1.1.3 集合之间的关系-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 2.集合{x∈Z-1<x<3}= 三、解答题 A.{0,1,2} B.{-2,-1,0} 9.已知集合A={m+2,2n2+m},若3∈ C.(-3,1) D.(-1,3) A,求实数m的值. 3.若a∈{2，a2-a},则a的值 ( A.0 B.2 C.0或2 D.-2 4.集合{(x,y)y=2x-1}表示 A.方程y=2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的 集合 10.用适当的方法表示下列集合。 D.函数y=2x一1图象上的所有点组成 (1)方程x2一4x十4=0的实数根组成的集 的集合 合A; 5.已知集合A={-1,0,1,2},集合B={y y=x,x∈A},则B= ) (2)方程组一y=0, 的解集B; A.{-1} B.{1,2} 2x-y=1 C.{0,1,2 D.{-1,0,1,2 (3)二次函数y=x2-1的所有函数值组成 6.已知集合M={m-2,m2十4m,9},且一3 的集合C; 是M中的一个元素，则m= ( (4)二次函数y=x2一1的图象上所有的点 A.-3 B.-1或3 组成的集合D. C.3 D.-3或-1 二、填空题 7.下列四个说法中正确的个数是 ①若a∈N,则-aN; ②若a∈N,b∈N,则a十b的最小值为2； ③所有小的正数组成一个集合. 8.设集合A={xx2-ax-5=0,x∈R,且 一5∈A,则实数a= 1.1.3集合之间的关系 ★[学习要求] 1.理解子集的概念及子集相关的一些结论， 2.理解真子集的概念，理解子集与真子集的区别与联系 3.理解集合相等的定义，能运用相关知识解决集合相等简单问题. 4.能正确地运用符号表示集合与集合的关系， 当集合A不是集合B的子集时，记作A 中职新知链接 车B或B主A,读作“A不包含于B”,或 知识点① 子集 “B不包含A” 1.子集的定义 2.子集的性质 如果集合A的任意一个元素都是集合B (1)任意一个集合A都是它本身的子集 的元素，那么集合A称为集合B的子集， (2)规定空集是任意一个集合的子集，也就 记作A二B或B已A,读作“A包含于B”, 是说，对于任意一个集合A,都有 或“B包含A”. 二A. 56☐<<<< 中职新知探究学习 第二篇 知识点② 真子集 规律方法 如果集合A是集合B的子集，并且B 1.写出一个集合的所有子集的常用 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 方法 称为集合B的真子集，记作AB或B吴 (1)首先要注意两个特殊子集：必和它 A,读作“A真包含于B”,或“B真包含 自身； A” (2)其次要依次按含有1个元素的子 知识点③ 维恩图 集，含有2个元素的子集、含有3 如果用平面上一条封闭曲线的内部来 个元素的子集…写出所有子集 表示集合，那么我们就可作出示意图来 2.求一个集合子集个数的规律 形象地表示集合之间的关系，这种示意 含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合 图通常称为维恩图.例如，A是B的真子 有2个子集，有2”-1个真子集，有 集，可表示如图 2”一2个非空真子集， [变式训练] 1.写出集合A={1,2,3}的所有子集和真子集， 由此可见，集合A是集合B的真子集， 记作A手B或B星A. 空集是任何非空集合的真子集， 知识点④ 集合相等 如果两个集合的元素完全相同，那么 我们就说这两个集合相等.若集合A等 心类型二。-_集合间关系的判断 于集合B,则记作A=B. 例2指出下列各对集合之间的关系： 由相等的定义，可得：如果A二B,且 (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1, B二A,那么A=B:反之，如果A=B,那 1),(1,-1),(1,1)}; 么A二B且B二A. (2)A={xx是等边三角形}，B={x|x 核心分类探究 是等腰三角形}； (3)A={x-1<x<4},B={xx-5<0}: 心类型一求集合的子集、真子集-区 (4)M={xx=2n-1,n∈N+},N={xl 例1(1)写出集合{a,b}的所有子集，并指 x=2n+1,n∈N+. 出哪些是它的真子集 [解](1)集合A的代表元素是数，集合 (2)写出集合{a,b,c}的所有子集；写出集 B的代表元素是有序实数对，故A与B 合{a,b,c,d}的所有子集。 之间无包含关系. [解](1)集合{a,b}的所有子集为0， (2)等边三角形是三边相等的三角形，等 {a},{b},{a,b}.真子集为☑，{a},{b}. 腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (2)集合{a,b,c}的所有子集为0，{a}, (3)集合B={x|x<5},用数轴表示集合 {b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}. A,B如图所示，由图可知A三B. 集合{a,b,c,d}的所有子集为，{a}, B {b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b, c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a, (4)由列举法知M={1,3,5,7,…〉，N= c,d),{b,c,d},{a,b,c,d}. {3,5,7,9,…},故N至M >>>>>>57 衔接教材一本通 数学 规律方法 判断集合间关系的常用 规律方法 方法 (1)若ACB,且B二A,则A=B;反之， (1)列举观察法 若A=B,则A二B,且B二A,这就 当集合中元素较少时，可列举出集 合中的全部元素，通过定义得出集 给出了证明两个集合相等的方法， 合之间的关系. 即欲证A=B,只需要证A二B与B (2)集合元素特征法 二A均成立即可. 先确定集合的代表元素是什么，弄 (2)若两个集合相等，则这两个集合中 清集合元素的特征，再利用集合元 所含的元素完全相同，与元素的排 素的特征判断得出集合之间的 列顺序无关 关系 (3)数形结合法 (3)要判断两个集合是否相等，对于元 利用数轴或Venn图可清晰、明了 素较少的有限集，可用列举法将元 地判断集合间的关系，其中不等式 素列举出来，看两个集合中的元素 的解集之间的关系，适合用数轴法. 是否完全相同；对于元素较多的有限 [变式训练] 集或无限集，应从“互为子集”入手进 2.(1)已知集合A={xx≥-2}，B={x 行判断 2≤x≤1}，则下列关系正确的是 [变式训练] A.A=B B.ACB 3.(1)若整数x、y能使{2x,x十y}={7,4} C.BCA D.B∈A 成立，则xy= (2)能正确表示集合M={x∈R|0≤x (2)已知集合A={1,-m},B={1,m2}, ≤2}和集合N={x∈R|x2一x=0}关 且A=B,则m的值为 系的Venn图是 ☑课堂达标 1.若集合A={-2,0,2},B={0},则 A.A∈B B.B∈A 八类型三】 集合相等 C.ACB D.BCA 例3已知集合{1，a,b}与{a,a2,ab}相等， 2.集合{1,2}的子集有 ( 求实数a,b的值， A.4个 B.3个 [解].{1，a,b}={a,a2,ab} C.2个 D.1个 3.已知集合A={xx≥-2}，B={x-2≤ "ab=bab=1. x≤1}，则下列关系正确的是 当a=时，解得a=1或a二1， A.A=B B.ACB 1b=0, 当a=1时，不符合集合元素的互异性， C.BCA D.B∈A 合去：。新你怀 4.若集合M含有元素1，b,a,集合N含有 {b=1’ a 不符合集合元素的互异性，故舍去」 元素0，a+b,a,且集合M与集合N相 综上a=-1,b=0. 等，则a2024十b2025= 58K<< 中职新知探究学习 第二篇 课后检测雷达 二、填空题 7.已知集合A={2,3,6},则集合A的真子 一、选择题 集的个数是 1.下列结论正确的是 8.已知集合A={1,一2m},B={1,m},且 A.任何集合都有子集 A=B,则m的值为 B.任何集合都有真子集 三、解答题 C.{0}=0 9.指出下列各组集合之间的关系： D.{0}=☑ (1)A={1,2,4},B={xx是8的正约数}； 2.若集合M满足M{1,2},则满足题意 (2)A={x|-1<x<5},B={x|0<x<5}: 的M的个数为 ( (3)A=(xlx=2n,nEZ),B={xx=4n, A.2B.3 C.4 D.5 n∈Z}; 3.下列集合表示同一集合的是 A.A={(3,2)},B={(2,3)} B.A={3,2},B={2,3} C.A={(x,y)|x+y=1},B={yx+y =1} D.A={2,3},B={(2,3)} 4.已知集合A={x∈N-2<x<3},则集 合A的所有非空真子集的个数是( ) 10.已知集合P=(0,x,y},Q={2x,0,y2}, A.6B.7 C.14 D.15 且P=Q,求x,y的值. 5已知集合A={m品，小集合B=(m,m 十，0}，若A=B,则 ( A.m=1,n=0B.m=-1,n=1 C.m=-1,n=0D.m=1,n=-1 6.已知集合M={x|x是平行四边形}，N= {xx是矩形}，P={xx是正方形}，Q= {xx是菱形}，则 A.MCN B.P∈N C.Q三P D.Q二N 1.1.4集合的运算 ★[学习要求] 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用，提升 数学抽象素养 A∩B={x|x∈A且x∈B}. 中职新知链接 集合A与B的交 知识点① 集合的交集 集，可用如图中的阴 1.交集的概念 影表示 给定两个集合A,B,由既属于A又属于 如果两个集合没有 B的所有公共元素组成的集合，称为A, 公共元素，则它们的 B的交集，记作A∩B,读作“A交B”,即 交集为空集. >>>>>>59衔接教材一本通 1.1.3集合之间的关系 核心分类探究 变式训练 1.解：由0个元素构成的子集：心； 由1个元素构成的子集：{1)，{2》，{3)： 由2个元素构成的子集：{1,2)，{1,3}，{2,3}： 由3个元素构成的子集：{1,2,3). 由此得集合A的所有子集为心，{1}，{2}，{3}，{1,2}， {1,3},{2,3},{1,2,3〉. 在上述子集中，除去集合A本身，即1,2,3，剩下的 都是A的真子集. 2.解析：(1)因为集合A={xx≥-2}，B={x|一2≤x ≤1}，所以根据子集的定义可知B二A. (2)解x2-x=0,得x=1或x=0,故N={0,1},易得 N二M,其对应的Venn图如选项B所示， 答案：(1)C(2)B 3.解析：(1)：{2x,x十y={7,4,.2x=7 x+y=4或 j2.x=4 x= x+y=2解得 2(含去)或{y=5心xy=10 1 y=2 (2)A=1,-m,B=1,m2〉，且A=B,.m2= m,解得m=-1或者m=0.m=一1不满足集合中元 素的互异性，舍去，m=0符合题意， 答案：(1)10(2)0 课堂达标 1.D[因集合B中只有一个元素0，并且0∈A,于是得 集合B是集合A的子集，从而得B二A.] 2.A[集合{1,2}的子集有0，{1}，{2}，{1,2}共4个.] 3.C[因为集合A={xx≥-2}，B={x|-2≤x≤1}， 根据子集的定义可知B二A.」 4.解析：由题意a≠0，则b=0,a2=1,且a≠1，∴.a=-1, a2024+b2025=(-1)2024+0=1. 答案：1 课后检测雷达 1.A[A正确，B,C,D不正确.] 2.B[集合M满足M军{1,2}，集合1,2}的元素个数 为2，则满足题意M的个数为22-1=3.] 3.B[选项A中两集合表示的点不同；选项C中，A为 x十y=1图象上所有点的坐标，B为x十y=1的y的 取值，不是同一集合；选项D中，A为两个实数2,3组 成的集合，B中只有一个元素即点(2,3).故B对.] 4.A[A={x∈N一2<x<3}={0,1,2},满足条件的 集合有：{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，1,2}，共6个.] 5.C[由A=B,得m2=1,且”=0，m=m十n,解得m =士1，n=0.又m≠1.m=-1n=0.] 6,B[平行四边形、矩形、正方形、菱形间的相互关系如 图所示，由图可知，ACD错误，B正确，] 120 《《(((〈 数学 7,解析：因为集合A中有3个元素，所以集合A的真子 集有23-1=7个. 答案：7 8.解析：：A={1,-2m},B={1,m},且A=B,.m= 一2n,解得m=0..m=0符合题意. 答案：0 9.解：(1)B={1,2,4,8},可知集合A中的任意一个元素 都是集合B中的元素，故A手B.用Venn图表示更加 直观，如图1. A 24 图1 (2)在数轴上表示出集合A,B,如图2所示，由图可知 B≠A. 5 图2 (3)集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，B军A. 0都：徐老P-0老化北时=0,2=0，不两 足集合元素的互异性，不符合题意，若=) 1y=2.x 解得 =y=0或=子y=合 1 当x=y=0时，不满足集合元素的互异性，不符合题 意，当r=y=言时P=Q{0,宁}符合题 意故x子y=司 1 1.1.4集合的运算 核心分类探究 变式训练 1.解析：(1)因为M={0,1,2,3},N={x0<x<3),所 以M∩N={1,2). (2)方法1定义法 M∩N={x-4<x4}∩{xx< -5或x>5}=0. 方法2数轴法将集合M和N在数轴上表示出来，如 图所示， N IN -5-4 0 可知M∩N=必.] 答案：(1)D(2)B 2.解析：(1)MUN={-1,0,1)U{0,1,2}={-1,0,1, 2}. (2)在数轴上表示集合M,N,可知MUN={xx<-5 或x>-3.故选A. -5-30 5 答案：(1)B(2)A 3.解析：在集合U中，因为x∈Z,所以x的值为一5一4， -3,3,4,5,所以U={-5,-4,-3,3,4,5).又A={x |x2-2x-15=0}={-3,5},所以0A={-5,-4, 3,4,CB={-5,-4,5〉. 答案：{-5，-4,3,4}{-5，-4,5)