1.1.1 集合的概念&1.1.2 集合的表示方法-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

中职新知探究学习 第二篇\ 第二篇 中职新知探究学习 第一章集合 1.1集合及其运算 1.1.1集合的概念 1.1.2集合的表示方法 ★[学习要求] 1.理解集合的概念，熟练掌握几个常见数集 2.掌握表示集合的常用方法：列举法和性质描述法， 例如，由x+1=x+2所有解组成的集合就 中职新知链接 是空集 知识点① 集合的相关概念 5.数学中常用的数集 所有非负整数组成的集合，称为自然数 1.集合 集，记作N.0是自然数集N的一个元素. 一般地，把一些能够确定的、不同的对象 在自然数集N中，去掉元素0的集合，称 汇集在一起，就说由这些对象的全体组 为正整数集，记作N+或N*. 成一个集合（有时简称集），组成集合的 所有整数组成的集合，称为整数集，记作 每个对象都是这个集合的元素， Z.所有有理数组成的集合，称为有理数 2.符号表示 集，记作Q 一个集合，通常用大写英文字母A,B,C, 所有实数组成的集合，称为实数集，记 …表示，它的元素通常用小写英文字母 作R. a,b,c,…表示. 集合的表示法 如果a是集合A的元素，记作a∈A,读 知识点② 作“a属于A”. 1.列举法 如果a不是集合A的元素，记作a任A, 当集合的元素不多时，我们常常把 读作“a不属于A”. 集合的所有元素一一列举出来（相邻元 3.集合的性质 素之间用逗号分隔)，并写在大括号内， 关于集合的概念，再作如下说明： 这种表示集合的方法称为列举法. 2.描述法 (1)集合的元素必须是能够确定的. (2)对于一个给定的集合，集合中的元素是 一般地，如果属于集合A的任意一 个元素x都具有性质(x),而不属于集 互异的.这就是说，集合中的任何两个 合A的元素都不具有性质p(x),则性质 元素都是不同的对象，相同的对象归入 同一个集合只能算作集合的一个元素. p(x)称为集合A的特征性质.于是，集合 A可用它的特征性质p(x)表示为A={x 4.集体的分类 ∈I|(x)},它表示集合A是由集合I中 (1)含有有限个元素的集合称为有限集； 具有性质p(x)的所有元素组成的.这种 (2)含有无限个元素的集合称为无限集. 用特征性质表示集合的方法称为性质描 (3)特别地，把不含任何元素的集合称为空 述法，简称描述法。 集，记作0 >>>>>53 衔接教材一本通 数学 元素与集合的关系 核心分类探究 八类型二 八类型一 集合的概念 例2给出下列关系：①3∈R:②3∈Q: 例1考查下列每组对象能否组成一个集 ③一3Z;④一√3庄N.其中正确的个数为 合，并说明理由 (1)2025年全国高考数学试卷中的所有 A.1 B.2 C.3 D.4 难题； [解析 B [号是实数，①正确：5是无 (2)观看天宫一号与天宫二号自动交会 对接的电视观众； 理数，②错误；一3是整数，③错误；一√3 (3)接近1的全体实数； 是无理数，④正确，所以正确的个数 (4)篮球比林书豪打得好的球员. 为2.] [解](1)试卷中的哪些题才能称为是 规律方法 “难题”，是无法确定的，故不能组成一个 判断元素与集合关系的两种方法 集合.(2)元素“观众”是确定的，所以能 组成一个集合.(3)接近1的实数没有一 如果集合中的元素是直接给出 个明确的标准，所以这些实数是无法确 直 的，只要判断该元素在已知集 定的，不能组成一个集合.(4)哪些球员 接 合中是否出现即可.此时应首 比林书豪打得好是不确定的，所以不能 法 先明确集合是由哪些元素 组成一个集合， 构成. 规律方法 对于某些不便直接表示的集 判断一些对象能否构成集合的方法 合，只要判断该元素是否满足 (1)判断每个对象是否具有确定性是判 推 集合中元素所具有的特征即 断其能否构成集合的关键， 理 可.此时应首先明确已知集合 (2)判断一个对象是不是确定的，关键 法 的元素具有什么特征，即该集 就是要找到一个明确的衡量标准. 合中元素要符合哪种表达式或 提醒：注意集合中元素的互异性、无序性 满足哪些条件. [变式训练] [变式训练] 1.下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； 2.用符号“∈”和“氏”填空： (2)不超过20的非负数； 吃 N; (2)1 Z: (3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (3)-2 R; (4)元 Q; (4)3的近似值的全体. (5)32 N; (6)0 0. 八类型三 集合的性质 例3已知集合A含有三个元素1,0，x.若 x2∈A,求实数x的值 [解]若x2=0,则x=0,此时集合A中 有两个相同元素0，不符合集合中元素的 互异性，舍去.若x2=1,则x=士1.当x =1时，集合A中有两个相同元素1，舍 去；当x=一1时，集体A中三个元素为 1,0,一1，符合.若x=x,则x=0或x=1, 不符合互异性，都舍去.综上可知：x=一1 54< 中职新知探究学习 第二篇 规律方法 (2)大于1且小于7的有理数； 根据集合中元素的特性求解字母取值 (3)由直线y=一x+4上的横坐标和纵 (范围)的3个步骤 坐标都是自然数的点组成的集合 求解？根据集合中元素的确定性，解出字母所有取值 检验子根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验 作答7 写出所有符合题意的字母的取值 [变式训练] 3.已知集合A是由0，m,m2一3m+2三个 元素组成的集合，且2∈A,则实数m为 A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可 》类型四列举法与描述法的综合运用☑ 例4用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数组成的集合； (2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的 ☑课堂达标 解集； (3)不等式x一3>2的解的集合； 1.下面各组对象中不能形成集合的是 (4)二次函数y=x2一10图象上的所有 ( 点组成的集合， A.所有的直角三角形 [解](1)比5大3的数显然是8，故可 B.一次函数y=x十1 表示为{8 C.高一年级中家离学校很远的学生 (2)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化 D.大于2的所有实数 为：(x-2)2+(y+3)2=0, 2.有下列四个关系式：①5∈k;②EQ: /2, {y=-3, .方程的解集为{(2，一3)}. ③0∈N;④0∈{0}.其中正确的个数是 (3)由x-3>2,得x>5.故不等式的解 A.1 B.2 C.3 D.4 集为{x|x>5}. (4)“二次函数y=x2-10的图象上的所有 3.集合A={x∈N|x-5<0}中的元素个 点”用描述法可表示为{(x,y)川y=x2-10. 数是 ( A.0 B.4 C.5 D.6 规律方法用列举法和描述法表示集 4.用列举法表示集合{(x,y)|x十y=3,x∈ 合的三点要求 N,y∈N}为 一一明确集合中的元素 课后检测雷达 官 明确元素满足的条件 一、选择题 自 根据集合中元素的特点来选 1.下列给出的对象能构成集合的有( 择表示集合的方法 ①某校2025年入学的全体高一年级新 [变式训练] 生；②√2所有近似值；③某个班级中学习 4.选择适当的方法表示下列集合. 成绩较好的学生；④不等式3x-10<0 (1)由方程x(x2-2x-3)=0的所有实 的所有正整数解. 数根组成的集合； A.1个B.2个 C.3个 D.4个 >>>)>>55 衔接教材一本通 数学 2.集合{x∈Z-1<x<3}= 三、解答题 A.{0,1,2} B.{-2,-1,0} 9.已知集合A={m+2,2m+m},若3∈ C.(-3,1) D.(-1,3) A,求实数m的值. 3.若a∈{2，a2-a},则a的值 A.0 B.2 C.0或2 D.-2 4.集合{(x,y)1y=2x-1}表示 A.方程y=2x一1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的 集合 10.用适当的方法表示下列集合. D.函数y=2x一1图象上的所有点组成 (1)方程x2-4x十4=0的实数根组成的集 的集合 合A; 5.已知集合A={-1,0,1,2},集合B={y y=|x|,x∈A},则B= () (2)方程组一y=0, 的解集B; A.{-1} 2x-y=1 B.{1,2} C.{0,1,2 D.{-1,0,1,2} (3)二次函数y=x2-1的所有函数值组成 6.已知集合M={m-2,m2+4m,9},且-3 的集合C; 是M中的一个元素，则m= () (4)二次函数y=x2一1的图象上所有的点 A.-3 B.-1或3 组成的集合D. C.3 D.-3或-1 二、填空题 7.下列四个说法中正确的个数是 ①若a∈N,则一a庄N; ②若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2； ③所有小的正数组成一个集合. 8.设集合A={xx2-ax-5=0,x∈R),且 一5∈A,则实数a= 1.1.3 集合之间的关系 ★[学习要求] 1.理解子集的概念及子集相关的一些结论. 2.理解真子集的概念，理解子集与真子集的区别与联系， 3.理解集合相等的定义，能运用相关知识解决集合相等简单问题. 4.能正确地运用符号表示集合与集合的关系 当集合A不是集合B的子集时，记作A 中职新知链接 车B或B卫A,读作“A不包含于B”,或 知识点① “B不包含A”. 1.子集的定义 2.子集的性质 如果集合A的任意一个元素都是集合B (1)任意一个集合A都是它本身的子集 的元素，那么集合A称为集合B的子集， (2)规定空集是任意一个集合的子集，也就 记作A二B或B二A,读作“A包含于B”, 是说，对于任意一个集合A,都有 或“B包含A” 二A. 56(((<(<<.p= 3m,4g=3m+p2, △=p2-2p+1-（3m+p2）+4m=-2p+1- m十4m, 3 =-2p+1-专m十4m=-2(m）+1-m十 4n=1,.△>0， .无论m取任何值，二次函数y=x2十px十q的图 象与直线y=x十m总有两个不同的交点. 第二篇 中职新知探究学习 第一章集合 1.1集合及其运算 1.1.1集合的概念 1.1.2集合的表示方法 核心分类探究 变式训练 1.解：(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成 集合， (2)任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过 20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”,两 者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能 构成集合； (3)“一些，点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些 点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一 些点”不能构成集合： (4)“√3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难 判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“√3的近似 值”不能构成集合. 2.解析：由N,Z,R,Q,⑦所表示的集合，由元素与集合的 关系可判断(1)庄(2)∈(3)∈ (4)庄(5)∈(6)旺. 答案：(1)年(2)∈(3)∈(4)庄(5)∈(6)年 3.B[由2∈A可知：若m=2,则m2一3n十2=0，这与 n2一3n十2≠0相矛盾：若m2一3m十2=2，则m=0或 m=3,当m=0时，与n≠0相矛盾，当m=3时，此时 集合A的元素为0,3,2，符合题意.] 4.解：(1)该方程的实数根为一1,0,3，故可以用列举法 表示为{一1,0,3》，当然也可以用描述法表示为{xx (x2-2x-3)=0}. (2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用 列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x ∈Q1<x7}. (3)用描述法表示该集合为M={(x,y)川y=一x十4， x∈N,y∈N},或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1， 3),(2,2),(3,1),(4,0)}. 课堂达标 1.C[所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一 次函数y=x十1，元素是确定的，可以形成集合，大于 2的所有实数，能形成集合，而高一年级中家离学校很 远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的 学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生 不能形成集合.] 2.C[子∈Q.②错；①③④正确.] 3.B[A={x∈N+|x-5<0}={1,2,3,4〉，所以集合A 中的元素个数有4个，] 参考答案 4.解析：集合{(x,y)x十y=3,x∈N,y∈N}为，点集，满 足条件的点为(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0). 答案：{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)) 课后检测雷达 1.B[对于①：某校2025年入学的全体高一年级新生， 对象确定，能构成集合，故①正确：对于②：√2的所有 近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，因 此对象不确定，故不能构成集合，故②错误；对于③： 某个班级中学习成绩较好的是相对而言的，故这些学 生对象不确定，不能构成集合，故③错误；对于④：不 等式3.x一10<0的所有正整数解有1,2,3，能构成集 合，故④正确.」 2.A[-1<x<3,且x∈Z,集合为{0,1,2}.] 3.A[若a=2,则a2一a=2,不符合集合元素的互异 性；若a=a2-a,则a=0或a=2(舍)，此时{2，a2-a} ={2,0},符合题意.综上所述：a=0.故选A.] 4.D[集合{(x,y)|y=2.x-1}的代表元素是(x,y),x, y满足的关系式为y=2x一1，因此集合表示的是满足 关系式y=2x-1的点组成的集合.] 5.C[因为B={y|y=x|,x∈A},A={-1,0,1,2}, 所以B={0,1,2.故选C.] 6.A[集合M={m-2,m2+4m,9},且-3∈M.①当 m-2=-3,即n=-1,此时，m2+4m=-3,集合M 中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去：②当 m2十4m=-3时，m=-1(舍)或m=-3,若m=-3, 则m-2=-5,此时集合M={一5，-3,9}，符合题 意.综上所述，n=一3，故选A.」 7.解析：①若0∈N,则一0∈N,故①错误；②若a∈N,b∈ N,则a十b的最小值为2，错误，当a=b=0时，a十b 0:③所有小的正数组成一个集合，不符合集合中元素 的确定性.所以正确的个数为0. 答案：0 8.解析：集合A={xx2-ax-5=0,x∈R},-5∈A, ∴.25+5a-5=0,解得a=-4. 答案：一4 9.解：由3∈A,可得n十2=3，所以m=1,此时2n2十n =3,不合题意；或2m2十n=3.解得m=1(舍去)或m 3 答案：m=一2 10.解：(1)方程x2-4.x十4=0有两个相等的实数根2， 因此，其解集用列举法表示为A={2》,用描述法表 示为A={x∈Rx2-4x十4=0}. (2)解方程组{y=0:得{=1·因此，用列举法 12r-y=1,行{y=1, 表示为B={(1,1),用描述法表示为B={(x,y) x-y=01 12x-y=1J (3)二次函数y=x2一1的函数值的取值范围是y≥ 一1，代表元素为y,因此，用描述法表示为C={yy =x2-1),即C={y|y≥-1〉. (4)二次函数y=x2一1的图象上所有的点组成的集 合D中，代表元素为点(x,y),用描述法表示为D= {(x,y)ly=x2-1. >>>>>>>>119