2.1 不等式的基本性质-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 第二章 2.1不等 ★[学习要求] 1.了解比较两个实数大小的方法. 2.理解不等式的基本性质. 3.了解不等式基本性质的应用 中职新知链接 知识点 实数的天小 1.不等式的概念： 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤” 连接两个数或代数式，以表示它们之间 的不等关系，含有这些不等号的式子，称 为不等式 2.用数轴表示两个实数的大小 数轴上的任意两点中，右边的点对应的 实数比左边的点对应的实数大 设a,b为任意两个实数，在数轴上用点A 表示a,用点B表示b,则点A,B在数轴 上的位置有且只有以下三种，如下图 所示： (1)点A在点B的右侧： (2)点A与点B重合； (3)点A在点B的左侧. BA A(B) b ax (a) (b) a(b) A B a (c) 3.实数a,b的大小关系 实数a,b的关系为： (1)a>b; (2)a=b; (3)a<b. 上面的三个式子的另一表达方法是：a -b>0;a-b=0;a-b<0. 由此可以发现，要比较实数a,b的大小， 只要考察a一b与0的相对大小即可. 知识点②不等式的基本性质 从实数大小的性质出发，可以得到不 等式有以下重要性质. 1.性质1（传递性）：如果a>b,b>c, 则a>c. 66〈(《《<(<< 数学 不等式 的基本性质 2.性质2（加法法则）：如果a>b,则a+c>b 十c. 不等式的两边同时加上（或同时减去）同 一个实数，不等号的方向不变， 3.性质3（乘法法则）：如果a>b,c>0,则ac >bc;如果a>b,c<0,则ac<bc. 如果不等式两边都乘同一个正数，则不 等号的方向不变；如果都乘同一个负数， 则不等号的方向改变， 4.推论1：如果a+b>c,则a>c-b. 不等式中任何一项，变号后可以从一边 移到另一边 5.推论2：如果a>b,且c>d,则a十c>b+ d.两个或几个同向不等式，两边分别相 加，所得的不等式与原不等式同方向， 6.推论3：如果a>b>0,且c>d>0, 则ac>bd. 两个或几个两边都是正数的同向不等 式，把它们的两边分别相乘，所得的不等 式与原不等式同向. 核心分类探究 八类型一 比较大小 g 面()比较号与的大小： (2)当a>b>0时，比较ab与ab2的 大小； (3)比较x2与2x一2的大小. [解]1)作差名-5-1615->0， 382424 (2)作差ab-ab2=ab(a-b),因为a>b >0,所以ab>0,a-b>0,故a2b-ab2= ab(a-b)>0,因此a2b>ab2. 中职新知 (3)作差x2-(2x-2)=x2-2x+2=(x -1)2十1，因为(x-1)2≥0，所以x2- (2x-2)=(x-1)2+1>0,所以x2>2x -2. 规律方法作差法的四个步骤 作差一变形一判断符号一作出结论.关 键是变形.一般通过因式分解、通分、配 方、分母有理化等变形手段，将差变形 为几个因式积的形式或配成完全平 方式 [变式训练] 1.(1)比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4) 的大小； (2)已知a>b>0,c<0,求后>分 八类型二 不等式性质的应用 例2对于实数a,b,c,下列命题中不是真命 题的为 ) A.若a>b,则ac>bc B.若c>a>b>0,则a>b c-a-c-b C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>h,启古则a>0>6 [解析]A[对于A,令c=0,则有ac= bc,故A是假命题； 对于B,(方法一性质法)由c>a>b>0 可得c-a>0,c-b>0, 由a>b可得c-a<c-b, 又a>6>0,所以：品。>26B是疼 命 探究学习 第二篇\ (方法二作差法)由c>a>b>0,得c a>0,c-b>0,a-b>0, 所以a-b,=a(c-b)-b(c-a) c-a c-b (c-a)(c-b) >0所以，。之产6故B c(a-b) 是真命题；对于C,由ac2>bc2,知c2>0, 所以ac2>bc2→a>b,故C是真命题；对 于D,由a>b可得a-b>0, 由启方可得b2>0,所以山<0所以 a>0>b,故D是真命题.] 规律方法运用不等式的性质判断命 题真假的技巧 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱 化条件，尤其是不能随意捏造性质」 (2)解有关不等式选择题时，也可采用 特殊值法进行排除，注意取值一定 要遵循如下原则：一是满足题设条件； 二是取值要简单，便于验证计算. [变式训练] 2.已知实数a,b,c满足c<b<a,ac<0,那 么下列选项中一定成立的是 A.ac(a-c)>0 B.cb2<ca2 C.ab>ac D.c(b-a)<0 利用不等式的性质证明简单 类型三 的不等式 例3证明不等式： (1)若a<b<0,c<d<0,则ac>bd; (2)若a>b>0,c>d>0,则ac>bd. [证明]（1).a<b<0,两边同乘以c<0, 则ac>bc,又c<d<0,两边同乘以b<0, 则bc>bd,即ac>bd. (2).a>b>0,两边同乘以a>0,得a2> ab>0;两边同乘以b>0,得ab>b2>0, 所以a2>ab>b2>0, 又c>0,则ac>b2c>0,又c>d>0,则 b2c>b2d,即a2c>b2d. >>>》>>67 衔接教材一本通 规律方法 利用不等式性质证明不等式应注意事项 (1)利用不等式性质及其推论可以证 明一些不等式.解决此类问题一定 要在理解的基础上，记准、记熟不 等式的性质并注意在解题中灵活 准确地加以应用. (2)应用不等式性质进行推导时，应注 意紧扣不等式性质成立的条件，且 不可省略条件或跳步推导，更不能 随意构造性质与法则， [变式训练] 3.利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若a<b,c<0,则(a一b)c>0; (2)若a<0,-1<b<0,则a<ab2<ab. ☑课堂达标 1.设M=2a2-4a+7,N=a2-5a+6,则有 () A.M<N B.M≤N C.M>N D.M≥N 2.下列结论正确的是 A.若a>b,则ac>bc B.若a>b,则上< "ab C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b,则a2>b 3.已知a>b>0,c<0,则下列不等式正确 的是 () A.ac-bc>0 B.3ac>0 2 C.ac<bc D.gacab 4若x∈R,则十与号的大小关系为 68((《《<< 数学 课后检测雷达 一、选择题 1.已知a,b∈R,设M=a2-ab,N=ab-b, 则M与N的值的大小关系是() A.M<N B.M≤N C.M>N D.M≥N 2.已知m<n<0,则下列不等式正确的是 A.mn<0 B.m-n<0 C.2m>2n D.m2<n2 3.已知a十b<0,且a>0,则 ) A.a2<-ab<62 B.82<-ab<a2 C.a2<62<-ab D.-ab<b2<a2 4.已知-1<a<0,则一a,-a3,a2的大小 关系是 A.a2>-a3>-aB.-a>a2>-a C.-a3>-a>a2D.a2>-a>-a 5.如果a>b,c>d,那么 ) A.a+d>b+c B.ac>bd C.a-c>b-d D.a+c>b+d 6.下列不等式中不成立的是 ( A.若a>b>0,则ac2>bc B.若a>b>0,则a2>b C.若a<b<0,则a2>ab>b2 D.若a<K0,则号 二、填空题 7.一次知识竞赛共有25道题，规定答对一 道题得4分，答错或不答一道题扣1分， 在这次知识竞赛中，小强被评为优秀(85 分或85分以上)，小强至少答对 道题. 8.已知实数b>a>0,m<0,则mb b-m ma, a-m- (用“>”“<”填空). -a 中职新知探究学习 第二篇\ 三、解答题 10.比较下列各组中两式的大小： 9.如果a>b>0,c<d<0,f<0,证明： (1)(x+5)(x+7),(x+6)2; a-c (2)(x+4)2,(x+2)(x+6); (3)(x+1)2,2x+1. b-d 2.2不等式的解法 2.2.1区间的概念 ★[学习要求] 1.掌握区间的概念及其表示方法. 2.会用区间表示相关的集合 数x的集合，可记作[a,十o∞)，如图2(a) 中职新知链接 所示； 知识点① 区间的概念 满足x>a的实数x的集合，可记作(a, 1.设a,b是实数，且a<b. +∞)，如图2(b)所示； (1)满足a≤x≤b的实数x的集合称为闭 满足x≤b的实数x的集合，可记作（一 区间，记作[a,b],如图1(a)所示； ∞，b],如图2(c)所示；满足x<b的实数 (2)满足a<x<b的实数x的集合称为开 x的集合，可记作（一∞，b),如图2(d) 区间，记作(a,b),如图1(b)所示； (3)满足a≤x<b或a<x≤b的实数x的 所示. 集合都称为半开半闭区间，分别记作 [a,b)或(a,b],如图1(c)(d)所示. (a) 6) (c) (d) (a) (b) 图2 核心分类探究 d 类型一用区间表示不等式-风 图1 例1用区间表示下列集合 a和b称为区间的端点.在数轴上表示一 (1){x|1≤x≤2}； 个区间时，若区间包括端点，则端点用实 心点表示，若区间不包括端点，则端点用 (2){x|3<x<3.5}; 空心点表示 (3){xx≥5}. 2.如果用“十∞”表示“正无穷大”，用“一 [解](1){x|1≤x≤2}=[1,2](2){x|3 ∞”表示“负无穷大”，则：实数集R可表 x<3.5}=(3,3.5).(3){x|x≥5}= 示为区间（一o,十c∞）；满足x≥a的实 [5,+∞). >>>>>69衔接教材一本通 8.解析：(1)设A={xx2-1=0}={-1,1),B={x|x -1=0}={-1,1},所以A=B,即“x2-1=0”是“|x 一1=0”的充要条件. (2)设A={xx<5},B={xx<3〉.因为B年A,所以 “x<5”是“x<3”的必要不充分条件. 答案：(1)充要条件(2)必要不充分条件 9.解：(1)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形 是两边相等的三角形，所以A→B,故A二B. (2)集合B={xx<6},用数轴表示集合A,B如图所 示，由图可知A二B. B A -2-10123456 (3)因为A={x∈Z-1x<3}={-1,0,1,2},B= {xx=|yy∈A}, 所以B={0,1,2》,所以B→A,故B二A. 10.解：(1)由题意得，p→q,q邻，所以p是q的充分不必 要条件： (2)若a,b至少有一个不为零，则a2,b2至少有一个 大于零，所以a2+b2>0,反之由a2+b2>0也可推出 Q,b至少有一个不为零，所以p台q,所以力是q的充 要条件， (3)p:a+1>b,q:a>b,因为a+1>a,所以q→p,p q,所以力是q的必要不充分条件， (4)若-5.x2ym与x”y是同类项，则m=1,n=2,所以 m十n=3,当m十n=3时，-5.x2y"与x"y不一定是 同类项，所以→q,q中力，所以p是q的充分不必要 条件， 第二章不等式 2.1不等式的基本性质 核心分类探究 变式训练 1.解：(1)因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=x2+5.x +6-(x2+5.x+4)=2>0,所以(x+2)(x+3)>(x+ 1)(x+4). (2)证明：因为4>b>0,所以ab>0,】>0,于是4· ab b 2.C[因为实数a,b,c满足c<b<a,ac<0,所以a>0, c0,对于A,因为a>c,所以a一c>0,因为ac<0,所 以ac(a-c)<0,所以A错误；对于B,若a>b>0,则 a2>b2,因为c<0,所以ca2<cb2,所以B错误；对于 C,因为b>c,a>0,所以ab>ac,所以C正确；对于D, 因为b<a,所以b-a<0,因为c<0,所以c(b-a)>0, 所以D错误.」 3.证明：(1)a<b,∴.a-b<0, 又c0,.(a-b)c>0. (2)-1<b<0,∴.0<b2<1,.1>b2>0>b>-1, 又a<0,∴a<ab2<ab. 课堂达标 1.C[M-N=2a2-4a+7-(a2-5a+6)=a2+a+1 -(e+)了+≥0改MN线C 2.C[对于A,当a>b时，若取c≤0，则有ac≤bc.故A 不正确：对于B,当a>6时，取a=1,6=-1时，有日 >石故B不正确：对于C,当a2>bc,两边同来以 122K<<< 数学 则Q6故C正确：对于D,当0>b,取a 一1时，有a2=b2.故D不正确.] 3.C[由a>b>0,c<0,得ac<bc,ac<0,C正确，A、B 错误；因为ab>0,ac<0,所以D错误.故选C.] 4.解析：x 12x-1-x2--（x=1)2≤0. 1+r2-2=21+x2)=2(1+x2) 1 蓄案号 课后检测雷达 1.D[因为M-N=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0，所以M ≥N.] 2.B[因为m<n<0,所以mn>0,m-n<0,A错误，B 正确；因m<,左右两边同时乘以2，不等号的方向不 变，所以2m<2m,C错误；由m<n<0,得m2>n2,D 错误.故选B.」 3.A[由a十b<0,且a>0可得b<0,且a<-b.因为 a2-(-ab)=a(a+b)<0,所以0<a2<-ab,又0<a <-b,所以0<-ab<(-b)2,所以0<a2<-ab< b2,选A.] 4.B[-1<a<0,∴.1+a>0,0<-a<1, .-a-a2=-a(1+a)>0,a2-(-a3)=a2(1+a)> 0,∴.-a>a2>-a3.故选B.] 5.D[A选项，取特殊值a=3,b=2,c=5,d=4,满足a >b,c>d,但是a十d=b十c,A错误；选项B,取特殊值 a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,满足a>b,c>d,但 是ac<bd,B错误；选项C,同样取a=-1,b=一2，c= -3,d=-4,满足a>b,c>d,但是u-c=b-d,C错 误；根据推论2可知选项D正确.故选D.] 6.A[对于A,若a>b>0,当c=0时，ac2=bc2,故A 满足题意；对于B,若a>b>0,则a2一b2=(a十b)(a -b)>0,即a2>b2,故B不满足题意；对于C,若a<b <0,则a2>ab,ab>b2,即a2>ab>b2,故C不满足题 意：对于D若a<6<0,则日-言-b2>0,即日> 石故D不满足题感.放选A] 7,解析：设小强答对了x道题，则他答错或不答的共有 (25-x)道题，由题意得4x-(25-x)×1≥85，解得x ≥22，所以小强至少答对了22道题. 答案：22 8.解析：：b>a>0,m<0,.b-a>0, ..mb-ma=m(b-a)0,..mb<ma. 气m6a-m）-ba-m）=mh二 a-m a a(a-m) :.6-m<b a-m a 答案：<< 9.证明：因为c<d<0,所以-c>-d>0, 又因为a>b>0,所以a一c>b-d>0. 不等式的两边同乘(a-c)(b-d)' 1>0 得b-aa 又周为f0,所以中之 10.解：(1)(x+5)(.x+7)-(x+6)2=(.x2+12x+35) -(x2+12x+36)=-1<0,.(x+5)(x+7)<(.x+6)2 (2)(.x+4)2-(x+2)(x+6)=(x2+8x+16) (.x2+8.x+12)=4>0,∴.(.x+4)2>(.x+2)(x+6) (3):(.x+1)2-(2x+1)=(.x2+2.x+1)-(2.x十1) =x2≥0，.(x+1)2≥2.x+1. 2.2不等式的解法 2.2.1区间的概念 核心分类探究 变式训练 1.解：{-合长<}【合） (2){xx<1}=(-o∞，1). (3){xx≥3}=[3，十∞). 2.解析：(1)区间[一3,1]用集合的描述法表示为{x一3 ≤x1}: (2)区间[1,2)用集合的描述法表示为{x1≤x<2. 答案：(1){x-3≤x≤1}(2){x1≤x<2) 3,解：集合A、集合B的数轴表示如图所示 B -4-3-2-101234 因此，AUB=R:CRB=[3,+∞)：A∩CRB=[3,十∞). 课堂达标 1.D[由3x<7可知x可以等于3，不能等于7，所以 是半开半闭区间，D选项符合.] 2.B[不等式一6<x≤8写成区间的形式是(-6,8].] 3.C[因为A=(一3,1)，B=(一2,3)，由交集的定义可 知A∩B=(-2,1).] 4.解析：A=(1,3)={x1<x<3}. 答案：{x1<x<3}. 课后检测雷达 1.B[集合{xx<5}的区间表示为(-o∞，5).故选B.] 2.B[2,十∞)用集合的描述法表示为{xx≥2).] 3.D[2x-6≥0，解得x≥3..A=[3,+∞).] 4.B[画出数轴如图 -30135x 则A∩B=(1,3).] 5.C[AUB=[-4,2)U(2,3].] 6.B[U=(-3,3),A=[-1,0].CA= (-3,-1)U(0,3).] 7.解析：AUB=[-4,2]U(2,3]=[-4,3],A∩B= [-4,2]∩(2,3]=0. 答案：[-4,3]⑦ 8.解析：U=(-3,2),A=(-3,1),.CA=[1,2). 答案：[1,2) 9.解：2x-4>0,.x>2,.A={xx>2}; 3.x-5<10,x<5, .B={xx<5. .A∩B={xx>2}∩{xx<5}={x2<x<5》 =(2,5). 10.解：(1)A=(-∞，7)，B=(7,+∞)， .CRA=[7,+o∞)，CRB=(-o∞，7] (2)CRA∩CRB=[7,+o∞)∩(-∞，7]={7}； (3)CRAUCRB=[7,+o∞)U(-o∞，7]=R 参考答案\ 2.2.2一元一次不等式（组）的解法 核心分类探究 变式训练 1.解：2<9，去分得22x-1)0x十8，去 括号，得4x一2≤9.x十8，移项，得4x一9.x≤8十2，合并 同类项，得一5x≤10，系数化为1，得x≥一2，所以不 等式的解集为{x|x≥一2}，即[-2，十∞)，将解集表 示在数轴上，如图 -4-3-2-1012345 2.解：十1<3x-3①， 3(x-4)<2(x-4)②.由①得>2，由②得r< 4,所以2<x<4,该不等式组的解集为{x|2<x<4》 即(2,4).解集在数轴上表示如图所示， 02 4 课堂达标 1.D[原不等式可化为4x≤6x十1，即2x≥-1，解得x ≥-2] 2.D[.-2(x-1)≥4，x1≤-2，移项得x≤-1.] 3.B 「3x-2<2x+20,解①得x<4,由@得x≥3， {x≥3② 所以不等式组的解为3≤x<4.] 4.解析：由x一2≤1，移项得x3. .x一2≤1的最大整数解为3. 答案：3 课后检测雷达 1.A[-3r<-2,不等式两边同除以-3，得x>号.] 2.A[5x-K64<6<] 3.A[去分母得：4.x十a≥5，移项得：4x≥5-a,系数化 为1得：≥，，根据数轴国知解集为x≥-1，所以 5二0=-1，所以a=9,故选A.] 4 4.C[由x十2>0，解得x>-2;由x-4>0,解得x> 4:由x一6<0，解得x<6.所以不等式组的解集为(4， 6).] 5B+1C8由D得+1. 由②得：x<b-1,解集是-1<x<0,a十1=-1， b-1=0,解得a=-2,b=1,则原式=(-2+1)2024= 1,故选B.」 6.心位0由D得≥2，由@释<受国为 不等式组无解，所以2≥受所以m≤4.] 7.解析：因为关于x的不等式组T之3的解集为xx x>a >3},所以3≥a,所以a3. 答案：a3 x-4<2(x-1)① 8.解析：{2(x+1)≤1@ (2 由①得：x>一2， >>>>>>>123