2) 当装置转动的角速度为2ω时，弹簧的弹力大小F. (3) 装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，细线对小球B做的功W. 2. (2025·常州调研)如图所示，直角细支架竖直段AB粗糙、水平段BC光滑且均足够长，AB段、BC段各穿过一个质量1 kg的小球a与b，a、b两球通过长1 m的细线连接．支架以初始角速度ω1绕AB段匀速转动，此时细线与竖直方向的夹角为37°，两小球在支架上不滑动．现缓慢增大角速度至足够大，此后又缓慢减小至ω2，ω1＝ω2＝ rad/s，在此过程中小球a由静止缓慢上升至最高点后缓慢下滑．小球a与AB段间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.支架转动角速度从ω1变化到ω2过程中，求： (1) 初始时刻，细线中的张力大小． (2) 小球a重力势能的变化量． (3) 细线与竖直方向夹角θ的最大值(用三角函数表示)． 3. (2024·南通第三次调研)如图所示，足够大的光滑板固定在水平面内，板上开有光滑的小孔O，细线穿过小孔，将小球A、B、C拴接．小球A在光滑板上做匀速圆周运动，小球B、C自然下垂处于静止状态．已知小球A、B、C的质量均为m，小球A到小孔O的距离为L，重力加速度为g. (1) 求小球A做圆周运动的速度大小v0. (2) 剪断B、C间细线瞬间，小球A的加速度大小为aA，求此时小球B的加速度大小aB. (3) 剪断B、C间细线后，小球B运动到最高点的过程中(小球B未与板接触)，细线对小球B做的功为W.求小球B运动到最高点时小球A的角速度大小ω. 4. 如图所示，半球形光滑圆弧槽固定在水平转台上，转台可绕竖直轴OO′转动，圆弧槽半径为R，圆心为O.质量为mA的小球A通过长L＝3R的细线连接小球B，两球静止时，A球恰在槽内壁P点，PO与水平方向间夹角θ1＝60°.现将A球移至圆弧槽的左端点Q由静止释放，转台保持静止．已知重力加速度为g. (1) 求B球的质量mB. (2) 求A球运动到P点时的动能EkA. (3) 若将A球固定在P点，使转台绕OO′轴从静止开始缓慢加速转动，直到细线QB与竖直方向间夹角θ2＝30°，求此过程中转台对两球做的功W. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微切口3　圆周运动中的受力和能量问题 类型1　有摩擦作用 　如图所示，一轻支架由水平段ON和竖直段OO′组成．轻弹簧一端固定于O点，另一端与套在水平杆ON上的A球相连，一根长为10 cm的轻绳连接A、B两球．A球质量mA＝1 kg，B球质量mB＝4 kg，A球与水平杆的动摩擦因数μ＝0.36，弹簧原长20 cm，劲度系数k＝450 N/m.初始时使A球尽量压缩弹簧并恰好处于静止状态．现使系统绕OO′轴缓慢转动起来，转动过程中保持A、B两球始终与OO′在同一竖直平面内，当系统以某角速度稳定转动时，细绳与竖直方向成37°角，此时弹簧的弹力大小恰好与初始时相同．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求： (1) 初始时弹簧的长度． (2) 细绳与竖直方向成37°角时，系统转动的角速度． (3) 整个过程中驱动力对系统所做的总功． 答案：(1) 0.16 m　(2) 5 rad/s　(3) 7.46 J 【解析】(1) 初始时弹簧处于压缩状态，A球恰好处于静止状态，设初始时弹簧的压缩量为Δl，弹簧原长为l0 则kΔl＝μ(mA＋mB)g 代入数据解得Δl＝0.04 m 所以初始时弹簧的长度l＝l0－Δl＝0.16 m (2) 当系统以某角速度稳定转动，弹簧的弹力大小与初始时相同时，对B球，有mBgtan 37°＝mBω2rB rB＝l0＋Δl＋Lsin 37° 代入数据解得ω＝5 rad/s (3) 根据能量守恒，整个过程中驱动力对系统所做的总功等于两球的动能增加量、B球的重力势能增加量以及A球与水平横杆间摩擦产生的内能之和 W＝mAv＋mBv＋mBg(L－Lcos 37°)＋μ(mA＋mB)g·2Δl vA＝ωrA rA＝l0＋Δl vB＝ωrB 代入数据解得 W＝7.46 J. 类型2　无摩擦作用 　(2021·江苏卷)如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°.现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到0，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反，重力加速度为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1) 装置静止时，弹簧弹力的大小F. (2) 环A的质量M. (3) 上述过程中装置对A、B所做的总功W. 答案：(1) mg　(2) m　(3) mgL 【解析】(1) 设AB、OB的张力分别为F1、F2，A受力平衡 F＝F1sin 37° B受力平衡 F1cos 37°＋F2cos 37°＝mg F1sin 37°＝F2sin 37° 解得F＝mg (2) 设装置转动的角速度为ω 对A有F＝Mω2·L 对B有mgtan 53°＝mω2·L 解得M＝m (3) B上升的高度h＝L，A、B的动能分别为 EkA＝M2 EkB＝m2 根据能量守恒定律可知 W＝(EkA－0)＋(EkB－0)＋mgh 解得W＝mgL. 求解圆周运动中受力和能量问题的方法 1. 选择研究对象，根据运动状态求某一个力或合力． 2. 根据圆周运动的知识求向心力、向心加速度等． 3. 根据功能关系或动能定理求解该过程中外力对装置所做的功． 　(2025·如皋第二次适应性考试)如图所示，足够长的水平轻杆中点O固定竖直轻质转轴，小球A和B分别套在水平杆中点两侧，原长L0＝0.8 m的轻质弹簧一端固定在O点，下端与套在转轴上的小球C连接，C分别与A、B用长L＝1 m的轻质细线连接．装置静止时，两根绳恰好拉直且无张力．在外力作用下，装置绕转轴缓慢增大转速，C缓慢上升．小球A、B、C的质量均为m＝1 kg，均可看成质点，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.求： (1) 弹簧的劲度系数k. (2) 当绳AC与水平方向成37°时，装置转动的角速度ω. (3) 从静止开始到绳AC与水平方向成37°过程中，外力对装置做的功W. 答案：(1) 50 N/m　(2) rad/s　(3) J 【解析】(1) 小球C受力平衡k(L－L0)＝mg 解得k＝50 N/m (2) 设AC绳与水平方向成37°时 对小球C有2Tsin 37°＝mg＋k(L0－Lsin 37°) 对小球A有Tcos 37°＝mω2Lcos 37° 解得ω＝ rad/s (3) 细绳从竖直位置到与水平方向成37°过程中，弹簧弹性势能不变，小球的速度v＝ωLcos 37° 竖直转轴对小球系统做功W＝mg(L－Lsin 37°)＋2×mv2 解得W＝ J. 配套热练 1. 如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环A和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A和小球B连接，细线与水平杆平行，环A的质量为m，小球B的质量为2m.现使整个装置绕竖直轴以角速度ω匀速转动，细线与竖直方向的夹角为37°.缓慢加速后使整个装置以角速度2ω匀速转动，细线与竖直方向的夹角为53° ，此时弹簧弹力与角速度为ω时大小相等，已知重力加速度为g，取sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，求： (1) 当装置转动的角速度为ω时，细线OB的长度s. (2) 当装置转动的角速度为2ω时，弹簧的弹力大小F. (3) 装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，细线对小球B做的功W. 答案：(1) 　(2) 2mg　(3) 【解析】(1) 当装置转动的角速度为ω时，对小球B有 T1cos 37°＝2mg T1sin 37°＝2mω2ssin 37° 解得OB的长度s＝ (2) 当装置转动的角速度为2ω时，设OB的长度变为s′，对小球B有 T2cos 53°＝2mg T2sin 53°＝2m(2ω)2s′sin 53° 解得s′＝ 设细线的长为L，对圆环A分析 角速度为ω时，T1－F＝mω2(L－s) 角速度为2ω时，T2＋F＝m(2ω)2(L－s′) 解得F＝2mg (3) 装置转动的角速度由ω增至2ω过程中，对小球B分析 重力势能的变化量ΔEp＝2mg(scos 37°－s′cos 53°) 动能的变化量 ΔEk＝·2m[(2ωs′·sin 53°)2－(ωs·sin 37°)2] 细线对小球B做的功W＝ΔEp＋ΔEk＝ 2. (2025·常州调研)如图所示，直角细支架竖直段AB粗糙、水平段BC光滑且均足够长，AB段、BC段各穿过一个质量1 kg的小球a与b，a、b两球通过长1 m的细线连接．支架以初始角速度ω1绕AB段匀速转动，此时细线与竖直方向的夹角为37°，两小球在支架上不滑动．现缓慢增大角速度至足够大，此后又缓慢减小至ω2，ω1＝ω2＝ rad/s，在此过程中小球a由静止缓慢上升至最高点后缓慢下滑．小球a与AB段间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.支架转动角速度从ω1变化到ω2过程中，求： (1) 初始时刻，细线中的张力大小． (2) 小球a重力势能的变化量． (3) 细线与竖直方向夹角θ的最大值(用三角函数表示)． 答案：(1) 10 N　(2) 2 J　(3) 见解析　 【解析】(1) 当角速度为ω1时，对小球b有 T1sin θ1＝mωr1 其中r1＝Lsin θ1 解得T1＝10 N (2) 当角速度为ω2时，对小球b分析得T2＝10 N 对小球a有T2sin θ2＝N2 T2cos θ2＋f2＝mg f2＝μN2 联立解得cos θ2＋0.5sin θ2＝1 解得θ2＝53° 小球a重力势能的变化量 ΔEp＝mg(Lcos θ1－Lcos θ2) 解得ΔEp＝2 J (3) 缓慢增大角速度，a球缓慢上升过程中 Tsin θ＝N Tcos θ－f＝mg f＝μN 可得T(cos θ－μsin θ)＝mg 对b有Tsin θ＝mω2Lsin θ 联立解得cos θ－μsin θ＝ 当ω趋于无穷大时，θ最大，此时 cos θm－μsin θm＝0 解得tan θm＝2 3. (2024·南通第三次调研)如图所示，足够大的光滑板固定在水平面内，板上开有光滑的小孔O，细线穿过小孔，将小球A、B、C拴接．小球A在光滑板上做匀速圆周运动，小球B、C自然下垂处于静止状态．已知小球A、B、C的质量均为m，小球A到小孔O的距离为L，重力加速度为g. (1) 求小球A做圆周运动的速度大小v0. (2) 剪断B、C间细线瞬间，小球A的加速度大小为aA，求此时小球B的加速度大小aB. (3) 剪断B、C间细线后，小球B运动到最高点的过程中(小球B未与板接触)，细线对小球B做的功为W.求小球B运动到最高点时小球A的角速度大小ω. 答案：(1) 　(2) aA－g (3) g 【解析】(1) 小球A做圆周运动，设A、B间绳中的张力为F1 小球B、C静止，则F1＝2mg 小球A做匀速圆周运动有F1＝m 解得v0＝ (2) 剪断B、C间细线，设A、B间绳中的张力为F2 对小球A有F2＝maA 对小球B有F2－mg＝maB 解得aB＝aA－g (3) 小球B由静止运动到最高点上升高度为h，由动能定理得 W－mgh＝0 小球A、B组成的系统机械能守恒得 mgh＋mω2(L＋h)2＝mv 解得ω＝g 4. 如图所示，半球形光滑圆弧槽固定在水平转台上，转台可绕竖直轴OO′转动，圆弧槽半径为R，圆心为O.质量为mA的小球A通过长L＝3R的细线连接小球B，两球静止时，A球恰在槽内壁P点，PO与水平方向间夹角θ1＝60°.现将A球移至圆弧槽的左端点Q由静止释放，转台保持静止．已知重力加速度为g. (1) 求B球的质量mB. (2) 求A球运动到P点时的动能EkA. (3) 若将A球固定在P点，使转台绕OO′轴从静止开始缓慢加速转动，直到细线QB与竖直方向间夹角θ2＝30°，求此过程中转台对两球做的功W. 答案：(1) mA　(2) mAgR (3) mAgR 【解析】(1) 对A球在P点受力分析如图所示，OQP为正三角形，槽对A球的支持力FN与线中张力T大小相等． 则2Tsin θ1＝mAg 又T＝mBg 解得mB＝mA (2) 设A球运动到P点的速度为vA，此时B球的速度为vB， 则vAsin θ1＝vB 对A、B组成的系统，根据机械能守恒定律有 mAgRsin θ1＝mBgR＋mAv＋mBv 解得EkA＝mAv＝mAgR (3) 设A、B球转动的半径分别为rA、rB，转动的角速度为ω， 则rA＝Rcos θ1，rB＝R＋(L－R)sin θ2 对B球，有mBgtan θ2＝mBω2rB 转台对两球做的功 W＝mA(ωrA)2＋mB(ωrB)2＋mBg(L－R)(1－cos θ2) 解得W＝mAgR 学科网（北京）股份有限公司 $