1.1.4 集合的运算-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

中职新知探究学习 第二篇 课后检测雷达 二、填空题 7.已知集合A={2,3,6},则集合A的真子 一、选择题 集的个数是 1.下列结论正确的是 8.已知集合A={1,一2m},B={1,m},且 A.任何集合都有子集 A=B,则m的值为 B.任何集合都有真子集 三、解答题 C.{0}=0 9.指出下列各组集合之间的关系： D.{0}=☑ (1)A={1,2,4},B={xx是8的正约数}； 2.若集合M满足M{1,2},则满足题意 (2)A={x|-1<x<5},B={x|0<x<5}: 的M的个数为 ( (3)A=(xlx=2n,nEZ),B={xx=4n, A.2B.3 C.4 D.5 n∈Z}; 3.下列集合表示同一集合的是 A.A={(3,2)},B={(2,3)} B.A={3,2},B={2,3} C.A={(x,y)|x+y=1},B={yx+y =1} D.A={2,3},B={(2,3)} 4.已知集合A={x∈N-2<x<3},则集 合A的所有非空真子集的个数是( ) 10.已知集合P=(0,x,y},Q={2x,0,y2}, A.6B.7 C.14 D.15 且P=Q,求x,y的值. 5已知集合A={m品，小集合B=(m,m 十，0}，若A=B,则 ( A.m=1,n=0B.m=-1,n=1 C.m=-1,n=0D.m=1,n=-1 6.已知集合M={x|x是平行四边形}，N= {xx是矩形}，P={xx是正方形}，Q= {xx是菱形}，则 A.MCN B.P∈N C.Q三P D.Q二N 1.1.4集合的运算 ★[学习要求] 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用，提升 数学抽象素养 A∩B={x|x∈A且x∈B}. 中职新知链接 集合A与B的交 知识点① 集合的交集 集，可用如图中的阴 1.交集的概念 影表示 给定两个集合A,B,由既属于A又属于 如果两个集合没有 B的所有公共元素组成的集合，称为A, 公共元素，则它们的 B的交集，记作A∩B,读作“A交B”,即 交集为空集. >>>>>>59 衔接教材一本通 数学 2.交集的运算性质 U中的补集”，即CA={x|x∈U且x 由交集的定义可知，对于任意两个集合 A}.集合A在U中的补集可用如图中的 A,B,都有 阴影表示 (1)A∩B=B∩A: (2)A∩A=A; (3)A∩0=∩A=0: (4)A∩BCA,A∩BCB; (5)如果A二B,则A∩B=A 3.补集的运算性质 知识点② 集合的并集 由补集的定义可知，对于给定的全集U 1.并集的概念 及它的任意一个子集A,有： 给定两个集合A,B,把它们所有的元素 (1)AU(CA)=U; 合并在一起组成的集合，称为A与B的 (2)A∩(CA)=0; 并集，记作AUB,读作“A并B”,即AU (3)C(CA)=A. B={xx∈A或x∈B. 集合A与B的并集，可用如图(1)或(2) 核心分类探究 中的阴影表示， /类型一 交集的运算 例1(1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈ N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B 中元素的个数为 ( A.5 B.4 C.3 D.2 (1) (2 (2)设集合A={x一1≤x<2},B={x0 2.并集的运算性质 ≤x≤4}，则A∩B等于 ( ) 由并集的定义可知，对于任意两个集合 A.{x|0≤x<2} B.{x|1≤x<2} A,B,有 C.{x0≤x≤4} D.{x1≤x≤4》 (1)AUB=BUA; [解析](1)因为6=3×2,8=3×2+2， (2)AUA=A; 10=3×3+1,12=3×4,14=3×4+2, (3)AU0=0UA=A: 所以8∈B且8∈A,14∈B且14∈A, (4)A≤AUB,B二AUB; A∩B={8,14},故选D. (5)如果A二B,则AUB=B. (2)因为A={x-1≤x<2},B={x|0≤ 知识点③ 集合的补集 x≤4}，如图所示，所以A∩B={x0≤x 1.全集的概念 <2}. 我们在研究集合与集合之间的关系时， 如果一些集合都是某一给定集合的子 -102 集，那么称这个给定的集合为这些集合 [答案](1)D (2)A 的全集，通常用U表示.例如，我们在研 规律方法（1)两个集合求交集，结果 究数的集合时，常常把实数集R作为 还是一个集合，是由集合A与集合B 全集 的公共元素组成的集合，当两个集合 2.补集的概念 没有公共元素时，两个集合的交集是 如果A是全集U的一个子集，由U中的 空集，而不能说两个集合没有交集. 所有不属于A的元素组成的集合，称为 (2)求涉及不等式表示的集合的交集 A在U中的补集，记作C,A,读作“A在 时，借助数轴求解可化抽象为直观. 中职新知探究学习 第二篇 [变式训练] 》类型三 补集的运算 回 1.(1)已知集合M={0,1,2,3},N={x0 例3(1)设U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, <x<3},则M∩N= ( A=(1,3,4,5},B={3,5,7,8.求CA A.{0} B.{xx<0} 及CB. C.{x0<x<3} D.{1,2} (2)若集合A={x|一1≤x<1},S=R,求 (2)已知集合M={x一4<x≤4}，N= CsA. {xx<-5或x>5},则M∩N=() [解](1)U={0,1,2,3,4,5,6,7,8, A.{xx<-5,或x>-3} 9},.CuA={0,2,6,7,8,9},CB={0, B. 1,2,4,6,9}. C.{x3<x<5} (2)把集合S和A表示在数轴上如图 D.{xx<-3,或x>5} 所示： 心类型二- 并集的运算 ------9 例2(1)设集合A={xx2-2x=0},B= -2-101x 由图知CsA={xx<-1,或x≥1}. {x|x2十x=0},则AUB= A.{0} B.{-1,0,0,2} 规律方法求集合补集的两种方法 C.{-1,0,2} D.{-1,2》 (1)当集合用列举法表示时，直接用定 [解析]C[因为A={xx2-2x=0} 义或借助Venn图求解； ={0,2},B={xx2+x=0}={-1,0},所 (2)当集合是用描述法表示的连续数 以AUB={-1,0,2.] 集时，可借助数轴，利用数轴分析 (2)设集合A={xx<1},B={x|-2< 法求解。 x<2},则AUB= [变式训练] A.{x-2<x<1} B.{xx<1} 3.设U={x-5≤x<-2,或2<x≤5， C.{x-2<x<2}D.{x|x<2} x∈Z,A={x|x2-2x-15=0},B={-3, [解析]D[集合A={xx<1},B 3,4},则CA= CoB= {x-2<x<2},所以AUB={xx<2}.] 心类型四集合交、并、补的综合运算☑ 规律方法(1)若集合中元素个数有 例4设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A= 限，则直接根据并集的定义求解，但 {1,3,4},B={1,4,5,6}. 要注意集合中元素的互异性， (1)求A∩B及AUB; (2)若集合是实数集的子集，可借助 (2)求(CA)∩B. 数轴，利用数轴分析法求解，但要注 解：(1)因为A={1,3,4},B={1,4,5, 意端点值的取舍. 6},所以A∩B={1,3,4}∩{1,4,5,6}= [变式训练] {1,4},AUB={1,3,4}U{1,4,5,6}= 2.(1)已知集合M={-1,0,1},N={0,1, {1,3,4,5,6}. 2},则MUN= (2)因为U={1,2,3,4,5,6},所以CuA= A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2} {2,5,6},所以(CA)∩B={2,5,6}∩ C.{-1,0,2} D.{0,1}》 {1,4,5,6}={5,6}. (2)已知集合M={x-3<x≤5}，N= 规律方法集合混合运算的一般思路 {xx<-5或x>5},则MUN=( (1)明确题中含有哪些运算，依据三种 A.{xx<-5,或x>-3} 运算的定义列出算式， B.{x-5<x<5} (2)明确运算顺序，先算括号内的，再按 C.{x|3<x<5} 照从左到右的顺序依次运算， D.{xx<-3,或x>5}》 (3)注意对运算结果进行检验 >>>>>>>>61 衔接教材一本通 数学 [变式训练] 4.设全集U={-2,-1,0,1,2},A={xx 4.已知集合U={x|x≤4}，集合A={x ≤1}，B={-2,0,2,则C(A∩B)= 2<x<3},B={x-3<x≤3}. ( 求CA,A∩B,Cu(A∩B),(CuA)∩B. A.{-2,0} B.{-2,0,2} C.{-1,1,2 D.{-1,0,2} 5.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈ R-1≤x≤5}，则(AUB)∩C=() A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R-1≤x≤5} 6.设集合A={xx≥3}，B={x1≤x≤ 4},则B∩(CRA)= () A.[1,3) B.(-∞，4] ☑课堂达标 C.[3,4] D.[1,+∞) 1.设集合A={1,2,3},集合B={-2,2}, 二、填空题 则A∩B= ( ) 7.已知全集U=R,集合A={x|x-1> A.☑ B.{2 2},则CA= C.{-2,2》 D.{-2,1,2,3} 8.设全集为R,A={x3≤x<7},B={x2 2.集合A={-1,0,1},集合B={1,2,3}, <x<10},则CR(AUB)= 则集合AUB= ( (CRA)∩B= 三、解答题 A.{0,1} B.{-1,0,1,2} 9.已知集合A={xa-3≤x≤a十1}，B C.{-1,0,2,3} D.{-1,0,1,2,3》 {xx>5或x<-2}. 3.已知全集U=R,A={x|x+1>0},则 CvA= (1)当a=2时，求AUB; ( ) (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围. A.{xx<-1} B.{xx≤-1} C.xx<1) D.{xx≤1} 4.已知全集U={xx≥-3}，集合A={x -3<x≤4}，则CA= 课后检测雷达 一、选择题 1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={xx -2≥0}，则A∩B= ) 10.已知全集U={xx≤4}，集合A={x A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} -2<x<3},B={x|-3≤x≤2}， C.{2,3}》 D.{3} 求A∩B,(CA)UB,A∩(CB),Cu(A 2.设集合M={xx2+2x=0,x∈R},N= UB). {xx2-2x=0,x∈R),则MUN= ( A.{0} B.{0,2} C.{-2,0》 D.{-2,0,2} 3.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x <1},则A∩(CB)= A.{x|x>1} B.{xx≥1} C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2} 62☐《(<<衔接教材一本通 1.1.3集合之间的关系 核心分类探究 变式训练 1.解：由0个元素构成的子集：心； 由1个元素构成的子集：{1)，{2》，{3)： 由2个元素构成的子集：{1,2)，{1,3}，{2,3}： 由3个元素构成的子集：{1,2,3). 由此得集合A的所有子集为心，{1}，{2}，{3}，{1,2}， {1,3},{2,3},{1,2,3〉. 在上述子集中，除去集合A本身，即1,2,3，剩下的 都是A的真子集. 2.解析：(1)因为集合A={xx≥-2}，B={x|一2≤x ≤1}，所以根据子集的定义可知B二A. (2)解x2-x=0,得x=1或x=0,故N={0,1},易得 N二M,其对应的Venn图如选项B所示， 答案：(1)C(2)B 3.解析：(1)：{2x,x十y={7,4,.2x=7 x+y=4或 j2.x=4 x= x+y=2解得 2(含去)或{y=5心xy=10 1 y=2 (2)A=1,-m,B=1,m2〉，且A=B,.m2= m,解得m=-1或者m=0.m=一1不满足集合中元 素的互异性，舍去，m=0符合题意， 答案：(1)10(2)0 课堂达标 1.D[因集合B中只有一个元素0，并且0∈A,于是得 集合B是集合A的子集，从而得B二A.] 2.A[集合{1,2}的子集有0，{1}，{2}，{1,2}共4个.] 3.C[因为集合A={xx≥-2}，B={x|-2≤x≤1}， 根据子集的定义可知B二A.」 4.解析：由题意a≠0，则b=0,a2=1,且a≠1，∴.a=-1, a2024+b2025=(-1)2024+0=1. 答案：1 课后检测雷达 1.A[A正确，B,C,D不正确.] 2.B[集合M满足M军{1,2}，集合1,2}的元素个数 为2，则满足题意M的个数为22-1=3.] 3.B[选项A中两集合表示的点不同；选项C中，A为 x十y=1图象上所有点的坐标，B为x十y=1的y的 取值，不是同一集合；选项D中，A为两个实数2,3组 成的集合，B中只有一个元素即点(2,3).故B对.] 4.A[A={x∈N一2<x<3}={0,1,2},满足条件的 集合有：{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，1,2}，共6个.] 5.C[由A=B,得m2=1,且”=0，m=m十n,解得m =士1，n=0.又m≠1.m=-1n=0.] 6,B[平行四边形、矩形、正方形、菱形间的相互关系如 图所示，由图可知，ACD错误，B正确，] 120 《《(((〈 数学 7,解析：因为集合A中有3个元素，所以集合A的真子 集有23-1=7个. 答案：7 8.解析：：A={1,-2m},B={1,m},且A=B,.m= 一2n,解得m=0..m=0符合题意. 答案：0 9.解：(1)B={1,2,4,8},可知集合A中的任意一个元素 都是集合B中的元素，故A手B.用Venn图表示更加 直观，如图1. A 24 图1 (2)在数轴上表示出集合A,B,如图2所示，由图可知 B≠A. 5 图2 (3)集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，B军A. 0都：徐老P-0老化北时=0,2=0，不两 足集合元素的互异性，不符合题意，若=) 1y=2.x 解得 =y=0或=子y=合 1 当x=y=0时，不满足集合元素的互异性，不符合题 意，当r=y=言时P=Q{0,宁}符合题 意故x子y=司 1 1.1.4集合的运算 核心分类探究 变式训练 1.解析：(1)因为M={0,1,2,3},N={x0<x<3),所 以M∩N={1,2). (2)方法1定义法 M∩N={x-4<x4}∩{xx< -5或x>5}=0. 方法2数轴法将集合M和N在数轴上表示出来，如 图所示， N IN -5-4 0 可知M∩N=必.] 答案：(1)D(2)B 2.解析：(1)MUN={-1,0,1)U{0,1,2}={-1,0,1, 2}. (2)在数轴上表示集合M,N,可知MUN={xx<-5 或x>-3.故选A. -5-30 5 答案：(1)B(2)A 3.解析：在集合U中，因为x∈Z,所以x的值为一5一4， -3,3,4,5,所以U={-5,-4,-3,3,4,5).又A={x |x2-2x-15=0}={-3,5},所以0A={-5,-4, 3,4,CB={-5,-4,5〉. 答案：{-5，-4,3,4}{-5，-4,5) 4.解：把全集U和集合A,B在数轴上表示出来，如图， B -3-2-101234元 由图可知CuA={xx≤-2或3≤x≤4}，A∩B={x| -2<x<3},Cu(A∩B)={xx≤-2或3≤x≤4}， (CuA)∩B={x|-3<x≤-2或x=3.) 课堂达标 1.B[A∩B={1,2,3}∩{-2,2}={2.] 2.D[AUB={-1,0,1}U{1,2,3}={-1,0,1,2, 3〉.] 3.B[因为A={xx+1>0}={xx>-1},所以CA ={xx≤-1}.] 4.解析：因为全集U={xx≥-3}，集合A={x|-3<x ≤4}，所以CuA={xx=-3或x>4〉. 答案：{xx=-3或x>4) 课后检测雷达 1.C[由题知A={一1,0,1,2,3〉，B={xx≥2}，所以 A∩B={2,3}.] 2.D[M={x|x2+2x=0,x∈R}={0,-2},N= {xx2-2x=0,x∈R}={0,2},故MUN={-2,0,2}, 故选D.」 3.D[B={xx<1},.CRB={xx≥1}. .A∩(CRB)={x|1≤x≤2).] 4.C[由题知，A∩B={-2,0},又U={-2,-1,0,1, 2},.Cw(A∩B)={-1,1,2.] 5.B[AUB={1,2,4,6},又C={x∈R-1x5}, 则(AUB)∩C={1,2,4.] 6.A[由题知，CRA={xx<3},故B∩(CRA)={x1 x<3}.] 7.解析：由题意知，集合A={x||x一1|>2}= (一∞，一1)U(3,十∞)，根据集合的补集的概念及运 算，可得0A={x一1≤x3}. 答案：{x|-1≤x≤3) 8.解析：把全集R和集合A,B在数轴上表示如图. 23 AB 70x 由图知，AUB={x2<x<10}, 所以CR(AUB)={x|x≤2或x≥10}， 因为CRA={xx<3或x≥7}，所以(CRA)∩B={x2 <x<3或7≤x<10}. 答案：{xx≤2或x≥10){x|2<x<3或7≤x<10) 9.解：由已知集合B={xx>5或x<-2. (1)当a=2时，集合A={x-1≤x≤3}， 则AUB={xx<-2或-1≤x≤3或x>5}. (2)由A∩B=A,则A三B,因为A≠心，所以a-3>5 或a十1<一2，解得a>8或a<一3，即实数a的取值 范围为{aa<-3或a>8}. 10.解：在数轴上表示集合A,B,U U -3-2-101234 易得AUB={x|-3≤x<3},A∩B={x-2<x≤ 2},CuA={x|x≤-2，或3≤x≤4}，CvB={xx< 一3，或2<x4}..(CuA)UB={xx2,或3x ≤4}，A∩(CuB)={x2<x<3),Cu(AUB)={x|x <-3,或3≤x≤4). 参考答案 1.2充要条件 核心分类探究 变式训练 1.解：(1)因为a=b→ac=bc,而ac=bc不能推出a=b, 所以力是q的充分条件，但不是必要条件. (2)因为a十5是无理数→a是无理数，并且a是无理 数→a十5是无理数，所以p是q的充要条件， (3)因为a2+b2=0→a=b=0,并且a=b=0→a2+b2 =0,所以p是q的充要条件 2.解：(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反 之不成立，所以A二B; (2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D三 B三A二C. C (BD (3)易知A中的元素都是B中的元素，一1<x<4→x <5,所以A二B. 课堂达标 1.C[由x≠0，得x值可以不小于0，也可以大于0，故 推不出x>0;反之，当x>0时，一定有x≠0.故“x≠ 0”是“x>0”的必要不充分条件.] 2.A[由题意知p→q,q邻，所以p是q的充分不必要 条件.故选A.] 3.A[条件乙：-1<x<5.所以0<x<5→-1<x<5, 但一1<x<50<x<5,所以甲是乙的充分不必要条 件，故选A.] 4.解析：p→q,q→p,故p是q的充要条件. 答案：充要 课后检测雷达 1.C[因为{x-1<x<3}军{x|x<3},所以p是q的 必要不充分条件，门 2.B[1<x<2”→“1<x<3”,反之不成立，所以“1<x <2”是“1<x<3”的充分不必要条件.故选B.] 3.A[因为x>2→x>1,所以选A.] 4.B[因为由“三角形的三个角相等”不能得出“三角形 为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”一定得出 “三角形的三个角相等”，所以“三角形的三个角相等” 是“三角形为等边三角形”的必要不充分条件，] 5.C[如图，因为A二B,所以a≥2，故选C. 6.B facbeab saebeah 1c>0, {a<0, ,.ac>bcPu>b,而由a>bpac>bc, .“ac>bc”是“a>b”的既不充分也不必要条件，故A、 C错误. 又cc,a=b,ac=c'pa=b. c≠0， 1c=0, .由ac=bcpa=b, 由a=b→ac=bc, “ac=bc”是“a=b”的必要条件，B正确，D错误.] 7.解析：因为当p成立时，9一定成立；当q成立时，p一 定成立，所以p是q的充分条件. 答案：充分条件 >>>>>>>>121