1.2 充要条件-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

中职新知探究学习 第二篇 1.2充要条件 ★[学习要求] 1.理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，会正确判定一个命题是另一个命题的什么 条件. 2.了解子集与推出的关系。 中职新知链接 核心分类探究 知识点① 充要条件 /类型二- 充要条件的判断 回 1.充分条件和必要条件 例1下列“若p,则q”形式的命题中，p是q 我们经常遇到“如果，则q”形式的命 的什么条件？（充分不必要条件，必要不 题，这种命题的真假要通过推理来判断 充分条件，充要条件，既不充分也不必要 如果力真，通过推理，证明g也为真，那 条件) 么“如果p,则q”就是真命题.这时，我们 就说，由力可推出q.用符号记作p→q, (1)若x=1,则x2-4x十3=0； 读作“p推出g”.力推出q,通常还表述为 (2)若x为无理数，则x2为无理数； p是q的充分条件或q是p的必要条件， (3)若x=y,则x2=y2; 以下四种说法：“如果p,则q”是真命题， [解](1)因为命题“若x=1,则x2一4x p→q,p是q的充分条件，q是p的必要 +3=0”是真命题，而命题“若x2一4x十3 条件，表达的是同一逻辑关系，只是说法 =0,则x=1”是假命题，所以p是q的充 不同而已. 分条件，但不是必要条件，即力是q的充 2.充要条件 分不必要条件 如果p是q的充分条件（→q),p又是g (2)因为pq,而q→p,所以p是q的必 的必要条件(q→p),则称p是q的充分 要不充分条件， 且必要条件，简称充要条件.记作台q. 此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当 (3)因为p→q,而q邻，所以饣是q的充 q”.显然，如果p是q的充要条件，那么q 分不必要条件. 也是卫的充要条件. 规律方法充分条件、必要条件、充要 知识点② 字集与推出的关系 条件的判断方法 我们可以通过判断两个集合间的关系 (1)定义法（适用于较简单的命题） 来判断它们的特征性之间的关系， 若→q,但q≯p,则p是q是充分而不 般地，设集合A={x|p(x)},B={x 必要条件； |q(x)},如果A二B(图1)，则x∈A→x具 若q→p,但pq,则p是q的必要而不 有性质q(x),即(x)→q(x);反之，如果A 充分条件； 中的所有元素x都具有性质q(x),则A一 定是B的子集. 若p→q且q→p,则p是q的充要 条件； 若p中g且q力p,则p是q的既不充分 也不必要条件 63 衔接教材一本通 数学 续表 规律方法(1)设A={x|(x)},B= (2)集合法（适用于需对命题的条件 {xlg(x)},如果(x)→g(x),则A二B. 或结论化简的命题)首先建立与p,q相 (2)子集与推出关系的特点：小范围推 应的集合，即p:A={xp(x)};q:B= 大范围，小范围是大范围的子集 {xq(x)}. [变式训练] 若A二B,则力是q的充分条件； 2.判断下列各组中集合之间的关系： 若B二A,则p是q的必要条件； (1)A={x|x是12的约数}，B={x|x是 若AB,则p是q的充分而不必要 36的约数}； 条件； (2)A={x|x是平行四边形}，B={xx 若B手A,则p是q的必要而不充分条件； 是菱形}，C={xx是四边形}，D={x|x 若A=B,则p是q的充要条件： 是正方形}： 若A车B,B车A,则A是B的既不充分 (3)A={x|-1<x<4},B={x|x<5}. 也不必要条件 (3)传递性法（适用于多个条件之间的 关系推断)由于逻辑联结符号“→”“←” “台”具有传递性，因此可根据几个条件 的关系，经过若干次的传递，判断所给 的两个条件之间的相互关系： [变式训练] 1.在下列各题中，试判断p是q的什么 条件 (1)p:a=b,q:ac=bc; ☑课堂达标 (2)b:a十5是无理数，q:a是无理数； 1.“x≠0”是“x>0”的 (3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知p:“x>0”,q:“|x>0”,则p是q的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 》类型二通过“推出"”判断集合之间的关系☑ C.充要条件 例2判断下列集合A与B的关系： D.既不充分也不必要条件 (1)A={x|x是4的倍数}，B={x|x是2 3.已知条件甲：0<x<5,条件乙：一3<x一 的倍数}； 2<3,那么甲是乙的 (2)A={x|x=1},B={xx2=1}; A.充分不必要条件 (3)A={x|x>2},B={x|x>5}. B.必要不充分条件 [解](1)因为x是4的倍数→x是2的 C.充要条件 倍数，所以A二B. D.既不充分也不必要条件 (2)因为|x|=1台x2=1,所以A=B. 4.p:两个三角形的三条边对应相等，q:两 (3)因为x>5→x>2,所以B二A. 个三角形全等.则p是q的 条件 64(<< 中职新知探究学习 第二篇 课后检测雷达 (1)“x2-1=0”是“|x|-1=0”的 一、选择题 (2)“x<5”是“x<3”的 1.设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q的 三、解答题 ( 9.判断下列两个集合之间的关系： A.充分必要条件 (1)A={x|x是等边三角形}，B={x|x B.充分不必要条件 是等腰三角形}. C.必要不充分条件 (2)A={x|-1<x<4},B={x|x-6<0. D.既不充分也不必要条件 (3)A={x∈Z-1≤x<3},B={x|x= 2.设x∈R,则“1<x<2”是“1<x<3”的 |yl,y∈A. A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设x∈R,则x>2的一个必要条件是 ( A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3 4.“三角形的三个角相等”是“三角形为等 边三角形”的 ( 10.在下列各题中，判断力是q的什么条 A.充分不必要条件 件.（请用“充分不必要条件”“必要不充 B.必要不充分条件 分条件”“充要条件”“既不充分也不必 C.充要条件 要条件”回答) D.既不充分也不必要条件 (1)p:∠C=90°；q:△ABC是直角三 5.设A={x1<x<2},B={xlx<a},若 角形； A二B,则a的值可以是 () (2)p:a,b至少有一个不为零；q:a2+b A.0B.1C.2 D.-3 >0; 6.对任意实数a,b,c,在下列命题中是真命 (3)p:a+1>b;q:a>b; 题的为 (4)p:-5x2y”与x”y是同类项；q:m+ A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 n=3. B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 二、填空题 7.已知：-1<x<2,q:x≥-2，则p是q 的 (填“充分条件”“必要条件”或 “充要条件”). 8.从“充分不必要条件”“必要不充分条件” “充要条件”“既不充分也不必要条件”中 选一个合适的填空. >>>>>654.解：把全集U和集合A,B在数轴上表示出来，如图， B -3-2-101234元 由图可知CuA={xx≤-2或3≤x≤4}，A∩B={x| -2<x<3},Cu(A∩B)={xx≤-2或3≤x≤4}， (CuA)∩B={x|-3<x≤-2或x=3.) 课堂达标 1.B[A∩B={1,2,3}∩{-2,2}={2.] 2.D[AUB={-1,0,1}U{1,2,3}={-1,0,1,2, 3〉.] 3.B[因为A={xx+1>0}={xx>-1},所以CA ={xx≤-1}.] 4.解析：因为全集U={xx≥-3}，集合A={x|-3<x ≤4}，所以CuA={xx=-3或x>4〉. 答案：{xx=-3或x>4) 课后检测雷达 1.C[由题知A={一1,0,1,2,3〉，B={xx≥2}，所以 A∩B={2,3}.] 2.D[M={x|x2+2x=0,x∈R}={0,-2},N= {xx2-2x=0,x∈R}={0,2},故MUN={-2,0,2}, 故选D.」 3.D[B={xx<1},.CRB={xx≥1}. .A∩(CRB)={x|1≤x≤2).] 4.C[由题知，A∩B={-2,0},又U={-2,-1,0,1, 2},.Cw(A∩B)={-1,1,2.] 5.B[AUB={1,2,4,6},又C={x∈R-1x5}, 则(AUB)∩C={1,2,4.] 6.A[由题知，CRA={xx<3},故B∩(CRA)={x1 x<3}.] 7.解析：由题意知，集合A={x||x一1|>2}= (一∞，一1)U(3,十∞)，根据集合的补集的概念及运 算，可得0A={x一1≤x3}. 答案：{x|-1≤x≤3) 8.解析：把全集R和集合A,B在数轴上表示如图. 23 AB 70x 由图知，AUB={x2<x<10}, 所以CR(AUB)={x|x≤2或x≥10}， 因为CRA={xx<3或x≥7}，所以(CRA)∩B={x2 <x<3或7≤x<10}. 答案：{xx≤2或x≥10){x|2<x<3或7≤x<10) 9.解：由已知集合B={xx>5或x<-2. (1)当a=2时，集合A={x-1≤x≤3}， 则AUB={xx<-2或-1≤x≤3或x>5}. (2)由A∩B=A,则A三B,因为A≠心，所以a-3>5 或a十1<一2，解得a>8或a<一3，即实数a的取值 范围为{aa<-3或a>8}. 10.解：在数轴上表示集合A,B,U U -3-2-101234 易得AUB={x|-3≤x<3},A∩B={x-2<x≤ 2},CuA={x|x≤-2，或3≤x≤4}，CvB={xx< 一3，或2<x4}..(CuA)UB={xx2,或3x ≤4}，A∩(CuB)={x2<x<3),Cu(AUB)={x|x <-3,或3≤x≤4). 参考答案 1.2充要条件 核心分类探究 变式训练 1.解：(1)因为a=b→ac=bc,而ac=bc不能推出a=b, 所以力是q的充分条件，但不是必要条件. (2)因为a十5是无理数→a是无理数，并且a是无理 数→a十5是无理数，所以p是q的充要条件， (3)因为a2+b2=0→a=b=0,并且a=b=0→a2+b2 =0,所以p是q的充要条件 2.解：(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反 之不成立，所以A二B; (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D三 B三A二C. C (BD (3)易知A中的元素都是B中的元素，一1<x<4→x <5,所以A二B. 课堂达标 1.C[由x≠0，得x值可以不小于0，也可以大于0，故 推不出x>0;反之，当x>0时，一定有x≠0.故“x≠ 0”是“x>0”的必要不充分条件.] 2.A[由题意知p→q,q邻，所以p是q的充分不必要 条件.故选A.] 3.A[条件乙：-1<x<5.所以0<x<5→-1<x<5, 但一1<x<50<x<5,所以甲是乙的充分不必要条 件，故选A.] 4.解析：p→q,q→p,故p是q的充要条件. 答案：充要 课后检测雷达 1.C[因为{x-1<x<3}军{x|x<3},所以p是q的 必要不充分条件，门 2.B[1<x<2”→“1<x<3”,反之不成立，所以“1<x <2”是“1<x<3”的充分不必要条件.故选B.] 3.A[因为x>2→x>1,所以选A.] 4.B[因为由“三角形的三个角相等”不能得出“三角形 为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”一定得出 “三角形的三个角相等”，所以“三角形的三个角相等” 是“三角形为等边三角形”的必要不充分条件，] 5.C[如图，因为A二B,所以a≥2，故选C. 6.B facbeab saebeah 1c>0, {a<0, ,.ac>bcPu>b,而由a>bpac>bc, .“ac>bc”是“a>b”的既不充分也不必要条件，故A、 C错误. 又cc,a=b,ac=c'pa=b. c≠0， 1c=0, .由ac=bcpa=b, 由a=b→ac=bc, “ac=bc”是“a=b”的必要条件，B正确，D错误.] 7.解析：因为当p成立时，9一定成立；当q成立时，p一 定成立，所以p是q的充分条件. 答案：充分条件 >>>>>>>>121 衔接教材一本通 8.解析：(1)设A={xx2-1=0}={-1,1),B={x|x -1=0}={-1,1},所以A=B,即“x2-1=0”是“|x 一1=0”的充要条件. (2)设A={xx<5},B={xx<3〉.因为B年A,所以 “x<5”是“x<3”的必要不充分条件. 答案：(1)充要条件(2)必要不充分条件 9.解：(1)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形 是两边相等的三角形，所以A→B,故A二B. (2)集合B={xx<6},用数轴表示集合A,B如图所 示，由图可知A二B. B A -2-10123456 (3)因为A={x∈Z-1x<3}={-1,0,1,2},B= {xx=|yy∈A}, 所以B={0,1,2》,所以B→A,故B二A. 10.解：(1)由题意得，p→q,q邻，所以p是q的充分不必 要条件： (2)若a,b至少有一个不为零，则a2,b2至少有一个 大于零，所以a2+b2>0,反之由a2+b2>0也可推出 Q,b至少有一个不为零，所以p台q,所以力是q的充 要条件， (3)p:a+1>b,q:a>b,因为a+1>a,所以q→p,p q,所以力是q的必要不充分条件， (4)若-5.x2ym与x”y是同类项，则m=1,n=2,所以 m十n=3,当m十n=3时，-5.x2y"与x"y不一定是 同类项，所以→q,q中力，所以p是q的充分不必要 条件， 第二章不等式 2.1不等式的基本性质 核心分类探究 变式训练 1.解：(1)因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=x2+5.x +6-(x2+5.x+4)=2>0,所以(x+2)(x+3)>(x+ 1)(x+4). (2)证明：因为4>b>0,所以ab>0,】>0,于是4· ab b 2.C[因为实数a,b,c满足c<b<a,ac<0,所以a>0, c0,对于A,因为a>c,所以a一c>0,因为ac<0,所 以ac(a-c)<0,所以A错误；对于B,若a>b>0,则 a2>b2,因为c<0,所以ca2<cb2,所以B错误；对于 C,因为b>c,a>0,所以ab>ac,所以C正确；对于D, 因为b<a,所以b-a<0,因为c<0,所以c(b-a)>0, 所以D错误.」 3.证明：(1)a<b,∴.a-b<0, 又c0,.(a-b)c>0. (2)-1<b<0,∴.0<b2<1,.1>b2>0>b>-1, 又a<0,∴a<ab2<ab. 课堂达标 1.C[M-N=2a2-4a+7-(a2-5a+6)=a2+a+1 -(e+)了+≥0改MN线C 2.C[对于A,当a>b时，若取c≤0，则有ac≤bc.故A 不正确：对于B,当a>6时，取a=1,6=-1时，有日 >石故B不正确：对于C,当a2>bc,两边同来以 122K<<< 数学 则Q6故C正确：对于D,当0>b,取a 一1时，有a2=b2.故D不正确.] 3.C[由a>b>0,c<0,得ac<bc,ac<0,C正确，A、B 错误；因为ab>0,ac<0,所以D错误.故选C.] 4.解析：x 12x-1-x2--（x=1)2≤0. 1+r2-2=21+x2)=2(1+x2) 1 蓄案号 课后检测雷达 1.D[因为M-N=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0，所以M ≥N.] 2.B[因为m<n<0,所以mn>0,m-n<0,A错误，B 正确；因m<,左右两边同时乘以2，不等号的方向不 变，所以2m<2m,C错误；由m<n<0,得m2>n2,D 错误.故选B.」 3.A[由a十b<0,且a>0可得b<0,且a<-b.因为 a2-(-ab)=a(a+b)<0,所以0<a2<-ab,又0<a <-b,所以0<-ab<(-b)2,所以0<a2<-ab< b2,选A.] 4.B[-1<a<0,∴.1+a>0,0<-a<1, .-a-a2=-a(1+a)>0,a2-(-a3)=a2(1+a)> 0,∴.-a>a2>-a3.故选B.] 5.D[A选项，取特殊值a=3,b=2,c=5,d=4,满足a >b,c>d,但是a十d=b十c,A错误；选项B,取特殊值 a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,满足a>b,c>d,但 是ac<bd,B错误；选项C,同样取a=-1,b=一2，c= -3,d=-4,满足a>b,c>d,但是u-c=b-d,C错 误；根据推论2可知选项D正确.故选D.] 6.A[对于A,若a>b>0,当c=0时，ac2=bc2,故A 满足题意；对于B,若a>b>0,则a2一b2=(a十b)(a -b)>0,即a2>b2,故B不满足题意；对于C,若a<b <0,则a2>ab,ab>b2,即a2>ab>b2,故C不满足题 意：对于D若a<6<0,则日-言-b2>0,即日> 石故D不满足题感.放选A] 7,解析：设小强答对了x道题，则他答错或不答的共有 (25-x)道题，由题意得4x-(25-x)×1≥85，解得x ≥22，所以小强至少答对了22道题. 答案：22 8.解析：：b>a>0,m<0,.b-a>0, ..mb-ma=m(b-a)0,..mb<ma. 气m6a-m）-ba-m）=mh二 a-m a a(a-m) :.6-m<b a-m a 答案：<< 9.证明：因为c<d<0,所以-c>-d>0, 又因为a>b>0,所以a一c>b-d>0. 不等式的两边同乘(a-c)(b-d)' 1>0 得b-aa 又周为f0,所以中之