第三章 第1节 平面直角坐标系与函数初步-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

2.解析：(1)分式方程x。 2n=2m有增根，.增 程x-2+2x 根为x=2,去分母，得(1一2m)x=一2m,将x=2代入 上式，解得m=1. (2)①产生增根，由(1)得n=1,②此整式方程无解， 1-2m)r=-2m1-2m=0m=子综上所速m 1 1或m=2 答案：11(21或号 3.解：设A餐饮店人均消费金额为x元，则B餐饮店人 均消费金颜为(+10)元，由题房得：四0 解得：x=50, 检验：当x=50是原方程的解， .x十10=60，故A餐馆店人均消费金额为50元，则 B餐馆店人均消费金额为60元. 课堂达标 1C[对于A,安=号是一元一次方程，截选项不特 合题高：对于B十年不是方程，做途项不 1 x 3 符合题意：对于C,2x-1十2x十1 =1是分式方程，故 选项符合题意：对于D,3+2=号是一元一次方 程，故选项不符合题意.故选C.] 2.D[去分母得1-3(x-2)=-2,3x=9,解得x=3 当x=3时，x一2≠0，所以原方程的解为x=3.] 3.解析：去分母得，x(x-1)-(x-1)=x2, 解得x=合，检脸：将x=号代入r(-1)≠0原方 1 程的解为x=2 1 答案：x=2 课后检测雷达 1.B[观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知 数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不 是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均 属于整式方程.」 2.A[方程两边同乘2x(x一1)，得3(x一1)=2x,即3x -3=2.x.] 3.D[原方程可化为y +1=5去分母得y2+1=5y y 即y2-5y+1=0.] 4.D[乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x 个零，山超意得四盟一器] 5,A[方程两边同时乘x(x十1)，得x十1一mx=0,解 一m-·分式方程的解是负数，n一1<0 得x=1 m1. 又：x(x+1)≠0x+1≠0心m气≠-1心m≠0. .m的取值范围是m<1且m≠0，故选A.] 6.B[方程两边同时乘x-1,得2=x一1-m,解得x= n十3. :分式方程吕1一的解为正发加十8>0 .m>-3.又x≠1，即m十3≠1，m≠-2，∴m的 取值范围为m>一3且m≠-2，故选B.] 参考答案 7解折：查=2时吊宁。=宁当= m时，-m=2解得：m=一3，经检验m=一3 是原方程的解，∴.当x=一3时，b=2×(一3)-1=-7. 故答案为：子-7 1 答案：3 -7 8.解析3一x m=1,化简得：x=3一m, :3-x≠0，即x≠3，.3-m≠3，解得：m≠0，y2 2y十m=0有实数根，∴.△=b2-4ac=(-2)2-4×1X n≥0， 解得：m≤1，.综上m≤1且m≠0. 答案：n≤1且n≠0 9.解：(1)原方程去分母得x=6x-15,解得x=3. 检验：当x=3时，x(2x一5)≠0， 故原方程的解为x=3. (2)方程两边都乘以(x十2)(x一2)，去分母得3(x 2)+(x十2)(x-2)=x(x十2)，整理得3.x-10=2x, 解得x=10. 检验：当x=10时，(x十2)(x一2)≠0，.原方程的解 为x=10. 10.解：设这个学校九年级学生有：人，则3600X50 x 3600×60,解得x=300. x+601 经检验x=300是所列方程的解，且符合题意，即这 个学校九年级学生有300人. 第三章函数 第1节平面直角坐标系与函数初步 初中知识复盘 知识点1 1.(2)<(3)<(4)<2.0003.y1-y2 4.(1)纵(2)横5.(-a,b)(-a,-b) 6.(a+c,b)(a,b+c) 知识点2 1.1blla√a2+b22.(1)|x1-x2|(2)ly1-y2 知识点3 1.唯一确定自变量2.(1)图象法3.(3)平滑曲线 4.≠≥ 核心分类探究 变式训练 1.A[根据题意，“新”的坐标为(0,0)，其位置是坐标原 点，“创”的坐标为（一2,0），其位置在x轴负半轴上， 以“新”为原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正 方向建立平面直角坐标系，可得“技”字坐标是(1,1)， .“技”在第一象限.] 2.解析：由题意得，4一x>0,x十3≠0，解得，x<4且x≠ 一3.. 答案：x<4且x≠-3 3.A[后800m的速度为800÷(50-25)= 32(m/min),选项A正确，符合题意：中途停留了25一 20=5(min),选项B错误，不符合题意；当25≤t≤50 时，s关于t的函数图象是线段，即后800m速度不 变，选项C错误，不符合题意；整个登山过程的平均速 度为2000÷50=(m/min),选项D错误，不符合题意.」 课堂达标 1.D[:函数y= 5有意义，{520 √x-5 {Vx-5≠01 .x>5,故选D.] >>>>>>>>113 衔接教材一本通 2.C[将点P(一5,6)选向右平移3个单位长度，再向 下平移7个单位长度得到点Q,则点Q的坐标是 (一2，一1)，所以，点Q在第三象限，故选C.] 3.D[因为长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容 器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满， 且长方体是均匀的，所以初期的图像应是直线，当水 越过长方体后，注水需填充的体积变大，且此时水面 上升的高度也是随时间均匀升高，因此此时的图像也 是直线，但水面上升的速度比开始时要慢，因此四个 选项中D选项符合题意，故选D.] 1限桥：由是感移一行 解m-3<0得，m<3,4-2m<0得，m>2,原不等式 组的解集为：2<m<3,故答案为：2<m<3. 答案：2<n<3 课后检测雷达 1.A[1>0,2>0.点A在第一象限.] 2.C[由图Q点的坐标为(3,2).] 3.A[对于A,y=x2中，x可取正数，0，负数，所以取值 范围是全体实数，符合题意；对于B,y=√x一1中，x -1≥0解得x>1,不符合题意：对于C,y=十1中， 分母不能为0，所以x≠0，不符合题意：对于D,y 十2中分特不能为0，所以x叶2≠0，解得≠-2，不 符合题意.] 4.D[由已知，2m=4,2-n=3,解得m=2,n=-1, .点(m,n)在第四象限.] 北 东 5.B[ 10m 起始涖置 终点位置 .同学先向北偏东45°方向走20m,然后向南偏东方 向走20m,她现在所站位置在起，点的正东方向上，故 选B.] 6,C[由已知，y随着x的增大而匀速减小，故只有C 图象符合.] 7.解析：x=-2,|-2=2>1,.当x=-2时，y= (一2)2=4，故答案为4. 答案：4 8.解析：点M在第四象限，其横、纵坐标分别为正 数、负数，又：点M到x轴的距离为1，到y轴的距离 为4，.点M的坐标为(4，一1). 答案：(4，-1) Q,解：根据题邀得仁20解得x≥3自变量x的 取值范围是x≥3 10.解：菱形ABCD,∠BCD=120°，.∠ABC=60°. B(-1,0),.OB=1,OA=3,AB=2,.A(0,3) BC=AD=2,.C(1,0),D(2,W3),点D的坐标 为(2，√3). 114《(((<<(< 数学 第2节 一次函数的图象与性质 初中知识复盘 知识点1 2.0 知识点2 增大 一、二、三 一、三、四减小一、二、四二、 三、四 知识点4 3.上下上下 核心分类探究 变式训练 1.解：1)令y=0,则号x+1=0∴x=-2A(-2, 0),点A关于y轴的对称点为A',A'(2,0) (2)将A'(2,0),B(0,2)代入y=.x+b,得 2士h=0解得二。1“.直线A'B对应的函数解 b=2, 1b=2, 析式为y=一x十2 2.解：(1)因为一次函数的图象经过点P(0,一3)，所以设函 数解析式为y=kx一3. 因为该西数的图象与坐标轴的交点为点（是，0）和点 (0,一3)， 所以 ×是×3=6，解得质=士子，所以这个一次 3 画数的解折式为y=子一3或y=一是-3 3 2)级题意信二0。部释> 3.解：(1)把A(m,2)代入y=x得m=2,则点A的坐标 为(2,2)，把A(2,2)代入y=kx一k得2k一k=2,解得 k=2,所以一次函数解析式为y=2x一2； (2)观察函数图象得当x>2时，直线y=kx一k都在y =x的上方，即函数y=kx一k的值大于函数y=x的 值.所以自变量x的取值范围是x>2. 4.解：(1)设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买 B型新能源公交车每辆需y万元. 由短，得y释 1y=80. 即购买A型能源公交车每辆需60万元，购买B型新 能源公交车每辆需80万元. (2)设购买A型新能源公交车a辆，则购买B型新能 源公交车(10一a)辆，该线路的年均载客总量为万 人.由题意，得60a十80(10一a)650,解得a≥7.5. ,a≤10，.7.5≤a≤10. a是整数，.a=8,9,10. 由题意，知与a的关系式为0=70a十100(10-a) =-30a+1000. 一30<0，随a的增大而减小，∴.当a=8时，该 线路的年均载客总量最大，最大载客量为=一30X 8+1000=760(万人次)， .10一8=2（辆），∴.购买方案为购买A型新能源公交 车8辆，B型新能源公交车2辆，此时该线路的年均载 客总量最大，为760万人次.初、中职基础知识衔接 第一篇 第三章函数 第1节 平面直角坐标系与函数初步 6.点平移的坐标特征 初中知识复盘 P(a,6)- 左平移c个单位，P'(a一C,b): 知识点①平面直角坐标系中点的坐标特征 1.各象限内点(x,y)的坐标特征 P(a;b) 向右平移c个单位P (1)第一象限：x>0,y 第二象限第一象限 >0; P(a;6) 向上平移c个单位P ； （-,+)(+,+) (2)第二象限：x 0, 第三象限第四象限 P(a,b)向下平移c个单位P'(a,b-c): y>0; （-,-)(+,) (3)第三象限：x 0,y0; 口决：右加左减，上加下减： (4)第四象限：x>0,y 0. 知识点②平面直角坐标系中点的距离门 2.坐标轴上的点(x,y)的坐标特征 1.点到坐标轴及原点的距离 (1)点在x轴上台y= (1)点P(a,b)到x轴的距离是 (2)点在y轴上台x= P(a,b) y (3)原点的坐标台x=y= 3.各象限的角平分线上的点的坐标特征 (1)点A(x1y)在第一、三象限 角平分线上台x1= (2)点P(a,b)到y轴的距离是 (2)点A2（x2y2)在第二、四象限 (3)点P(a,b)到原点的距离是 角平分线上台x2= 2.平行于坐标轴的直线上两点间的距离 4.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 (1)P(x1,y),P,(x2,y)为平行于x轴的直 (1)平行于x轴的直线m上点 线11上的两点，PP2= 的 坐标相等； tsQ) (2)平行于y轴的直线n上点的 Q(xy2) Pe】 P22 坐标相等。 5.对称点的坐标特征 P(a,b)关于x轴对称 (2)Q(x,y),Q2(x,y2)为平行于y轴的直 P,(a,-b)； 线12上的两点，QQ2= P(a;b)- 关于y轴对称P, (3)P(x1y),P2(x2y2)为坐标系中任意 9 两点，PP2=√/(1-x2)2+（y1-y2)2; 关于原点对称 P(a;b)- P Pi(xy1) P(a,b) P2(zy) 0 P -----P ()线段P,P的中点坐标为（士。 口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号； y1十y2\ 关于原点对称都变号. 2 >>>》>>>31 衔接教材一本通 数学 函数的相关概念及自变量的 ②若点P在x轴上，则点P的坐标为 知识点 取值范围 1.函数的相关概念 ③若点P在第四象限内，则m的取值范 (1)函数：一般地，在某个变化过程中，如果 围是 有两个变量x与y,并且对于x在它允许 ④若m=2,则点P关于y轴的对称点为 取值范围内的每一个值，y都有 ,关于x轴的对称点为 ,关 的值与其对应，那么y是x的函数，x叫 于原点的对称点为 做 (2)已知，点P(2,3) (2)函数值：如果当x=a时y=b,那么b ①点P到x轴的距离是 ；到y轴 叫做当自变量为a时的函数值. 的距离是 ；到原点的距离 2.函数的表示方法 是 (1) ;(2)解析式法；(3)列表法。 ②若点P和点Q所在直线与x轴平行， 3.画函数图象的步骤 且PQ=3,则点Q的坐标是 (1)列表 表中给出一些自变量的值及 ③若点H(3,6),则PH的长为 其对应的函数值； 若点Q为线段PH的中点，则点Q的坐 (2)描写一在平面直角坐标系中，以自变 标为 量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐 [解析](1)①因为点P在y轴上，所以 标，描出表格中数值对应的各点： m=0,则2m一3=一3，故，点P的坐标为 (3)连线一按照横坐标由小到大的顺序， (0,一3).②因为点P在x轴上，所以2m 把所描出的各点用 连接起来. 4.函数自变量的取值范围 -3=0,解得m-所以点P的些标为 表达式形式 自变量的取值范围 (0小③因为点P在第四象限，所以 含有分式： 2m3<0解得：0<m<-④若m=2。 m>0 使分母不等于0的实 y=a 数，即x 0 则P(2,1),所以，点P关于y轴的对称，点为 含有二次根 使被开方数大于或等于 (一2,1)，关于x轴的对称点为(2，一1)， 式：y=W 0的实数，即x 0 关于原点的对称点为（一2，一1）. 含有分式与二 使被开方数大于或等 (2)①点P到x轴的距离为3，到y轴的 次根式y=a 于0且分母不为0的 距离为2，到原点的距离为√2十3= x 实数，即x 0 /13.②设Q(x,3),.PQ=3,∴.x-2 =3,解得x=5或x=一1，.Q点坐标为 核心分类探究 (5,3)或(-1,3).③PH= 类型一 平面直角坐标系 _M9 √/(3-2)2+(6-3)2=/10： 例1(1)已知P(m,2m-3)是平面直角坐 3+25 22 标系内的一点，试分别根据下列条件，直 设Q(x,y),则 接求出点P的坐标， 6+3_9 2 2 ①若点P在y轴上，则点P的坐标为 则点Q的坐标为（侵，号》 32< 初、中职基础知识衔接 第一篇 [答案]1①(0，-3)@（号，0）③0<m 规律方法求自变量取值范围的方法 (1)当函数解析式是整式时，自变量取 3④(-2,1) (2,-1)(-2,-1) 全体实数； (2)当函数解析式的分母中含有自变量 (2)①3 2/13 ②(5,3)或(-1,3) 时，自变量的取值要使分母不为零； ③./10④ 59 22 (3)当函数解析式是二次根式时，自变 量的取值必须使被开方式不小于零 规律方法求对称点的技巧 [变式训练] (1)对于坐标轴，关于谁对称谁不变， 一个取相反数； 2.函数y= 十(x+3)°中自变量x的 √4-x (2)关于原点对称，横、纵坐标分别互为 取值范围是 相反数； 心类型三_函数图象的分析与判断_一回 (3)关于直线y=x对称，横、纵坐标 互换； 例3某校与部队联合开展红色之旅研学活 动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营 (4)关于直线y=一x对称，横、纵坐标 地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校 互换且分别互为相反数， 出发，沿公路（如图）到爱国主义教育基 [变式训练] 地进行研学.上午8：00，军车追上大巴 1.为培养青少年的科学态度和科学思维， 并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车 某校创建了“科技创新”社团.小红将 领取研学物资，然后乘坐军车按原速前 “科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格 行，最后和师生同时到达基地，设军车与 纸中，若建立平面直角坐标系，使“创” 大巴离仓库的路为s,所用时间为t,则下 “新”的坐标分别为（一2,0），(0,0)，则 列图象能正确反映上述过程的是( “技”所在的象限为 技 创 新 仓库 基地 A.第一象限 B.第二象限 学校 C.第三象限 D.第四象限 营地 类型二，函数自变量的取值范围☑ 例2函数y= 2 一1十+2中，自变量x的 取值范围为 [解] 由题意得，x-1≠0，x+2≥0，解 得，x≥一2且x≠1，故答案为：x≥一2 且x≠1. [答案]x≥一2且x≠1 >>>>》>>33 衔接教材一本通 数学 [解]C[根据题意，函数s表示车与 2.将点P(一5,6)先向右平移3个单位长 大巴离仓库的路程，所用时间为t.对于 度，再向下平移7个单位长度得到点Q, A,该图象反映随着行驶时间增大，距离 则点Q所在的象限是 () 仓库越来越远，不符合题意；对于B,军车 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 到达仓库后停留了一段时间，函数图象 3.把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱 没有显示出来，不符合题意；对于C,图象 形容器内，现按一定的速度向容器内均 准确反映了题意，符合题意；对于D,图象 匀注水1min后将容器内注满.那么容器 函数一直下降，不符合题意.] 内水面的高度h(单位：cm)与注水时间t 规律方法分析函数图象的基本要点 (单位：s)之间的函数关系图象大致是 (1)分清函数图象的横、纵坐标代表的 量及函数中自变量的取值范围， (2)找转折点、交点（与坐标轴的交点或 两条线的交点)等特殊点，并弄清楚该 点的含义 y h/em y h/cm (3)判断不同段函数图象的增减性，注意 平行于横轴的线的纵坐标是一个常数. 0 60t/s 0 60t/s [变式训练] A B 3.生命在于运动，健康在于锻炼.如图是爱 y h/cm yAh/em 好运动的小聪某天登山过程中所走的路 程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函 60t/s 60s 数关系图象.则下列结论正确的是 ( 4.坐标系中，点P(m一3,4一2m)在第三象 s/m 限，则m的取值范围是 2000 课后检测雷达 1200 一、选择题 1.在平面直角坐标系中，点A(1,2)在 0 2025 50 t/min ( A.后800m的速度为32m/min A.第一象限 B.第二象限 B.中途停留了10min C.第三象限 D.第四象限 C.后800m速度在逐渐增加 2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标 D.整个登山过程的平均速度为48m/min 原点，点P的坐标为(2,1)，则点Q的坐 标为 ☑课堂达标 1.若函数y=x- 5 有意义，则自变量x的 取值范围是 A.x≠5 B.x≥5 A.(3,0) B.(0,2) C.x≤5 D.x>5 C.(3,2) D.(1,2) 34☐<< 初、中职基础知识衔接 第一篇\ 3.下列四个函数中，自变量x的取值范围 三、解答题 是全体实数的是 ( 9.在函数y=3中，求自变量x的取值 A.y=x2 B.y=√x-1 x-2 C.y=2+1 D.y=、 范围 x+2 4.如果单项式-x2my3与单项式2xy2-"的 和仍是一个单项式，则在平面直角坐标 系中点(m,n)在 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.某位同学先向北偏东45°方向走20m,然 后向南偏东45°方向走20m,她现在所站 位置在起点的方向为 ) A.正北 B.正东 10.如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的 C.正西 D.正南 顶点A,B,C在坐标轴上，若点B的坐 6.“漏壶”是一种古代计时 标为(-1,0)，∠BCD=120°，求点D的 器，在它内部盛一定量的 坐标. 水，水从壶下的小孔漏 出.壶内壁有刻度，人们 根据壶中水面的位置计 B O C 算时间.用x表示漏水时间，y表示壶底 到水面的高度.下列哪个图象适合表示y 与x的对应关系？（不考虑水量变化对 压力的影响) ) 二、填空题 1x2,x≥ 7.设函数y= ,当x=-2,y x,x<1 8.点M在第四象限，它到x轴的距离是1， 到y轴的距离是4，则点M的坐标为 >>>>35