第三章 第3节 反比例函数的图象与性质-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 10.如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y (3)直线y=a分别与直线l1,直线l2交 =x十4的图象分别与x轴，y轴交于 于点E和点F,当EF=1时，求a的值. A,B两点直线l2:y=x十4的图象分 别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO 中点，M(1,3)和V(3,3)是第一象限的 两个点，连接MN. (1)求直线12的函数解析式 (2)将线段MN向左平移n个单位，若 与直线11,2同时有公共点，求n的取值 范围； 第3节 反比例函数的图象与性质 衔接目标 初中阶段，我们学习了反比例函数，重，点研究它的定义、图象和性质，主要依赖于图 象的直观性.到了中职阶段，我们会进一步研究它的值域，变化特征，最值以及应用. 2.画反比例函数图象的一般步骤 初中知识复盘 (1)列表.(2)描点.(3)连线、 知识点①反比例函数的概念及解析式 3.图象与性质 1,一般地，形如y=飞(k为常数，k≠O)的函 k的符号 k>0 k<0 数，叫作反比例函数.其中反比例函数的 自变量x的取值范围是 的一切 图象的 实数 位置 2.反比例函数解析式的三种形式 所在象限 (y-冬（质为常数，k≠0）. 第一、三象限 第二、四象限 在同一象限 在同一象限 (2)y=kx1(k为常数，k≠0). 内，y随x的增 内，y随x的 (3)xy=k(k为常数，k≠0). 大而 增大而 知识点②“反比例函数的图象与性质 性质 在不同象限 在不同象限 1,反比例函数一为常数，≠0)的图象 内，第一象限 内，第二象限 y值大于第三 y值大于第 是 ,它有两个分支且关于 象限y值 四象限y值 对称. 42<< 初、中职基础知识衔接 第一篇\ 知识点③反比例函数中的几何意文 核心分类探究 1.如图，过反比例函数图象上 任一点P作x轴、y轴的垂 心类型一确定反比例函数的解析式_-网 线PM,PN,垂足分别为M, 例1如图，正比例函数y=一 √ N,所得矩形PMON的面积 3x的图象 S=lxyl= 2.反比例函数图象中有关图形的面积 与反比例函数y=飞的图象的一个交点 是A(m,√3).点P(2√3，n)在直线y= P(x,y) Px,y） 一上，过点P作？链的平行线，交反 o 比例函数y=飞的图象于点Q. (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求△OPQ的面积. P(x,y) p'(-x,-y) 0 S△APp=2|k S△ABC=|k [解] y 把A(m,B)代入=3之得 P(xy） 3m,m=-3,A(-3,3), 起A(-3同)代入y=皇得=g S矩形QAPB=k SOABCD=1k k=-35, 知识点④确定反比例函数的解析式 反比例函数的表达式为y=一3③ 1.方法 待定系数法（常常还会利用飞的几何意义 (2)把P(25,)代入y=- 3x得n= 求解析式，具体见上述知识点) 2.步骤 x2s=-2,∴P(25,-2),“PQ 3 (1)设所求反比例函数解析式为y=(臣为 ∥y轴，点Q的横坐标为2√3，把x= 常数，k≠0)； 23代入y= 3得y 35__3 25 2 (2)找出满足反比例函数解析式的点P(a, b); (3)将点P(a,b)代入解析式得=ab; 5,-}Q=--(-2) (4)确定反比例函数解析式y= 2 2· >>>>>43 衔接教材一本通 数学 规律方法 心类型二反比例函数的图象与性质☑ 根据题意，设反比例函 例2下列关于反比例函数y=一二的说法 设→数的解析式为y= 中，正确的是 待定 (k≠0) A.图象位于第一、三象限 系数 把它的 一对对应值 B.经过点(1,2) 法求 代→ (x,y)代入y=中， C.图象关于原点成中心对称 反比 2 D.当x<0时，y随x的增大而减小 例函 得到关于飞的方程 [解析]C[.k=一2<0，.该反比例 数解 解→解方程，求出常数飞 函数图形位于二、四象限，故A不正确， 析式 把飞的值代入反比例 不符合题意；1×2=2≠一2，.B不正 函数的解析式中即可 确，不符合题意；该反比例函数图象关于 写出解析式 原点成中心对称，故C正确，符合题意； k=一2<0，在每一象限内，y随x的 [变式训练] 增大而增大，故D不正确，不符合题意； 1.列表法、解析式法、图象法是三种表示函 故选C.] 数的方法，它们从不同角度反映了自变 (2)已知点A(-3,a),B(1,b),C(5,c)在 量与函数值之间的对应关系.下表是函 数y=2x十b与y=部分自变量与函数 反比例函数y=(<0)的图象上，下列 结论正确的是 () 值的对应关系： A.a<b<c B.a<c<b 2 a C.b<c<a D.c<b<a 2x+b 1 [解析]C[当<0时，反比例函数 7 x y=的图象位于第二，四象限，在不同象 (1)求a,b的值，并补全表格； 限内时，第二象限y值大于第四象限y (2)结合表格，当y=2x+b的图象在y= 值，在同象限内时，y随x的增大而增大， 飞的图象上方时，直接写出x的取值 点A(-3,a),B(1,b),C(5,c)在反比 范围 例函数y=(k<0)的图象上，又-3<1 2 <5,b<c<a.故选C.] 规律方法判断反比例函数增减性的 注意点 正确理解反比例函数的增减性，注 意自变量的取值范围，不能笼统地说y 随x的增大而增大（或减小），应指明在 某一象限内函数的增减变化情况： 初、中职基础知识衔接 第一篇 [变式训练] 心类型四反比例函数的实际问题 回 2.关于反比例函数y=一，下列说法正确 例4很多学生由于用眼不科学，导致视力 的是 下降，需要佩戴眼镜.研究发现，近视眼 A.该函数图象在一、三象限 镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反 B.当x<0时，y随x增大而减小 比例函数关系，其函数图象如图所示 C.若A(x1y)在该函数图象上，则x1y y度 =一4 400 D.若点M(xM,yM)和点N(xN,yN)在该 函数图象上，且xM>xN,则有且仅有 yM>YN 》类型三反比例函数的几何意义_☒ 00.25 x/米 例3如图，在平面直 (1)当近视眼镜的度数是200度时，镜片 角坐标系中，点A 焦距是多少米？ 是反比例函数y= (2)明明原来佩戴275度的近视眼镜，经 (k≠0)图象上的 过一段时间的矫正治疗并注意用眼健 x 康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到 一点，过点A作AB 了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多 ⊥y轴于点B,点C 是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于 少度？ 点D,若OD是△ABC的中位线，△ABC [解]设近视眼镜的度数y(度)与镜片 的面积为12，则k的值是 ( ) 焦距x(米)成反比例函数，解析式为y= A.-6B.-12C.6 D.12 飞(k≠0)，由题图可得，当x=0.25 [解]B[设，点A的坐标是为A(a,b), 则AB=-a,OB=b,.OD是△ABC的 时，y=400, 中位线，∴.OC=OB=b,∴.BC=OB+OC ∴.k=0.25×400=100,∴.反比例函数解 =2b,,△ABC的面积为12，AB⊥y轴， 析式为y= 100 2AB·BC=(-a)·26=-ab- 当y=200时，x= 100 =0.5, 12,即ab=一12，又，点A(a,b)是反比 200 例西数y=(≠0)图象上的一点， 即当近视眼镜的度数是200度时，镜片 焦距是0.5米。 =ab=-12,故选B.] 100 规律方法已知图形面积时，优先考 (2)当x=0.4时y=04 =250, 虑利用的几何意义，由面积得k,再 ∴.275-250=25（度）， 结合图象所在象限判断的正负，从而 答：明明的眼镜度数下降了25度 得出k的值，代入表达式即可， 规律方法 解决与反比例函数有关 [变式训练] 的实际问题时，一般要先确定函数解析 3.如图，点A在双曲线y 式，再利用图象找出解决问题的方案， =9上，点B在双曲线 要特别注意自变量的取值范围.具体的 y=乙上，且AB∥)轴， 过程大致可以总结为①建立反比例函 数模型；②求出反比例函数表达式； 则△ABC的面积等于 ③结合函数表达式、图象性质作出解 答，特别注意自变量的取值范围 >>>>>>45 衔接教材一本通 数学 [变式训练] 4.某天水温和室温均为 y/℃ 3对于反比例函数y一是下列说达正确 100 20℃，智能饮水机接 的是 通电源后开始自动加 A.图象经过点(2，一1) 热，水温每分钟上升 20 B.图象位于第二、四象限 10℃，加热到100℃08 x/min C.当x<0时，y随x的增大而减小 时，饮水机自动停止加热，水温开始下 D.当x>0时，图象在第四象限 降.在水温下降的过程中，水温y(℃)与 4.若函数y=一2x”是反比例函数，则m的 通电时间x(min)成反比例关系，a分钟 值是 时水温下降到室温，水温y(℃)与通电时 间x(min)之间的关系如图所示. 课后检测雷达 (1)当0≤x≤8时，求出y与x之间的函 一 、选择题 数关系式； 1.反比例函数y= (k≠0)在各自象限内， (2)求自动停止加热到水温降到室温的 时间. y随x的增大而增大，则下列各点可能在 这个函数图象上的是 ( ) A.（1,0) B.(-1,0) C.(1,4) D.(-1,4) 2.在反比例函数y=2a一4的图象上有两点 A(1y1),B(x2y2),当x1<0<x2时， 有y1>y2,则a的取值范围是 A.a<2 B.a>2 C.a<0 D.a>0 3.在平面直角坐标系中，反比例函数y= (k≠0)的图象如图所示，点A,B不在该 反比例函数的图象上，则k的值可以为 ☑课堂达标 A(-2,2)。 1.下列各点中，在反比例函数y=一8图象 2 上的点是 ( B(1,-2) A.（-4,2) B.(-2,-4) A.-1 C.(-2,1) B.-2 C.-3D.-4 D.(2,1) 2.直线y=ax十b(a,b是常数且a≠0)经过 4.已知点A(x1,-2),B(x2,-√2)，C(x3, 第二、三，四象限，则反比例函数y=a+b 3》在反比例函数y=2的图象上，则， 的图象位于 ( x2,x3的大小关系是 ( A.第一、二象限 B.第一、三象限 A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3 C.第二、四象限 D.第三、四象限 C.I3<x2<1 D.c3<x1<x2 46<< 初、中职基础知识衔接 第-篇 5.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例 (2)在图中画出该函数图象， 函数y=一1的图象上，且西<0<x2,则 2 y1y2的关系是 A.y>y2 B.y<y2 C.y1+y2=0 D.y1-y2=0 6.如图，点A在双曲线 y-2(x>0)上，点 B B在双曲线y2= C 0 10.南宁至玉林高速铁路已于去年开工建 (x<0)上，AB∥x轴，点C是x轴上一 设，玉林良睦隧道是全线控制性隧道， 点，连接AC,BC,若△ABC的面积是6， 首期打通共有土石方总量600千立方 则k的值为 () 米，总需要时间y天，且完成首期工程 A.-6 B.-8 限定时间不超过600天.设每天打通土 C.-10 D.-12 石方x千立方米 二、填空题 (1)求y与x之间的函数关系式及自变 7.若函数y=(m十1)x”-4m6是y关于x 量x的取值范围； (2)由于工程进度的需要，实际平均每 的反比例函数，则m= 8.如图是反比例函数y= 天挖掘土石方比原计划多0.2千立方 米，工期比原计划提前了100天完成， m一4图象的一支，根据图 求实际挖掘了多少天才能完成首期 象可知常数m的取值范 0 工程 围是 三、解答题 9.已知反比例函数y=3+4,且当x=3时， y=-2. (1)求a的值； >>>>47课堂达标 1.A[:函数y=(m十1)x㎡-3是正比例函数，且图象 经过第一、三象限，∴.m十1>0，且m2-3=1,解得m >-1,且m=士2，m=2,故选A.] 2.C[由题意，得：m-1≠0，m=1,解得：m=一1， .直线解析式为：y=一2x十2，直线经过一、二四象 限，不经过第三象限：故选C,] 3.C[当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开 水面时，由题意得，S1y=S1h一S2ux,整理得，y= S2v 。x土h,一2巴<0，∴y随x的增大而减小， 可知y与x之间函数关系的图象大致为y先保持 不变，然后y随x的增大而减小，故选C.] 4.解析：根据函数图象可知，CE 卡ykm 为一次函数，且过点C(1,150),200 D(2,75),设CE的解析式为：y =kx十b,则k+6=150 150-C {2k+b=75 解得：么2E的解折气7万 D 为：y=-75x+225,当y=0 E 时，则一75.x十225=0，解得：x 0 2 x/h =3,∴小亮从家到青岛崂山景 区一共用了3个小时. 答案：3 课后检测雷达 1.D[由已知，k>0,.k=1.] 2.D[由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气 温t(℃)与高度h(km)的函数关系是t=20一6h,这是 一次函数关系；故选D.] 3.B[A(3,n),点B(-3,n),∴.A与B关于y轴对 称，即这个函数图象关于y轴对称，故选项A不符合 题意； ,点A(3,n),点C(4,n十2)，.当x>0时，y随x的 增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题 意.故选B.」 4.A[对于A,当x=0,y=2×0-1=-1,故A正确； 对于B,=2>0,则y随x的增大而增大，B错误：对 于C,当>分时y>2×分-1>0，故C错误；对于 D,k=2>0,b=一1<0， .图象经过一、三、四象限，故D错误.] 5.D[:a<0,.y=ax随x的增大而减小，.A、B错 误.又y=x十a的图象经过点(0，a),且y随x的增大 而增大，故C错误，D正确.] 6.B[由一次函数y=mx十n的图象过一，二，四象限， y的值随着x值的增大而减小；故①不符合题意：由图 象可得方程组{二十的解为{二23，即方程组 (y=nx十n y=2 二=b的解为二)3：故@符合题意：由一次西 (y一mx=n 1y=2 数y=m.x十n的图象过(2,0)，则方程mx十n=0的解 为x=2:故③符合题意：由一次函数y=a.x十b的图象 过(0，-2)，则当x=0时，ax十b=一2.故④不符合题 意；综上：符合题意的有②③，故选B.] 7.解析：：正比例函数y=kx(k<O),∴y随x的增大而 减小，当x=1时，y=k,当x=3时，y=3k, :当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4， .k一3k=4,解得k=一2. 答案：一2 8.解析：直线AB解析式为y1=k1x十b1,过点A(0, 2),则代入有y1=k1x十2，将B(2,3)代入解析式得 参考答案 2k1+2=3 1 1=2,b1=2 61+61=3+2=号： :直线BC解析式为y2=k2x十b2,根据题意得： 部泽低7 1b2=7 ∴.直线BC解析式为y=-2.x十7，.k2十b2=-2+7 =5,设直线AC解析式为y3=k3x十b3.将A(0,2),C (3,1)坐标代入得 1 3k十6=1，解得：=一3， 1b3=2 （(b3=2 +s=-3+2=号 5 .k2+b2>k3+b3. 答案：号，> 9.解：(1)设y与x之间的关系式为y=kx十b(k≠0)， 将(0,80)，(150,50)代入，得/80=b: 150=150k+b 解得=80， k=-0.2,y与x之间的关系式为y=-0.2x +80. (2)当x=240时y=-02×240+80=32.器× 100%=32%, 故该车的剩余电量占“满电量”的32%. 10.解：(1)对于y=x十4，当x=0,y=4,.B(0,4),当y =0,x=一4，.A(一4,0)，C为AO中点，.OC= 2,即C(-2,0), 将C(-2,0)代入y=m.x+4, 得出：0=-2m十4，所以m=2,∴y=2x十4， (2)NM向左平移n个单位后，M(1-n,3),N(3一n, 3),NM与l1,l2同时有公共点，则M(1一n,3)在1 上，3=1-n+4 n=2,又N(3-n,3)在l2上， 3=2(3-n)+4 7 (3):y=a与l1,l2交于点E、F, 则a-4a.r(2a: 当EF=1, 则号-2=1或号-2=-1 a1=6,a2=2,即a的值为6或2. 第3节 反比例函数的图象与性质 知识点1 1.不等于0 知识点2 1.双曲线原点3.减小增大 知识点3 1.k 核心分类探究 变式训练 1,解：)当x=二分时，一7+6=a,当x=a时，2a十b= 1,.a-b=-7, 12a+b=1. >>>>>>>>115 衔接教材一本通 解得a-2, b=5, .一次函数的解析式为y=2x十5. 当x=1时，y=7, k=7,反比例函数的解析式为y= 当x=一 =-2;当x=一2时，y 7 一2 补全表格如下： 7 2 一2 1 2.x+b -2 7 x -2 2 (2)由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为 （名-21,7)当y=2r十6的国象在y=兰 的图象上方时，x的取值范固为一？<工<0或x> [A,由反比例函数y=生可知一4<0，则主 图象在第二、四象限，故不符合题意；B.当x<0时，y 随x增大而增大，故不符合题意；C.若A(x1y1)在该 函数图象上，则x1y1=一4，故符合题意；D.若点 M(xMyM)和点N(xN,yN)在该函数图象上，当0>xM >xN或xN<xM<0时，yM>yN,当xN<O<xM时， yM<yN,故不符合题意；故选C.] 3.解析：如图，延长AB交x轴于D,连接OA、OB, y B 0 D :AB∥y轴，Sa0aD=合X7=3.5,S%an= ×9 =4.5 ∴.S△OAB=S△aAD-S△OBD =4.5-3.5=1, S△ABC=S△OAB=1,故答案：1. 答案：1 4.解：(1)设加热过程中函数解析式为y=kx十b,点(0， 20),(8,100)在函数图象上， 8k+b=10 ,解得 1b=20 6二20当0≤x≤8时·y与x之间的函效关系式 为：y=10.x+20: (2)点(8,100)在反比例函数图象上，设反比例函数 解析式为y=”,n=800,反比例画数解析式为： x Jy800 x 当y=20时，x=40,即a=40, .自动停止加热到水温降到室温的时间为：40一8= 32(分钟)， 即自动停止加热到水温降到室温的时间为32分钟 116(《《(<(< 数学 课堂达标 ①A[由y三得，xy三8，对于A,一4X22 一8点(-4,2)在反比例画数y=一8图象上，该选 项符合题意；对于B,一2×（一4）=8， “点（一2，一4）不在反比例画数y=一8图象上，该选 项不合题意；对于C,,-2×1=一2，.点（一2,1）不 在反比例函数y=二三图象上，该选项不合题意：对于 D,:2×1=2,点(2,1)不在反比例函数y=- ⑧图 象上，该选项不合题意：故选A.门 2.C[:直线y=a.x十b(a,b是常数且a≠0)经过第二、 三、四象限，.a<0,b<0; .∴.a+b0 反比例画数y=十少的图象位于第二，四象限故选C] 3.C[把x=2代入y=2得，y=1,则(2，-1)不在图 x 象上，故A错误；>0，.图象位于第一、三象限，故 B错误；k>0,.当x<0时，y随x的增大而减小， 故C正确；k>0,当x>0时，图象在第一象限，故D 错误.故选C.] 4.解析：，函数y=一2xm是反比例函数，.m=一1. 答案：一1 课后检测雷达 1.D[:反比例画数y=冬(k≠0)在各自象限内y随 x的增大而增大，'.k<0,对于A,k=1×0=0,不符合 题意； 对于B,k=一1×0=0，不特合题意： 对于C,k=1×4>0,不符合题意； 对于D,k=一1×4=一4<0，符合题意.故选D.] 2,A[c1<0<x2时，y1>y2,.反比例函数在二、四 象限，∴.2a-4<0,解得a<2,故选A.] 3.C[由图象可知：A(-2,2),B(1,-2),.-2×2<k <1×(一2)，即：一4<k<一2，.k的值可以为一3.故 选C.] 4.B[当y=-2时，2=-2，解得1=-1：当y=一2， .xI 2=-反，解得：x2=-2: x 当y=3时，2=3，解得：x=受： 3 T3 x2<x1<x3.故选B.] 5.A[:点A(x1y1),B(x2y2),都在反比例函数y= 1的图象上，k=一1<0，图象位于第二、四象限 内，且在不同象限内，第二象限值大于第四象限值， :x1<0<x2,点B在第四象限，点A在第二象限， y2<0<y1.故选A.] 6.C[如图，连接OA,OB,设AB与y轴交点为M, B 0 AB∥x轴，.ABLy轴，S△ABC=S△A0B=6, ∴.S△OM= 21k1,SaA0w=×12X1=1, SAANC=SANO=SAOM+SANOM61 =6,解得及=士10.：点B在双曲线yg=冬(x<0) 上，且B在第二象限，k<0,k=一10，故选C.] 7.解析：函数y=(m十1).x”-m6是y关于x的反比 例函数，.m十1≠0且m2-4m-6=-1,解得，m= 子 答案：5 8,解析：：反比例函数y=m二4图象的一支位于第二象 限，.m-4<0,解得<4，故答案为：m<4. 答案：m<4 9.解：(1)把x=3y=-2代入y=3+4得，-2=34， 3 解得a=一9： (2)由(1)知反比例函数的解析式为y=一 当 =-6,-3,-2,-1,1,2,3,6时，y=1,2,3,6,-6,-3, 一2，-1， 描点，连线，则该函数图象如图所示， 年y 5升 …2 2克.43早923461x -2… -3 4 --5 10.解：(1)：共有土石方总量600千立方米，y=600 (x≥1). (2)由题意得600 600 x+0,2=100,解得x1=1,x2= -号〔负位合大)，经检验工=1是原分或方程的解】 +0.2=1.2(千立方米)，600÷1.2=500（天）. 即：实际挖掘了500天才能完成首期工程. 第4节二次函数 知识点1 b Aac-b2 2a _4a 减小增大增大减小 4ac-b2 4ac-b2 Aa 4a 知识点2 y >(0,0)正半轴负半轴两 核心分类探究 变式训练 1.解析：(1)①，抛物线的开口向上，.a>0,正确： ②：对标轴为x=一会>0a,6异号，即6<0，错 误；③，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，c< 0,错误；④当x=1时，y=a十b十c=0,正确.故第(1)问 正确的结论的序号是①④. 参考答案 (2)①a>0,b<0,c<0,.abc>0,错误； ②：时格铃为x=一名<1a>02a十6>0，正痛： ③图象经过点(-1,2)和(1,0)，.a-b十c=2,a十b 十c=0,.a十c=1,正确；④a十c=1,c<0,a>1, 正确.故第(2)问正确的结论的序号是②③④. 答案：(1)①④(2)②③④ 2解：1起A2,0B0,-6)两点代入y=-子2+ b红+c得：226叶c-0解得化二：这个三次 {c=-6, 画货的解折式为y=一合2十红一6 -4 (2),该抛物线的对称轴为直线x= =4， 2x() .点C的坐标为(4,0).AC=OC-OA=4-2=2, SaAx=号×ACX0B=2×2X6=6. 3解：y=2-+2=(-合)+2-华对称铅为 2 (①)当合>2，即≥4时，由国知，当x=2时，y装小=6 一2k. k x= (②)当-2<号<2，甲-4<6<4时，由国知，当=会 时y装小=2-3 4 x-2 （③)当合<-2，即≤-4时，由国知，当x=一2时， y装小=6十2k. 117