2.2.3 一元二次不等式的解法-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 2.2.3一元二 ★[学习要求] 1.理解一元二次不等式的概念及其解集的学 2.掌握一元二次不等式的解题方式，提高运用 中职新知链接 知识点① 元三次不等式 只含有一个未知数，且未知数的最高 次数为2的整式不等式称为一元二次不 等式.它的一般形式是ax2+bx+c>0或 ax2十bx+c<0(a≠0)，满足一元二次不 等式的未知数的取值集合，通常称为这 个不等式的解集， 解二元二次不等式ax牛b千c0 知识点 或a.x2十bz十c≤0(a>0)的步骤 S1求出方程a.x2+bx+c=0的判别式 △=b2-4ac的值. S2①△>0，则一元二次方程ax2+bx+c =0(a>0)有两个不相等的实根x1,x2 (设x1<x2),则ax2+bx十c=a(x-x1) (（x-x2). 不等式a(x一x1)(x一x2)>0的解集为 (-∞，x1)U(x2,+∞)； 不等式a(x-x1)(x一x2)<0的解集为 (x1,x2). ②△=0，一元二次方程a.x2+bx十c=0 (a>0)有两个相等的实数根，即x1=x2, a.x2+bx+c通过配方得ax2+bx+c=a Aa ）.由此 可知，a.x2+bx+c>0的解集是-∞， a)U(-品+)：ar2+r+c<0 的解集是⑦， ③△<0，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)没有实数根，ax2+bx+c通过配 方得ar2++c=a+)+如分 Aa (恤。>0叭曲此可知，ar+bc十 0的解集是R;ax2+bx+c<0的解集 是0. 对于a<0的情况，通过在已知不等式两 端乘以一1，可化为a>0的情况求解. 74< 数学 次不等式的解法 一元二次不等式知识解决实际问题能力. 核心分类探究 心类型一解一元二次不等式 例1解不等式 (1)x2+2x-3≤0； (2)x-x2+6<0: (3)4x2+4x+1≥0； (4)x2-6.x+9≤0. [解](1).△>0，方程x2+2x-3=0 的解是x1=一3，x2=1. .不等式的解集为{x一3≤x≤1}. (2)整理得， x2-x-6>0. '△>0，方程x2一x一6=0的解为 x1=-2,x2=3 .原不等式的解集为{xx<一2或x>3}. (3)整理，得(2x十1)2≥0. 由于上式对任意实数x都成立， .原不等式的解集为一切实数，即R. (4)整理，得(x-3)2≤0. 由于当x=3时，(x一3)2=0成立；而对 任意的实数x,(x一3)2<0都不成立， ∴.原不等式的解集为x=3. 规律方法解不含参数的一元二次不 等式的步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右 侧为0，二次项系数为正. (2)对不等式左侧因式分解，若不易分 解，则计算对应方程的判别式. (3)求出相应的一元二次方程的根或根 据判别式说明方程有无实根， (4)根据一元二次方程根的情况写出不 等式的解集。 中职新知 [变式训练] 1.解下列不等式： (1)-x2+7x>6; (2)(2-x)(x+3)<0; (3)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 类型二含参数的一元二次不等式的解法☑ 例2解关于x的不等式ax2-(a十1)x十1 <0(a∈R,a>0). [解]因为a>0, 所以原不等式等价于-}-10 ①当a=1时，-1，-}x-<0 无解； ②当a>1时，<1， 解2-}x-10<0,得<x<1: ③当0<a<1时，>1，解x-}(x-1) 0,得1<x<综上，>1时，不等式 的解集为{女日<<1}： a=1时，不等式的解集为⑦； 0a<1时，不等式的解条为{女1<<} 规律方法含有参数的一元二次不等 式的讨论原则 (1)若二次项系数不含参数，且不等式 对应的方程有实数根，只需讨论参数以 确定根的大小，即可写出解集. (2)若二次项系数含有参数，需对二次 项系数分等于0，大于0，小于0三种情 况进行. 探究学习 第二篇 [变式训练] 2.解关于x的不等式(x-a)(x-a)<0. ☑课堂达标 1.“-2<x<4”是x2-x-6<0”的（) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知集合M={x|-4<x<2},N={x| x2-5x-6<0},则MUV=() A.{x|-1<x<2} B.{x-4<x<2} C.{x|-4<x<6》 D.{x|2<x<6} 3.一元二次不等式ax2十bx十c<0的解集 为⑦的充要条件是 A. 1a>0, B. a>0, 1b2-4ac≥0 b2-4ac≤0 C. a0, D. 1a<0, b2-4ac≥0 b2-4ac≤0 4.一元二次不等式x2+8x+16>0的解集 是 (用区间表示). 课后检测雷达 一、选择题 1.不等式(x一2)(2x一3)>0的解集是 A.(-∞，2)U(2,+∞) B.R c层2 D.⑦ 2.不等式-x2-3x+10≥0的解集为 ( A.{x|-5≤x≤2} B.{xx≤-5或x≥2} C.{x-2≤x≤5} D.{x|x≤-2或x≥5} >>>>》75 衔接教材一本通 数学 3.一元二次方程式x2一8.x=48可表示成 二、填空题 (x一a)2=48+b的形式，其中a,b为整 7.不等式0≤x2一2x一3<5的解集为 数，求a十b的值为 ( ) A.20 B.12 C.-12 D.-20 8.当a>-1时，关于x的不等式x2+(a 4.使式子 1 1)x一a>0的解集是 有意义的实数x的取值 x-x 三、解答题 范围是 9.解下列不等式： A.{x|x>0,或x<-1} (1)-3x2+6x≤2； B.{xx≥0，或x≤-1}》 (2)25.x2-10x+1>0; C.{x|-1<x<0} (3)4x2+4x+1<0; D.{x|-1≤x≤0} (4)-x2+6x-10>0. 5.下列不等式的解集为R的是 A.3x2-7x≤10 B-+-20 C.(x+2)(x-3)>0 D.-2x2+x<-3 6.若0<t<1,则关于x的不等式(t-x)(z -)>0的解集是 () 10.解关于x的不等式a.x2-2≥2x-ax(a } ∈R). B{>或 c或> D. 2.2.4含有绝对值的不等式 ★[学习要求] 1.理解含绝对值不等式|x<a或|x|>a的解法. 2.了解|ax+b<c或|ax+b>c的解法， [a,a>0, 中职新知链接 0,a=0 也可以写成|aI 知识点① 实数的绝对值 -a,a<0, 1.绝对值定义：数轴上表示数a的点与原 a,a≥0， \-a,a<0. 点之间的距离称为数a的绝对值，记 3.设a>0,数轴上与原点的距离是a的点 作a. 有两个，它们分别在原点两侧，分别是 2.一个正数的绝对值是它本身；一个负数 一a和a,如图所示. 的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0， a 76☐K<<衔接教材一本通 由②得：x≤1， 所以不等式组的解集为一2<x≤1， 则不等式组的整数解为一1,0,1.整数解的和为一1+ 0+1=0. 答案：0 9.解：原不等式去分母，得2(2x十3)≥5(x一1)十10，去括 号，得4.x十6≥5x一5十10.移项，得4x一5x≥一6一5 +10. 合并同类项，得一x≥一1. 两边同除以一1，得x≤1. 所以原不等式的解集是{xx≤1}. 这个不等式的解集在数轴上表示如图. -2-10 2 3 5.x-1≤3(.x+1)① 10.解： 2x-1_2x+3<-1@ 3 2 解不等式①得：x≤2， 解不等式②得：x>一2.5，所以原不等式组的解集 为：{x一2.5<x≤2}，即(-2.5,2].所以该不等式 组的解集在数轴上表示如图所示： 3-20123 2.2.3 一元二次不等式的解法 核心分类探究 变式训练 1.解：(1)原不等式可化为x2-7x十6<0.解方程x2 7x十6=0，得x1=1,x2=6.所以原不等式的解集为 {x|1<x<6}. (2)原不等式可化为(x十3)(x-2)>0.解方程(x十3) (x一2)=0，得x1=一3，x2=2,所以原不等式的解集 为{xx<-3或x>2}. (3)原不等式可化为9x2-12x十4>0.解方程9.x2 12x十4=0得==号所以愿不等式的解条为 {号} 2.解：当a<0,或a>1时，有a<a2,此时，不等式的解集 为{xaxa2}; 当0<a<1时，有a2<a,此时，不等式的解集为{xa2 <x<a}；当a=0,或a=1时，原不等式无解. 综上，当a<0,或a>1时，原不等式的解集为{xa<x <a2}:当0<a<1时，原不等式的解集为{xa2<x<a}; 当a=0,或a=1时，解集为. 课堂达标 1.A[由x2-x-6<0,解得-2<x<3,因为-2<x< 4p-2<x<3,-2<x<3→-2<x<4,故“-2<x< 4”是“x2-x一6<0”的必要不充分条件.故选A.] 2.C[N={xx2-5.x-6<0}={x|-1<x<6},所以 MUN={x|-4<x<6.] 3.B[由a.x2十bx十c<0的解集为⑦，结合对应二次函 数性质有a>0, 14=62-4acs0.J 4.解析：一元二次不等式x2+8.x十16>0可化简为(x十 4)2>0,因为任何一个实数的平方大于等于0，所以当 x≠一4时，都有(x十4)2>0，所以原不等式的解集是 (x∈Rx≠-4}，即(-∞，-4)U(-4,十o∞). 答案：(-0∞，-4)U(一4，+∞) 124(((<<<<< 数学 课后检测雷达 1.A[由-22-3)>0，得<号或>2，所以不号 式x-22x-3)>≥0的解条为(-0，)U2.+∞).] 2.A[因为-x2-3x+10≥0，所以x2+3x-10=(x+ 5)(x-2)≤0，解得-5≤x≤2.] 3.A[.x2-8x=48表示成(x-a)2=48十b的形式为 (x-4)2=48+16,.a=4,b=16,∴.a+b=20,故 选A.] 4.C[分析可知应使-x2-x>0,即x2十x<0,所以 -1x0.] 5.B[由3x2-7x≤10，解得-1<x<9A错：-2 +x-2<0的解集为R,B对：由(x+2)(x-3)>0, 解得x<-2或x>3,C错；由-2.x2十x<-3,解得x <-1或>多D错.] 6.D[因为0<1<1，所以>1，所以1>1.所以(1- n(-）>0e-(-）0<J 7.解析：由x2-2x-3≥0得x≤-1或x≥3；由x2-2 -3<5得-2<x<4..-2<x≤-1或3≤x<4, ∴.原不等式的解集为{x一2<x≤-1或3≤x<4}. 答案：{x|-2<x≤-1或3≤x<4} 8.解析：原不等式可化为(x十a)(x-1)>0,方程(x十a) (x-1)=0的两根为-a,1,,a>-1,∴.-a<1,故不 等式的解集为{xx<-a或x>l}. 答案：{xx<-a或x>1} 9.解：(1)原不等式等价于3x2-6x十2≥0，△=12>0， 解方程3-6十2=0，得=3,0计5 3 可得原不等式的解集为 {3我≥3+ 3 (2)方程25.x2-10x十1=0有两相等实根，x1=x2= .可知252-10x+1>0的解集为(-0，）U (3)因为△=0，所以方程4x2十4x十1=0有两个相等 的实根1=n=-弓可得42+4十1<0解集为⑦。 (4)原不等式可化为x2-6x十10<0， 因为△=一4<0， 所以原不等式的解集为心. 10.解：原不等式可化为a.x2十（a-2)x-2≥0，即(a.x 2)(x+1)≥0.①当a=0时，原不等式化为x+1≤0， 解释≤-1@当a>0时，原不等式化为(：-是)】 (十1)≥0，解得x≥2或x≤-1.③当a<0时，原 a 不等式化为(：)x+10当名>-1.中a< -2时，解得-1<名：当名=-1，中a=-2时。 a 解得x=一1； 当2<-1，即-2<a<0时，解得2≤≤-1. a 综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{xx≤一1}； 当a>0时，原不等式的解集为{x≥名或 a x≤-1；当-2<a<0时，原不等式的解集为 当a=一2时，原不等式的解集为{xx=一1}： 当a<-2时，原不等式的解集为{女-1≤≤号} 2.2.4含有绝对值的不等式 核心分类探究 变式训练 1.解：(1)由不等式2x≥8，得|x≥4，所以原不等式的 解集为(-∞，一4]U[4,十∞). (2)由不等式2.6>x,即x<2.6,所以原不等式的 解集为(-2.6,2.6). (3)由不等式0<|x|一1，得x>1,所以原不等式的 解集为(-∞，-1)U(1,+∞). 2.解：(1)由题意，一3<x一103，解得7x<13,所以 原不等式的解集为{x7x13}, 2)由题意，2x-5>2或2z-5<-2,解得x>7或0 <号，所以原不等式的解案为 {1><} (3)由题意，一53一2x5,解得一1x4,所以原 不等式的解集为{x一1≤x≤4}. (4)因为1≤|2x-1|<5,所以1≤2x-1<5或-5< 2x一1≤-1，解得-2<x≤0或1≤x<3,所以原不等 式的解集为{x一2<x≤0或1≤x<3}. 课堂达标 1.C[因为-2a=-2a,所以-2a≥0， 所以a≤0.] 2.B[由x≤1，得-1≤x≤1，所以B={x-1≤x≤ 1},因为A={x0<x<2},所以A∩B={x0<x≤ 1}.] 3.B[原不等式等价于3x≤9，即|x≤3，解得一3≤ x≤3.故选B.] 4.解析：由x2-2<2,得-2<x2-2<2,.0<x2<4, 则-2<x<2且x≠0. 答案：(-2,0)U(0,2) 课后检测雷达 1.D[当x≤0时，x=一x,不等式成立；当x>0时， x≥-x,不等式成立.x≥一x的解集为R.] 2.B[由x-1<5,得-5<x-1<5,解得-4<x<6. 所以不等式的解集为（一4,6）.] 3.C[集合A={x|x≤2}={x-2≤x≤2)，∴.AUB ={xx≤2}.] 4.A[由平方根及分式可知x+|x|>0,即x>一x, 故x>0,故选A.] 5.D[由|x|<3,得-3<x<3,所以A= {x-3<x3,x∈Z}={-2,-1,0,1,2,又B={1, 3},A∩B=(1}.] 6.D[由题得-b<x-a<b,所以a-b<x<a十b,因为 |x-a<b的解集是{x-3<x<9},所以a-b=-3 且a+b=9,所以a=3,b=6. 参考答案 7,解析：由题知7-3x>0,即7-3x≠0，x≠3，所以 不等式的解集是（∞，子）U(子+∞） 答案：(-∞，子)U(仔+∞） 8.解析：由于任何数的绝对值都大于等于0，可知 x-1|≥0，则|x-1川>-3恒成立， 故不等式x一1>一3的解集是R. 答案：R 9.解：(1)原不等式等价于-1≤2x-3≤1,2≤2x≤4，即 1≤x≤2，故原不等式的解集为{x1≤x≤2，如图(1). 0 (1) (2)原不等式等价于2x-3<-1①，或2x-3>1②. ①的解集是（一o∞，1），②的解集是(2，十∞). 所以原不等式的解集是（一∞，1）U(2,十∞)（如图 (2)). 0 (2) 10.解：因为a>0,所以不等式x十1≥a的解集为x≥a -1或x≤-a-1,又因为原不等式|x十1≥a的解 集为(-∞，-6]U[4,+∞)，所以-a-1=-6,a-1 =4,解得a=5. 2.3不等式的应用 核心分类探究 变式训练 1.[解析]设应开发A类电子器件x件，则开发B类电 子器件(50-x)件，根据题意，得号+50气”≤20，解得 3 x20】 由题意，总产值y=7.5.x十6×(50-x)=300+1.5.x≤ 330,当且仅当x=20时，y取最大值330.所以欲使总 产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为 330万元. [答案]20330 2.解：设每间房租增加x元，则每间房租为(30十x)元， 这时将有(300-5x)间客房租出，由客户租金收入不 少于10000元可得(30十x)(300-5.x)≥10000，整理 得x2-30.x十200≤0，不等式可化为(.x-10)(x-20) ≤0，解得10≤x≤20.由于40≤30十x≤50，故每间客 房租金取大于等于40且小于等于50的整数时，每天 租金的收入不少于10000元. 课堂达标 1.B[x月后他至少有400元，可表示成30x十60≥ 400.] 2.B[由日销售金额为(t+10)(-t+35)≥500，解得 10t15.] 3.B[设售价为x,利润为y,则y=(x-6)[100-10(x -10)](10<x<20),由题意y=(x-6)[100-10(x -10)]>450,即x2-26.x+165<0,解得11<x<15, 即售价应定为11元到15元之间.故选B.] 4.解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的 温度，即4.5t<28000. 答案：4.5t28000 >>>>>>>125