2026届北京市高三数学三轮冲刺重难点专项训练--数列

北京市高三三轮复习重难点专项训练--数列部分 ( 等差数列的性质及应用 考点1 ) 1．（2026·北京顺义·二模）已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】数列为等差数列，所以，得 又有，得.所以等差数列的公差， 则. 2．（2026·北京海淀·二模）已知等差数列中，，，则（   ） A．2025 B．2026 C．2048 D．4052 【答案】D 【分析】由等差数列通项公式列出等式，求得首项和公差，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由得：； 由代入通项公式展开： ， 整理后消去同类项得：， 将代入，解得， 因此通项公式为： 代入得： . 3．（2026·北京朝阳·一模）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【详解】在等差数列中，， 所以. 4．（2026·北京房山·一模）若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质建立关于的等式，再化简整理即可. 【详解】是公差为的等差数列，所以 则， 所以的公差为. 5．（2026·北京密云·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A．35 B．11 C． D． 【答案】C 【详解】因为，即， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. 6．（2026·北京通州·一模）已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列， 如通项公式为的数列，满足，不是等差数列； 反之，若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件， 所以“，（k为常数）”是“为等差数列”的必要不充分条件. 7．（2026·北京房山·二模）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏，是我国现存规模最大、布局最规整的藏传塔群．塔群依山而建，共行，呈等腰三角形整齐排列，总数恰为座，自上而下数量依次构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等差数列求和公式，得到与的关系，再求的值. 【详解】因为数列从第5项开始是等差数列， 所以， ， . 8．（2025·北京海淀·三模）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月－4月 1965年5月－8月 1965年9月－12月 1966年1月－4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为（    ） A．61岁4个月 B．61岁5个月 C．61岁6个月 D．61岁7个月 【答案】B 【分析】解法一：出生年月在1965年1月－4月的人的法定退休年龄记为，出生年月在1965年5月－8月的人的法定退休年龄记为，出生年月在1965年9月－12月的人的法定退休年龄记为，，分析可知数列构成等差数列，求出该数列的首项和公差，即可求出，即可得解； 解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月，可得结果. 【详解】解法一：根据题意，出生年月在1965年1月－4月的人的法定退休年龄记为， 出生年月在1965年5月－8月的人的法定退休年龄记为， 出生年月在1965年9月－12月的人的法定退休年龄记为，， 则构成等差数列，首项岁1个月，公差为1个月，可得岁个月． 依此规律，1970年5月出生的男职工，他的退休年龄应该是的第17项， 即他的退休年龄为岁17个月岁5个月． 解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月． 出生年龄 退休年龄 1965.5 60岁2个月 1966.5 60岁5个月 1967.5 60岁8个月 1968.5 60岁11个月 1969.5 61岁2个月 1970.5 61岁5个月 故选：B. 9．（2026·北京昌平·一模）已知为等差数列，为其前项和．若，则______． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 由， 由， 由， 所以. 10．（2025·北京房山·一模）已知是等差数列，且，则的通项公式__________. 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的基本量运算求出，代入通项即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由， 因代入解得， 故. 故答案为：. 11．（2025·北京朝阳·二模）已知等差数列满足，则__________；设为的前项和，则使的的最小值为__________． 【答案】 0 7 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得到，从而得到，即可求出的值，再利用等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，由， 得到，解得，所以， 则， 又，得到或（舍）， 又，所以使的的最小值为， 故答案为：，. 12．（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 【答案】11 【分析】记公差为，根据已知求出再利用等差数列的通项公式求解. 【详解】由题得每天的织布数成等差数列，首项，记公差为， 由题得，所以 所以. 故答案为：11 13．（2026·北京西城·一模）《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________， _________． 【答案】 6.6 3.5 【分析】根据等差数列的定义，结合已知条件求解即可. 【详解】因为是公差为的等差数列，所以，. 又，所以. 因为对任意，，所以，所以. 因为是公差为的等差数列，所以，. 又，所以，同理， 因为都是公差为的等差数列，所以. 又，所以. 综上，，. ( 等比数列的性质及应用 考点 2 ) 14．（2026·北京西城·一模）在等比数列中，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．256 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为, 由得, ，两式作比，得，得， 则． 15．（2026·北京门头沟·一模）已知等比数列的前n项和为，且，，则（   ） A．31 B．15 C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， 由等比数列性质可得，即，解得； 又，可得； 所以. 16．（2026·北京·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．8 D．24 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为， 因为，， 所以，解得. 17．（2026·北京顺义·一模）已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（   ） A．28 B．42 C．56 D．112 【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列的性质列式求首项和公差，再代入求和公式. 【详解】设等差数列的公差为，，即， 由，，成等比数列，得，即， 得，所以. 18．（2026·北京顺义·二模）已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 19．（2026·北京西城·二模）已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（   ） A．可能为常数列 B．可能为等差数列 C．不可能为等比数列 D．可能为递减数列 【答案】D 【分析】对于A，不妨设，可知即可判断；对于B，易知公差不符合题意，再推导也不符合题意即可；对于C，若为等比数列，设，公比为，易知当时可解得即可判断C；对于D，易知为等比数列，，时符合题意． 【详解】对于A，若为常数列，不妨设， 显然，故A不符合题意； 对于B，若为等差数列，设公差为，易知时不符合题意， 当时，数列单调递增，则， ，故当时，不存在正整数s，t使得，故B错误； 对于C，若为等比数列，设，公比为， 若，则， 解得或（舍去）， 即可能为等比数列，当，时， 对任意的正整数i，总有，即即可，故C错误； 对于D，由C易知，为等比数列，，时，单调递减， 对任意的正整数i，总有， 即时，即满足，则可能为递减数列，故D正确． 20．（2026·北京石景山·一模）数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊数列，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数， 不妨取，当时，， 即“”“”； 不妨取，由可得，则， 即“”“”. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 21．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】先求出数列和的通项公式，然后利用分组求和求出，再对n进行赋值即可求解. 【详解】因为数列是以1为首项，2为公差的等差数列所以， 因为是以1为首项，2为公比的等比数列所以， 由得： ， 当时，即，即， 当时，， 当时，， 所以n的最大值是. 22．（2026·北京丰台·一模）已知是公比为的无穷等比数列，则“”是“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的判断及等比数列、等差数列的性质判断即可. 【详解】充分性： 若，对于无穷等比数列，其通项公式为. 当时，当为奇数时，；当时，当为偶数时，. 对于无穷等差数列，其通项公式为（为首项，为公差）. 所以对于任意，即给定，总可以找到一个足够大的正整数，使得. 因此“”能推出“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”，充分性成立. 必要性： 若任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使， 当时，若，等比数列单调递增，同样满足条件. 所以“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”不能推出“”，必要性不成立. 23．（2025·北京延庆·三模）已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，结合充分条件，必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由等比数列单调递减，各项均为正数，设等比数列的公比为，则， 若，根据等比数列的性质，可得，解得， 又由且，因为且，所以， 此时与无法比较，所以不能推出有唯一的最大值，所以充分性不成立； 反之：若有唯一的最大值，可得， 因为，所以， 根据等比数列的性质，知，所以成立，即必要性成立， 综上可得，是有唯一的最大值的必要不充分条件. 故选：B. 24．（25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】设出公比为，利用等比数列基本量的运算得：的充要条件为或，分类讨论得既无最大值也无最小值时，，则有，最后根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】设公比为，由得， 因为，所以，所以，所以或， 即的充要条件为或， 当，时，，此时， 故，所以为单调递增数列，此时有最小值无最大值， 当，时，，此时， 故，所以为单调递减数列，此时有最大值无最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于正无穷或负无穷， 故无最大值，也无最小值，此时无最大值，无最小值， 所以由“”推不出“既无最大值也无最小值”； 反之，当时，为常数列，此时无最大值或无最小值； 当时，有最大值，也有最小值，此时有最大值和最小值； 当时，由上面分析若，则有最小值无最大值， 若，则有最大值无最小值； 当时，若，则有最小值无最大值， 若，则有最大值无最小值； 当时，若，则， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 若，则， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值； 当时，结合前述分析可知无最大值，无最小值， 由此可知“既无最大值也无最小值”当且仅当，此时成立. 综上，“”是“既无最大值也无最小值”的必要不充分条件. 故选：B 25．（2026·北京海淀·一模）设等比数列的前n项和为，若，则公比______. 【答案】2 【分析】根据前n项和定义可得，结合等比数列的定义运算求解即可. 【详解】因为，所以， 显然，则，即，解得. 26．（2026·北京丰台·二模）已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则___________. 【答案】3 【分析】根据等差中项结合前项和定义可得，即可得公比和. 【详解】因为，，成等差数列，则， 即，则，即， 可得等比数列的公比为， 且，所以. 27．（2026·北京石景山·二模）等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 【答案】 64 【分析】由等比数列基本量求通项，利用数列单调性进行最大值计算求解 【详解】设等比数列公比为q，则，即，即； 因为，所以数列为递减数列且各项均为正，，， 当时，；当时，且递减，所以当时取最大值为 28．（2026·北京东城·二模）已知为等比数列，，.若，则______；若，则的前4项和为_____. 【答案】 8 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，结合前两项的大小关系确定通项公式，然后可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，则，因为，，所以，解得或. 若，则，此时，所以. 若，则，此时前4项分别为：，，，； 其和为. 29．（2026·北京丰台·一模）西汉海昏侯墓出土的两千多年前的“权”（砝码），是与“衡”（天平）配合使用的称量工具．已知五枚权的质量（单位：克）从小到大构成项数为5的等比数列，其中，，则___________；在称量物体时所用的权的质量之和叫称量值，则从这五枚权中取一枚或多枚，可组合出的不同称量值共有___________种． 【答案】 4 31 【分析】根据等比数列的通项公式，代入计算，即可得答案；根据组合数的计算性质，结合条件，即可得答案. 【详解】设公比为q，则，则，所以； 从这五枚权中取一枚或多枚， 由题意得，则数列单调递增，即， 下证明当时，， 由题意得，， 则， 所以成立， 结合等比数列的性质可得，任意不同组合的权的质量之和均不相等， 所以不同的称量值种数等于从5个权中取一个或者多个的组合数， 因此，可组合出的不同称量值共有种. 30．（2026·北京平谷·一模）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则______，数列所有项的和为______． 【答案】 144 1073 【分析】先利用和前项求出前项等比数列的公比，再利用和求出后项等差数列的公差，进而分别计算出及数列各项的和. 【详解】设前项构成的等比数列公比为，则，即，解得； 设后项构成的等差数列公差为，则分别是第一项和第六项，所以， 即，解得； 因为是等差数列的第四项，所以； 因为是等差数列与等比数列的公共项，现将其只看作等差数列的首项， 则数列所有项的和可看作前项等比数列与后项等差数列的和， 所以 31．（2026·北京朝阳·二模）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制（自乘）：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿万万兆1亿亿京兆兆，以此类推．若按“上数”进制，记第个大数（第1个为亿，第2个为兆，第3个为京，……，第10个为载）对应的数值为，则___________；若，则正整数的最小值为___________． 【答案】 【分析】先由题意推出递推规律得 ，代入 算出 ，由对数性质得 ，再把 到 依次写成 10 的指数形式，同底数幂相乘指数相加，利用等比数列求和公式算出指数和为 ，结合不等式 化简得 ，比对 2 的整数次幂得到正整数 最小值为 7. 【详解】根据题意， 第个大数对应的数值为. ①求： ， . ②求最小正整数使得： . 由， 得， 即， . 因为， ， 所以正整数的最小值为. ( 数列性质的综合应用 考点 3 ) 32．（2026·北京石景山·一模）已知为数列的前项和，记，且满足.给出下列四个结论： ①的第2项小于0； ②为等比数列； ③为递减数列； ④当时，存在. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①④ 【分析】由条件先证明，，结合等差数列定义求，结合求，再由与关系求，根据数列的通项公式直接判断①④，结合等比数列定义和递减数列定义判断②③. 【详解】由，可得， 当时，， 所以，故， 当时，， 代入可得 所以是首项为，公差为的等差数列，得， 由，可得， 对，也满足上式， 当时，， 当时，， 对于①，，①正确， 对于②，，，不是等比数列，②错误， 对于③，对，， 所以当时，数列单调递增，③错误； 对于④：当时，，满足， 所以存在整数，满足关系，④正确. 33．（2026·北京朝阳·一模）设无穷数列的前项和为，且对于任意，（且），给出下列四个结论： ①存在，使得是常数列； ②任意，不是递增数列； ③存在，使得是周期数列（即存在，对任意，）； ④任意，既有最大值，又有最小值. 其中正确结论的序号是______. 【答案】②③ 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出通项公式，再逐一判断各个结论即可. 【详解】在无穷数列中，，，当时，， 两式相减得，而，即， 当时，数列是首项为，公比为的等比数列，， 当时，，当时，， 对于①，当时，不是常数列；当时，若是常数列，则， 即，解得，此方程无解，因此不是常数列，①错误； 对于②，当时，，不是递增数列， 当时，， 若，则恒成立；若，则随的增大，正负相间变化， 即不可能恒大于0，因此数列不是递增数列，②正确； 对于③，当时，，数列是周期为的周期数列，③正确； 对于④，取，则，正项趋向，负项趋向， 数列没有最大值和最小值，④错误. 34．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记． ①已知，，且，则； ②已知，，则存在实数a，使得； ③已知，若，则对任意，都有； ④已知是等比数列的前n项和，，则存在等比数列，使得． 其中所有不正确的命题是______． 【答案】①②③ 【分析】直接计算即可判断①；分类讨论判断②；举反例判断③；举例证明④. 【详解】①：因，则；，则，解得：或，①错误 ②：当区间关于对称，即时，，此时，. 当时，会增大，因此的最小值为1，不存在使得，命题②错误 ③，由题意知，，但是满足的点集，它可以是的子集，不一定是整个区间。 例如时，，对于满足题设，此时时不满足 ，③错误 ④，取等比数列，，则， ，，即，④正确 ( 数列新定义 考点 4 ) 35．（2026·北京海淀·二模）给定正整数，如果一个无穷数列满足：对于任意正整数，这项中恰有个不同的数，则称为预言数列． (1)分别写出下列数列是否为3-预言数列； ①；② (2)是否存在首项为3的3-预言数列？若存在，求出所有符合条件的数列；若不存在，说明理由； (3)求预言数列的个数． 【答案】(1)是3-预言数列；不是预言数列； (2)不存在首项为3的预言数列，理由见解析； (3)当时，，此时预言数列的个数为1；当时，预言数列的个数为. 【分析】（1）根据题意，结合预言数列的定义依次判断即可； （2）根据题意得且，再假设存在，则，再依次讨论，，时均不满足即可说明不存在； （3）先讨论时的情况，再讨论，结合反证法证明预言数列的个数为. 【详解】（1）解：对于①， 当时，对于任意正整数，的值均为，不同的数的个数为， 所以是预言数列； 对于② 由于，，，，，，……， 当，时，对应的项为，，， 其中不同的数有和两个，不等于， 所以不是预言数列. （2）解：不存在，证明如下： 根据题意，任意正整数，这项中恰有个不同的数， 任意正整数，，这项中恰有个不同的数 所以且 假设存在首项的预言数列，则中有不同的数， 即必须互不相同，即， 当时，不满足，矛盾； 当，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数， 即，与矛盾； 当时，根据题意，对于正整数，，这项中恰有个不同的数， 即，且， 又因为，所以，，， 此时与对于正整数，，这项中恰有个不同的数矛盾. 综上，不存在首项为的预言数列. （3）解：当时，，此时预言数列的个数为1； 当时，预言数列的个数为，证明如下： ①同（2），可得且， 所以，若数列中某一项为1，则后续项只可能均为1或者均为2. ②设中的最大项为，证明. 假设，则存在， 由题可知，中恰有，这个不同的数， 所以，其中存在（若有多个，则取最后一个），存在，（若有多个，则取最前一个）， 若，则，，矛盾； 若，则中恰有个不同的数， 又因为中没有，且，其后续项也没有，矛盾. 由上可知，. ③由②，若，则，符合； 若，设，则其后续项可取到和，且其中第一个1的后续项只能为2， 否则其前一项（取2）对应的后续项只能取1，矛盾； 所以，若，则其后续项只能有1个1，个2， 共有种不同的取法，考虑到数列首项还可能是1， 所以，当数列中最大项为2时，共有个预言数列， 综上，时，预言数列的个数为. 36．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据序列相邻两项对应点的距离为1，逐步确定，，，. （2）把序列中的项看成方格中的点，连接相邻点得到水平或竖直单位线段，再用抽屉原理证明一定存在连续三点共行或共列； （3）把连续同方向的若干条单位线段合并为一个水平线段或竖直线段，通过估计水平线段数和竖直线段数的总数，得到具有性质的项的个数不少于10． 【详解】（1）当时，，所以 . 由题意，相邻两项对应点的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和为1. 第一项为，第二项为，所以 . 即 .解得. 所以第二项为. 第二项为，第三项为，所以 . 即 .解得. 所以第三项为. 中共有4个不同元素，前三项已经是，，，剩下的一个元素为，所以第四项为. 因此 . （2）以序列中的项为坐标的点记作，连接这9个点共形成8条单位线段． 每条单位线段水平或者竖直． 因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直． 不妨设至少有4条水平单位线段． 由于9个点排成3行，而每一行至多含2条水平单位线段，故至少有一行含2条水平单位线段． 这样该行3个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行，因此该点对应的项具有性质． 故中存在具有性质的项． （3）将序列中相邻两项连接，得到120条单位线段.把连续同为水平方向的若干条单位线段合并为一个水平线段，把连续同为竖直方向的若干条单位线段合并为一个竖直线段. 在序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现． 设水平线段数为，竖直线段数为，因为单位线段总数为120， 所以序列中具有性质的项的个数为． 要证． 只需证明． 因为每一行有11个点，每个水平段至少包含两个点，因此第行的水平线段数满足，即． 所以． 同理． 所以， 故序列中具有性质的项的个数不少于10． 37．（2026·北京石景山·二模）设递增数列中的每一项都是正整数，其前n项和为．对于正整数k，若存在正整数j，使得，则称覆盖了，记的“覆盖阶数”为．定义的“覆盖滞后度”为．规定． (1)若，，，，求和的值； (2)若数列是首项为1，公差为2的等差数列，判断是否存在正整数k，使得？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由； (3)设前k项的“覆盖滞后度”，，…，的最大值为M，求证：对任意的，存在，使得． 【答案】(1)0；1 (2)存在唯一的 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义求解. （2）根据定义可得，，解得的范围，根据得到的值，从而得到．根据定义检验：，，符合题意．从而得到存在唯一的符合题意． （3）分别按照和两种情况讨论证明. 【详解】（1）因为，，，， 所以，，，，， 所以，，所以，， 所以，． （2）由已知得，． 设存在正整数k，使得， 则，，， 可得，， 所以，解得． 因为，所以，． 检验：，，， 所以，，，符合题意． 综上所述，存在唯一的符合题意． （3）当时，，，． 当时，设，则， 所以，， 因为，所以， 所以． 任取，设是，，…中首次达到或超过m的项， 即且． 因为，所以，即， 所以． 38．（2026·北京丰台·二模）已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. (2)对于任意具有性质的数列，记.求证：； (3)若数列具有性质，证明：集合是无限集. 【答案】(1)①具有性质；②不具有性质. (2)证明见解析. (3)证明见解析. 【分析】（1）先检查数列是否为严格递增的正整数数列，再代入性质中的等式验证. （2）把与奇数作差，利用性质把换成，再与前个正奇数的和比较. （3）设，将结论转化为证明的项有无穷多个，再用反证法说明若只出现有限次，则最终只能为正或为负，都会与第（2）问得到的恒等关系矛盾． 【详解】（1）①当时，显然为正整数，且. 又因为，所以 . 从而. 前个正奇数的和为，所以. 故数列具有性质. ②当时，该数列虽然是严格递增的正整数数列，但取，有. 而，同时 . 所以. 不满足性质中的条件②，故数列不具有性质. （2）由数列具有性质，得． 因此， 所以，所以． （3）设数列满足． 由题知，得，即， 假设中满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 即当时，或． ①若满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 由第二问可知恒成立.(1) 设，由于当时，，又是整数，有， 所以， 所以对满足的正整数，，与(1)式矛盾． ②若满足的项数有限，同理可得矛盾． ③由①②可知，中有无穷多项满足，且有无穷多项满足， 因此，存在正整数，使得且， 因此，存在正整数，使得，且，即且，于是，与矛盾， 所以数列中有无穷多项为0． 即集合是无限集． 39．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 【答案】(1)；； (2) (3)676 【分析】（1）依据变换的定义，枚举集合元素两两相加的结果，去重后统计元素个数即可. （2）先分析集合的元素特征，证明中元素的唯一性，再对所有元素分组求和推导通项. （3）先根据的元素个数限制推导集合、为公差相等的等差数列，再结合元素的取值范围约束求解的最大值. 【详解】（1）；；. （2）由,得. ， 若，则. ①当时,；同理，当时, .即与同时成立. ②当与都不成立时，必有或两者之一成立.      不妨设 则. 所以且. 所以且. 所以.                所以所求数列的通项公式为 . （3）设集合，，其中，， 则. 所以.① .② 式①与式②中均有个不同的数，这些数都是集合中的元素. 因为，所以中有且仅有个不同元素. 所以式①与式②中的数对应相等，即. 所以. 所以数列是公差为，项数为的等差数列.                  同理，数列是公差为，项数为的等差数列. 所以数列与是两个公差相等（公差），项数为的等差数列. 设，，其中. 则， 则，且. 因为，所以. ①当时，设，， . 所以，，且或. 所以，解得. 当时，，，. 经检验符合题意.                                                   ②当时，因为， 所以，. 所以. 综上，的最大值为 40．（2026·北京丰台·一模）对于有穷正数数列，若满足对任意的，都有（是常数，且），则称数列具有性质．对数列定义“分拆”将中的第项拆分为两项，并得到数列，其中，且；特别地，当时，；当时，．对有穷正数数列，令数列．若数列均具有性质，则称为数列的阶完美分拆数列． (1)若，判断以下数列是否为的1阶完美拆分数列（结论不要求证明）： ①②2，0.5，0.5． (2)当时，若为数列的1阶完美拆分数列，证明：数列中被拆分的一定是最大项； (3)若数列为数列的阶完美拆分数列，证明：的最大值为4． 【答案】(1)①是；②否. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1) 先根据1 阶完美拆分数列的定义，验证原数列与拆分后数列是否满足，再逐一判断即可； (2) 先假设拆分非最大项，结合1阶完美拆分数列的性质推出矛盾，再用反证法证明拆分项必须为最大项； (3) 先通过递推构造至阶完美拆分数列，验证其满足完美拆分数列的定义，再假设存在阶完美拆分，推出与定义的矛盾，从而确定的最大值 【详解】（1）①是；②否. ① 数列1，1，1， 由拆分而来：将2拆为，满足， 对验证性质：任意两项，有，则 ，成立； 对验证性质：任意两项，有，则 ， 综上，①是； ② 数列 若由拆分，需将某一项拆为两项： 拆1：，得，但，不满足​； 拆2：，得，无法得到，故②不是 （2）不妨设． 假设取分拆，设， 则与矛盾． 所以拆分的项一定是数列中的最大项. （3）当时，的1阶完美拆分数列为1.44，1.2，1； 的2阶完美拆分数列为1.2，1，0.72，0.72； 的3阶完美拆分数列为1，0.72，0.72，0.6，0.6； 的4阶完美拆分数列为0.72，0.72，0.6，0.6，0.5，0.5． 所以数列存在4阶完美分拆数列． 下面证明对于任意数列，不存在5阶完美分拆数列． 假设数列的2阶完美拆分数列为， 不妨设． 由（2）知，为得到的3阶完美拆分数列，一定分拆 ，得到数列，其中，及． 若，则由，即及， 可得 若，有，与题设矛盾，不合题意． 此时，数列中的最大项无法再拆分，此时分拆结束． 于是，为得到4阶完美拆分数列，必须有， 此时，． 所以，拆分为，，得到数列， 其中及． 于是． 若是数列中的最大项， 因为，即，又， 于是，与假设矛盾． 所以不是此时数列的最大项． 若是数列中的最大项， 因为， 所以， 又， 所以，与假设矛盾． 所以不是此时数列的最大项． 所以是此时数列的最大项． 此时，应有，否则，， 于是， 与题设矛盾，不合题意，所以． 若，有， 与题设矛盾，不合题意． 此时，数列中的最大项无法再拆分，此时拆分结束． 因此，若数列存在阶完美拆分数列，则． 综上，的最大值为4. 41．（2026·北京昌平·一模）设数列，若存在公比为的等比数列，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”． (1)写出数列的一个“等比分割数列”； (2)若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比的取值范围； (3)若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求的最大值． 【答案】(1).（答案不唯一） (2) (3)5 【分析】（1）由于是公比为2的等比数列，因此“等比分割数列”的公比也取2，易得结论； （2）利用定义得出，然后确定出的最小值即得； （3）用反证法证明时，数列不存在“等比分割数列”，然后对找出“等比分割数列”数列即证． 【详解】（1）由，可以取，得.（答案不唯一）； （2）由得， 所以， 令， 则单调递减，所以的最小值是， 所以公比的取值范围是； （3）首先证明时，数列不存在“等比分割数列”， 假设当时，数列存在“等比分割数列”， 则． 易知， 因为且，则，而，所以， 又因为，所以， 与矛盾， 所以当时，数列不存在“等比分割数列”． 所以， 当时，数列，存在首项为，公比为的数列满足： , 所以时，数列存在“等比分割数列”， 所以的最大值是5. 42．（2026·北京通州·一模）不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如，，．设函数． (1)已知函数，集合，设为集合中元素的个数． （ⅰ）写出，及数列的通项公式； （ⅱ）对任意正整数，等式恒成立，求所有满足条件的正实数的值． (2)求证：对给定的正整数，当时，对于任意的实数，存在，使得，成立． 【答案】(1)（ⅰ）.（ⅱ）满足条件的正实数. (2)证明见解析. 【分析】（1）先由 求出 ,从而得到 ,进而确定集合中元素的个数.第（ⅱ）问先把题设化为 ,再令 ,利用不等式求出参数的值. （2）设前缀和 ,再利用小数部分与抽屉原理选取合适的,构造 ,最后把所求和写成前缀和小数部分的差即可. 【详解】（1）（ⅰ）当时,有,故,所以 ,. 当 时,有 ,故 . 又因为 ,所以 ,从而,特别地,. 因此, . （ⅱ）由（ⅰ）知,当时,有 ,,于是题设等式化为 . 令 ,则 ,即,从而 . 又因为 ,所以 ,故. 另一方面, ,于是 . 由 可得 ,即. 上式对任意恒成立,令,得 且 ,所以 . 解得.因为,所以. 下面验证满足条件.记,则. 对任意,令 .因为为无理数,所以 ,两边同除以,得 ,故 . 于是 .又因为 ,所以 ,即题设等式成立. 综上,满足条件的正实数. （2）设 . 考虑 这个数.把长度为的圆周分成段,则这个点把圆周分成段弧,其中至少有一段弧长不小于. 取实数,使这段弧平移到区间端点处,则 都落在某个长度为的区间内. 对,令 .因为 ,所以 ,从而. 于是对任意,有== = . 由于 都落在同一个长度为的区间内,所以,从而成立. 43．（2026·北京西城·一模）对任意无穷数列，定义从起连续k项的和为：，其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：对任意和，存在，使得，则称数列具有性质T． (1)设，其中．判断数列是否具有性质T？说明理由； (2)已知数列具有性质T， （i）求集合中元素个数的最大值； （ii）证明：存在正整数t，对任意，有． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)（i）4；（ii）证明见解析 【分析】（1）首先分析数列为周期数列，再根据性质的定义即可判断； （2）（i）分别取取和，再利用反证法即可证明； （ii）利用（i）中的结论证明得存在，，满足，其中，再分和时证明即可. 【详解】（1）数列具有性质． 理由如下：数列满足，其中， 即是周期为4的周期数列． 所以对任意和，当时，． 故数列具有性质． （2）（i）取，由性质得：存在，使得． 同理，取，由性质得：存在，使得. 以此类推，得数列中任意连续4项中，必有一项的值等于． 同理，得对于数列中的每一项之后的任意连续4项中，必有一项的值等于． 假设的取值超过4个，不妨设有5个值不同的项， 由上述结论，知在之后的连续4项中，这5个不同值都会出现，这是不可能的． 所以中至多只有4个不同的取值． 又因为周期数列：具有性质， 所以集合中元素个数的最大值为4． （ii）考察由连续4项构成的数组， 由（i）知的取值不超过4个，故这样的数组个数不超过． 所以在这257个数组中至少存在两个相同的， 即存在，，满足，其中． 以下证明：若，则，即证． 由性质，知存在，使得． ①若，即时，去掉上述等式两边的公共项，得 若，上式即为． 若，由，知，所以． ②若，因为，所以． 当时，由，得， 记其值为，由性质知，在其后四项出现，所以； 当时，由，得， 分别记其值为，，由性质，知，所以； 同理，得当时，均有． 综上，可推导出． 从而由，得，即得， 进而得到， 所以存在正整数，对任意，有． 44．（2026·北京朝阳·一模）若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列： ①，，…，是1，2，…，的一个排列； ②，，…，是1，2，…，的一个排列. (1)判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由； (2)若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列； (3)若数列：，，…，（）为数列，求的最小值. 【答案】(1)数列不是数列，是数列． (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据数列的定义判断即可； （2）利用反证法证明即可； （3）通过新定义得，从而设，得到其最小值. 【详解】（1）因为，而3，1，1不是1，2，3的一个排列，所以数列不是数列． 因为5，1，4，2，3是1，2，3，4，5的一个排列， 又，4，3，2，1是1，2，3，4的一个排列， 所以数列是数列． （2）假设数列为数列， 则． 因为与的奇偶性相同， 所以 与的奇偶性相同． 所以与的奇偶性相同． 又是偶数，是奇数，矛盾． 所以数列不是数列． （3）因为数列为数列， 所以， 且 . 所以． 所以 因为， 所以，即． 令， 则， 所以， 即数列为数列． 所以的最小值为． 45．（2026·北京房山·一模）已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． (1)求数列：的任意置换的前项和的最大值； (2)已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； (3)在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 【答案】(1)252； (2)1，3，7，2，4，5，6； (3)证明见解析. 【分析】（1）分析前6项和小于等于即可； （2）写出满足题意的置换，再证明即可； （3）分的所有项均为偶数和的所有项均为奇数讨论即可. 【详解】（1）数列的每个置换的前6项和． 当置换为4，8，16，32，64，128，1，2时，． 所以的最大值为252． （2）数列的一个置换：1，3，7，2，4，5，6， 存在，使得．对任意，数列， 存在一个置换为：， 存在，使得． （3）必要性： 因为数列为常数列，每个置换是常数列，存在． 充分性：＂的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得．＂称具有性质． 由，得．又因为为偶数，为定值，所以数列的所有项的奇偶性相同.称具有性质. 对具有性质的数列施加变换：若的所有项均为偶数， 令；若的所有项均为奇数，令．得到数列． ①若的所有项均为偶数，， 则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂， 又因为，所以．且数列具有性质． ②若的所有项均为奇数，，则＂具有性质＂等价于＂具有性质＂. 又因为，所以，当且仅当时取等号． 且数列具有性质. 总之，对数列施加变换，数列保持性质和性质不变. 对数列施加次变换后，得到常数列． 常数列，经过次相反的变换：或者， 每次得到的数列都是常数列，最终得到数列，且数列为常数列． 46．（2026·北京顺义·一模）已知项数列：满足.数列：，满足，，其中.记，.其中，表示数集中最大的数. (1)已知：，求，的值； (2)若为奇数，且，求证：； (3)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据数列的定义，分别计算和时数列的各项，进而求出和的值. （2）通过以及数列的定义，通过递推关系和绝对值的性质，证明. （3）利用三角不等式和绝对值不等式进行放缩去证明. 【详解】（1）已知：，. 当时，，，. ，. . 当时，，，，. . . （2），记（其中为常数且，，，），则对任意的，有. （且）. ，不妨记的有项，则的有项. ，. 又为奇数，，故仅当时等式成立. 当时，对所有成立，递推可得： ，即. 又，当时，则，结合，得. 当时，，则，进而可得. 综上，，证毕. （3）当时，且. 记，，故存在. 不妨设（循环数列，可平移下标），即，记，. 对任意，，由三角不等式： . 同理可得：. 对任意，. 故. 当为偶数时，. . 当为奇数时，. . 由可得. 即，证毕. 47．（2026·北京延庆·一模）设m为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是可分等差数列． (1)说明数列，，…，是不是、、、可分等差数列； (2)当，时，证明：数列，，…，是可分等差数列； (3)当时，数列，，…，是可分等差数列，证明：满足条件的个数不少于个． 【答案】(1)是、是、不是、是 (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）对每一组待删项，先列出删除后剩余的4项，再根据等差数列定义验证相邻项差值是否相等，一次判断剩余项能否构成等差数列，最终得出各组是否符合要求； （2）针对数对 ，将数列按删去项前后分段.删前取连续4项为组，删后剩余段也按连续4项分组，每组均为等差数列，满足可等分要求； （3）构造三角数阵证明即可. 【详解】（1）设原等差数列公差为，通项为，等差数列性质：下标成等差，则项成等差. （1）判断，，共6项，删去两项后剩余4项需构成1组等差数列：：剩余，是公差为的等差数列，是； ：剩余，是公差为的等差数列，是； ：剩余，依次为，相邻差不相等，无法构成等差数列，不是； ：剩余，是公差为的等差数列，是. 结论：仅不是，其余三个都是. （2）证明是可分等差数列： 按如下方式分组，共分为组，每组4项：前组：对，第组取， 均在删去项之前，每组4个连续项，天然构成等差数列； 中间组：删去后，剩余项从到，共项，每4个连续项分为一组，每组都是等差数列； 后组：删去后，剩余项从到，共项，每4个连续项分为一组，每组都是等差数列. 总项数为，恰好满足要求，因此数列是可分等差数列，得证. （3）①由（2）得，对任意，时， 符合题意， 此类共有个， ②在中任取连续项，使其首项满足， 将这项从左到右从上到下依次放入下列数阵， 则该数阵的每行、每列各自成等差数列， 删去两项后，余下， ，均为4项的等差数列， 时，满足题意， 相等，不等时，不等；相等，不等时，不等， 对，有种取值， 共有个， 即其有个， 综上，，得证. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市高三三轮复习重难点专项训练--数列部分 ( 等差数列的性质及应用 考点1 ) 1．（2026·北京顺义·二模）已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2026·北京海淀·二模）已知等差数列中，，，则（   ） A．2025 B．2026 C．2048 D．4052 3．（2026·北京朝阳·一模）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 4．（2026·北京房山·一模）若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京密云·一模）已知数列的前项和为，则（    ） A．35 B．11 C． D． 6．（2026·北京通州·一模）已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·北京房山·二模）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏，是我国现存规模最大、布局最规整的藏传塔群．塔群依山而建，共行，呈等腰三角形整齐排列，总数恰为座，自上而下数量依次构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京海淀·三模）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月－4月 1965年5月－8月 1965年9月－12月 1966年1月－4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为（    ） A．61岁4个月 B．61岁5个月 C．61岁6个月 D．61岁7个月 9．（2026·北京昌平·一模）已知为等差数列，为其前项和．若，则______． 10．（2025·北京房山·一模）已知是等差数列，且，则的通项公式__________. 11．（2025·北京朝阳·二模）已知等差数列满足，则__________；设为的前项和，则使的的最小值为__________． 12．（2025·北京平谷·一模）《张邱健算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织5尺，一个月（按30天计）共织了440尺，推算第10天该女子织了__________尺布.” 13．（2026·北京西城·一模）《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________， _________． ( 等比数列的性质及应用 考点 2 ) 14．（2026·北京西城·一模）在等比数列中，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．256 15．（2026·北京门头沟·一模）已知等比数列的前n项和为，且，，则（   ） A．31 B．15 C． D． 16．（2026·北京·模拟预测）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．8 D．24 17．（2026·北京顺义·一模）已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（   ） A．28 B．42 C．56 D．112 18．（2026·北京顺义·二模）已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（2026·北京西城·二模）已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（   ） A．可能为常数列 B．可能为等差数列 C．不可能为等比数列 D．可能为递减数列 20．（2026·北京石景山·一模）数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，n的最大值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 22．（2026·北京丰台·一模）已知是公比为的无穷等比数列，则“”是“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2025·北京延庆·三模）已知等比数列单调递减，各项均为正数，前项的乘积记为.则“”是“有唯一的最大值”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 24．（25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（2026·北京海淀·一模）设等比数列的前n项和为，若，则公比______. 26．（2026·北京丰台·二模）已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则___________. 27．（2026·北京石景山·二模）等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 28．（2026·北京东城·二模）已知为等比数列，，.若，则______；若，则的前4项和为_____. 29．（2026·北京丰台·一模）西汉海昏侯墓出土的两千多年前的“权”（砝码），是与“衡”（天平）配合使用的称量工具．已知五枚权的质量（单位：克）从小到大构成项数为5的等比数列，其中，，则___________；在称量物体时所用的权的质量之和叫称量值，则从这五枚权中取一枚或多枚，可组合出的不同称量值共有___________种． 30．（2026·北京平谷·一模）无人机表演团队把飞在空中的无人机设计成在垂直于地面的同一平面内，已知10架无人机飞行的高度（单位：米）从低到高构成项数为10的数列，该数列的前4项成等比数列，后7项成等差数列，且，，，则______，数列所有项的和为______． 31．（2026·北京朝阳·二模）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制（自乘）：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿万万兆1亿亿京兆兆，以此类推．若按“上数”进制，记第个大数（第1个为亿，第2个为兆，第3个为京，……，第10个为载）对应的数值为，则___________；若，则正整数的最小值为___________． ( 数列性质的综合应用 考点 3 ) 32．（2026·北京石景山·一模）已知为数列的前项和，记，且满足.给出下列四个结论： ①的第2项小于0； ②为等比数列； ③为递减数列； ④当时，存在. 其中所有正确结论的序号是__________. 33．（2026·北京朝阳·一模）设无穷数列的前项和为，且对于任意，（且），给出下列四个结论： ①存在，使得是常数列； ②任意，不是递增数列； ③存在，使得是周期数列（即存在，对任意，）； ④任意，既有最大值，又有最小值. 其中正确结论的序号是______. 34．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记． ①已知，，且，则； ②已知，，则存在实数a，使得； ③已知，若，则对任意，都有； ④已知是等比数列的前n项和，，则存在等比数列，使得． 其中所有不正确的命题是______． ( 数列新定义 考点 4 ) 35．（2026·北京海淀·二模）给定正整数，如果一个无穷数列满足：对于任意正整数，这项中恰有个不同的数，则称为预言数列． (1)分别写出下列数列是否为3-预言数列； ①；② (2)是否存在首项为3的3-预言数列？若存在，求出所有符合条件的数列；若不存在，说明理由； (3)求预言数列的个数． 36．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 37．（2026·北京石景山·二模）设递增数列中的每一项都是正整数，其前n项和为．对于正整数k，若存在正整数j，使得，则称覆盖了，记的“覆盖阶数”为．定义的“覆盖滞后度”为．规定． (1)若，，，，求和的值； (2)若数列是首项为1，公差为2的等差数列，判断是否存在正整数k，使得？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由； (3)设前k项的“覆盖滞后度”，，…，的最大值为M，求证：对任意的，存在，使得． 38．（2026·北京丰台·二模）已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质. (1)判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. (2)对于任意具有性质的数列，记.求证：； (3)若数列具有性质，证明：集合是无限集. 39．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，. (1)设集合，直接写出，，的值； (2)设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式； (3)设集合与同时满足下列两个性质： ①，且； ②且，其中. 求的最大值. 40．（2026·北京丰台·一模）对于有穷正数数列，若满足对任意的，都有（是常数，且），则称数列具有性质．对数列定义“分拆”将中的第项拆分为两项，并得到数列，其中，且；特别地，当时，；当时，．对有穷正数数列，令数列．若数列均具有性质，则称为数列的阶完美分拆数列． (1)若，判断以下数列是否为的1阶完美拆分数列（结论不要求证明）： ①②2，0.5，0.5． (2)当时，若为数列的1阶完美拆分数列，证明：数列中被拆分的一定是最大项； (3)若数列为数列的阶完美拆分数列，证明：的最大值为4． 41．（2026·北京昌平·一模）设数列，若存在公比为的等比数列，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”． (1)写出数列的一个“等比分割数列”； (2)若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比的取值范围； (3)若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求的最大值． 42．（2026·北京通州·一模）不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．例如，，．设函数． (1)已知函数，集合，设为集合中元素的个数． （ⅰ）写出，及数列的通项公式； （ⅱ）对任意正整数，等式恒成立，求所有满足条件的正实数的值． (2)求证：对给定的正整数，当时，对于任意的实数，存在，使得，成立． 43．（2026·北京西城·一模）对任意无穷数列，定义从起连续k项的和为：，其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：对任意和，存在，使得，则称数列具有性质T． (1)设，其中．判断数列是否具有性质T？说明理由； (2)已知数列具有性质T， （i）求集合中元素个数的最大值； （ii）证明：存在正整数t，对任意，有． 44．（2026·北京朝阳·一模）若数列：，，…，（）满足如下两个性质，则称为数列： ①，，…，是1，2，…，的一个排列； ②，，…，是1，2，…，的一个排列. (1)判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为数列？说明理由； (2)若数列：，，…，满足，，求证：数列：，，…，不是数列； (3)若数列：，，…，（）为数列，求的最小值. 45．（2026·北京房山·一模）已知数列：，，若集合，则称数列为数列的一个置换． (1)求数列：的任意置换的前项和的最大值； (2)已知数列：．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由； (3)在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”． 46．（2026·北京顺义·一模）已知项数列：满足.数列：，满足，，其中.记，.其中，表示数集中最大的数. (1)已知：，求，的值； (2)若为奇数，且，求证：； (3)求证：. 47．（2026·北京延庆·一模）设m为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，…，是可分等差数列． (1)说明数列，，…，是不是、、、可分等差数列； (2)当，时，证明：数列，，…，是可分等差数列； (3)当时，数列，，…，是可分等差数列，证明：满足条件的个数不少于个． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $