第二章 第3节 分式方程及其应用-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 10.已知关于x的一元二次方程x2-(m十 (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且 2)x+m-1=0. x+十x号-x1x2=9,求m的值. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个 不相等的实数根； 第3节 分式方程及其应用 衔接目标 可化为一元一次方程的分式方程的解法是初中的重点知识，而含参的分式方程是 中职数学中的必备知识，要重点掌握， 3.增根与无解 初中知识复盘 (1)增根：使得原分式方程的分母（或最 知识点① 分式方程及其解法 简公分母)为 根。 1.概念：分母中含有 的方程叫做分 式方程 (2)分式方程无解的两种情况： 2.解分式方程的一般步骤 ①分式方程化为整式方程后，整式方程 解整式 无解，则分式方程无解； 分式去分母 整式方程 >x=d 检验 ②分式方程化为整式方程后，整式方程 方程方程两边方程 同乘最简 的解是分式方程的增根，则分式方程 公分 x=a是原方程 最简公分 母为0 无解. 的增根，原方程 无解 知识点② 分式方程的应用 最简公分 母不为0 1.列分式方程解应用题的一般步骤与列整 x=a是原方程的解← 式方程的步骤类似：审题、设未知数、列 口诀：一化、二解、三检验. 分式方程、解方程、双检验、作答. 26<< 初、中职基础知识衔接 第一篇 2.常见应用类型（从题目中找到一个量，分 一4=0，去括号得，3x十9一4=0，移项合 别用两个代数式表示.这两个代数式 并同类项得，3x=一5，系数化为1得，x 相等.) 号经检验，=一号是原方程的根 常见 常见等 基本数量关系 类型 量关系 规律方法去分母解分式方程的二般 总价 步骤 销售量= 销售额 第一次数量 (1)把各分式的分母因式分解； 打折 售价； 总价 销售 单 (2)在方程两边同乘各分式的最简公 售价=标价× 第二次数量 问题 分母； 折扣 价差（根据数量差 也可列等量关系) (3)去括号，把所有项都移到左边，合并 同类项； 工作时 间 工作量 (4)解整式方程； 原工作效率 工作总量 (5)验根，验根的基本方法是代入原方 工作效率 (注：题 工作量 改善后工作效率 程进行检验，但代入原方程计算量 干中未告诉工作总 工程 =提前完成的时间； 较大.而分式方程可能产生增根，就 量时，工作总量可 问题 甲的工作总量 是使分式方程的分母为0的根.因 以看作整体“1”)， 甲的工作效率 此我们只要检验整式方程的根，是 1 则工作时间 乙的工作总量 否使分式方程两边同乘的各分式的 乙的工作效率 工作效率) 时间差 最简公分母为0.若为0，即为增根； 若不为0，即为原方程的解. 同一路程 慢速 [变式训练] 行程 时间= 路程 问题 速度 同一路程 快速 1解方程：十气1 时间差 核心分类探究 类型二-- 解分式方程 回 1解分式方程：1)2二2+1=产 2 x-1 (2) 3 4 -322-9=0. 「解（1)方报2二2+1=2两边 x-1 心类型二根据分式方程解的情况求参数☑ 都乘x-1,得2(x-2)+x-1=-2,整 理并解得：x=1,检验：当x=1时，x一1 例2(1)已知关于x的分式方程x。一2 x-3 =0, 所以x=1是增根，即原分式方程无解. 3一无解，则k的值为 ( ) 3-x (2)3 4 A.k=2或k=一1 B.k=-2 x-3x2- 9=0去分母得，3(x十3) C.k=2或k=1 D.k=-1 >>>>27 衔接教材一本通 数学 (2)若关于x的分式方程一x=。 一有 八类型三 分式方程的实际应用 x-2 2 例32025年4月底， 增根，则及的值为 神舟十九号载人飞 [解]去分母，得kx一2(x一3)=一3， 船返回舱顺利返回 整理，得(k一2)x=一9. 东风着陆场，神舟十 当k=2时，方程无解，当≠2时，令x= 九号任务取得圆满 3,解得k=一1，所以关于x的分式方程 成功.某飞箭航模店 kx x-3 7无解时，k=2或6=一1 -2= 3 看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型 已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模 故选A. 型多5元，同样花费200元，购进“天宫” (2)-=,1去分母得：1-x=-1, x-2 2-x 模型的数量比“神舟”模型多2个 解得=后：分式方程有增根，“x一2 (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多 少元？ =0,即x=2 2 (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共 =2,.=1,经检验， 100个，且每个“神舟”模型的售价为35 =1是原方程的解 元，每个“天官”模型的售价为28元.设 答案：(1)A(2)1 购进“神舟”模型a个，销售这批模型的 规律方法根据分式方程解的情况求 利润为@元.若购进“神舟”模型的数量 参数的步骤 不超过“天宫”模型数量的子，则购进“神 (1)先将分式方程化为整式方程，并用 舟”模型多少个时，销售这批模型可以获 待定字母的值表示出方程的解 得最大利润？最大利润是多少？ (2)根据已知条件中方程的解（或解的 [解]（1)设“天宫”模型进价为每个x 范围)重新构造含待定字母的方程或不 元，则“神舟”模型进价为每个(x十5)元， 等式；若出现增根，令最简公分母为0， 依题意行-十2，舒行一20经 确定出增根的值代入整式方程即可求 检验，x=20是原分式方程的解，x十5= 得相关字母的值；若原分式方程无解， 25.即“天宫”模型的进价为每个20元， 要分两种情况讨论：①去分母后的新的 “神舟”模型的进价为每个25元. 整式方程本身无解，也就是Ax=B(B (2),购进“神舟”模型a个，则购进“天 ≠0)的形式，当x的系数A=0时，整 宫”模型(100-a)个，∴.w=(35-25)a+ 式方程不成立，无解；②讨论原分式方 (28-20)(100-a)=2a+800 程有增根。 ,购进“神舟”模型的数量不超过“天宫” (3)解方程（或不等式），求出待定字母 的值（或取值范围）. 模型数量的 (4)检验：排除解集内使分母等于零的值. a≤}(100-a),解得：a≤20. [变式训练] .=2a+800,k=2>0. 2若关于x的分式方程二2+2 .当a=20时，x=2×20+800=840(元)， 2-x =2m, 即购进“神舟”模型20个时，销售这批模 (1)有增根，则m= 型可以获得最大利润，最大利润为 (2)无解，则m= 840元. 28((((〈 初、中职基础知识衔接 第-篇 规律方法 用分式方程解决实际问题 2.分式方程、1 x-2 -3= 2一的解是（ 2-x 的一般步骤 实际 找等量 A.I-- 7 B.x=-1 关系 列分式方程 →解方程 3 问题设未知数 D.x=3 答←双检验 3分式方程1一，二的解为 [变式训练] 3.2025年前两个月消费市场持续恢复向 课后检测雷达 好，消费呈现平稳增长态势，服务零售额 一、选择题 增长12.3%，其中餐馆收入增长12.5%. 1.下列方程：①1十1=x:②十1-3=0； 现有A、B两家餐饮店，B餐饮店的人均 2 消费金额比A餐饮店多10元，在A餐饮 @名+ 3 =3,④若+若=1(a,6为 店总消费金额为500元的人数与在B餐 已知数)，其中分式方程有 饮店总消费金额为600元的人数相同， B.2个 分别求A、B两家餐饮店的人均消费 A.1个 C.3个 D.4个 金额 2将关于：的分式方程会=一去分特可 得 A.3x-3=2x B.3x-1=2x C.3x-1=x D.3x-3=x 1.在分式方程十2气-5中，设 x2 2x-1 =y,可得到关于y的整式方程为 A.y2+5y+5=0B.y2-5y+5=0 C.y2+5y+1=0D.y2-5y+1=0 4.甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于 个人原因没有和乙同时进行，乙先加工 30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙 的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后 两人同时完成.求乙每小时加工零件多 ☑课堂达标 少个？设乙每小时加工x个零件.可列 1.下列式子是分式方程的是 方程为 ) A. 23 A器 120 二30 4.x 3x-十3z千 B 1 B.120 120 1.2x =30 3 C.2x+2x1-1 12012030 C.1.2x 60 D.3'+2=1 4 D.120 120= 30 x 1.2.x60 衔接教材一本通 数学 5如果关于x的分式方程上开-0的 x-21 解是负数，那么实数m的取值范围是 ) A.m<1且m≠0 B.m<1 C.m>1 D.m<1且m≠-1 6分式方程，品=1-，” 一”1的解为正数，则 m的取值范围是 A.m>-3 B.m>一3且m≠-2 10.为进行某项数学综合与实践活动，小明 C.m<3 到一个批发兼零售的商店购买所需工 D.m<3且m≠-2 具.该商店规定一次性购买该工具达到 二、填空题 一定数量后可以按批发价付款，否则按 7.根据下表中的数据，写出a的值为 零售价付款.小明如果给学校九年级学 ,b的值为 生每人购买一个，只能按零售价付款， 结果 x 需用3600元；如果多购买60个，则可 2 m 以按批发价付款，同样需用3600元.若 代数式 按批发价购买60个与按零售价格购买 2x-1 3 b 50个所付款相同，求这个学校九年级学 x-1 生有多少人 x十1 a 2 8.若关于工的分式方程 一=1有解，且关 于y的方程y2-2y十m=0有实数根，则 m的范围是 三、解答题 13 9.解方程：(1)2x-5x 30<<衔接教材一本通 2解得x三号将x=号代入②，得y 2 方程 9 x2 组的解为 17 y= 4 第2节 一元二次方程及其应用 知识点1 1.一3.相等 知识点2 x=-b±B2-4ac 2a 知识点3 1.两个不相等 两个相等无2.一 aa 知识点4 (1士.x)” .b(a-x)(b-x)(a-2x)(b-2r) a 核心分类探究 变式训练 1.解：(1)(x-3)2=4,x-3=士2，x-3=2或x-3= -2,x1=5,x2=1; (2)2x2+x-3=0, a=2,b=1,c=-3, .△=b2-4ac=12-4×2×(-3)=25>0, .x=-b生-4ac=-1±25-1±5 2a 2×2 4 =1= (3)5.x2-2x-3=0,(x-1)(5.x+3)=0,∴x-1=0 或5.x十3=0，解得x1=1,c2=-片 2.(1)C[A=(-2)2-4×1×1=0,.一元二次方程 x2一2x十1=0有两个相等的实数根，故选C.」 (2)D[由题意可得：4=12-4=0，解得k=4, 1 m√+i=√厚-] 3.解析：根据根与系数的关系得x1十x2=一3，x1x2= m, :(x1+1)(x2+1)=-4, x1x2十(x1+x2)+1=-4, 即m-3十1=-4，解得m=-2. 答案：一2 4.解：设这批椽有x株，依题意得3(x一1)x=6210,整 理得x2-x-2070=0,解得x1=46,x2=-45(不合 题意，舍去) 即这批椽的数量为46株， 课堂达标 1.A[A.2x2-x十1=0符合一元二次方程的定义，是 一元二次方程，故此选项符合题意；B.2x2一y=0含 有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题 意；C.3.x十1=0是一元一次方程，故此选项不符合题 意；D.x十上=2不是整式方程，故此选项不符合题意] 2.A[4x2-4x=-1,.4x2-4x+1=0,∴A= (-4)2一4×4×1=0，∴.方程有两个相等的实数根.] 3.D[根据题意，塑封后的长为(38十2x)cm,宽为(23 十2.x)cm,面积为1000cm2,,∴.列方程为：(38十2.x) (23+2x)=1000.] 112《〈((<(< 数学 4.解析：，m、n是方程x2一3x-2=0的两个实数根， ..mn=- 2=-2,.2mn=-4. 1 答案：一4 课后检测雷达 1.B[,△=(-m)2-4×1×(-3)=m2+12>0, .方程x2-m.x一3=0有两个不相等的实数根，x1 ≠x2.] 2.B「设方程的另一个根为b,.b十（一2）=一3，.b= 一1，故选B.] 3.A[依题意，x2+2mx+m2+1=0∴.△=(2m)2-4 (m2十1)=一4<0，.方程无实数根，] 4.C[,x=a是方程x2+2x-2=0的一个根，.a2十 2a-2=0,即a2+2a=2,.2a2+4a+2025=2(a2+ 2a)+2025=2×2+2025=2029,故选C.] 5.B[,·关于x的方程2x2一6k=0有两个相等的实数 根，.△=02-4×2·（一6k)=0,.k=0,.k2-4=02 -4=-4,故选B.] 6.解析：，关于x的一元二次方程x2一a.x一2a十1=0， 一次项系数与常数项相等，.一a=一2a十1，解得：a =1. 答案：1 7,解析：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：2x(x 1 一1)=15，解得：x=6或x=一5（舍去）， 即参赛的球队数为6. 故答案为：6. 答案：6. 8.解析：当3为腰时，此时a=3或b=3,把x=3代入方 程x2-4.x一1十m=0得9-12一1十m=0,解得m 4,此时方程为x2-4x十3=0，解得x1=3,x2=1;当3 为底时，此时a=b,△=(-4)2一4(-1十m)=0,解得 m=5,此时方程为x2-4.x十4=0，解得x1=x2=2;综 上所述，n的值为4或5. 答案：4或5 9.解：y(y-3)+2y-6=0, y(y-3)+2(y-3)=0, (y-3)(y十2)=0，有y-3=0或y十2=0，解得y1= 3y2=-2. 10.解：(1)证明：△=[一(m+2)]2-4×1×(m一1)=n2 十4m十4-4m十4=m2+8..m2≥0，∴.m2+8>0, .无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)方程的两个实数根为x1,x2,x1十x2=m十 2,x1x2=m-1. x号+x号-x1x2=9,即(c1十x2)2-3.x1x2=9, .(m十2)2-3(n-1)=9,整理得m2十m-2=0, .(n十2)(m-1)=0,解得m1=-2,m2=1,.m的 值为-2或1. 第3节 分式方程及其应用 初中知识复盘 知识点1 1.未知数3.0 核心分类探究 变式训练 2十 1.解：2-1十x—五1， 去分母，得2十x(x十1)=x2-1, 去括号，得2十x2十x=x2-1, 移项、合并同类项，得x=一3. 检验：把x=一3代入(x十1)(x一1)，得（一3十1）（一3 一1)=8≠0，x=一3是原方程的解. 2.解析：(1)分式方程x。 2n=2m有增根，.增 程x-2+2x 根为x=2,去分母，得(1一2m)x=一2m,将x=2代入 上式，解得m=1. (2)①产生增根，由(1)得n=1,②此整式方程无解， 1-2m)r=-2m1-2m=0m=子综上所速m 1 1或m=2 答案：11(21或号 3.解：设A餐饮店人均消费金额为x元，则B餐饮店人 均消费金颜为(+10)元，由题房得：四0 解得：x=50, 检验：当x=50是原方程的解， .x十10=60，故A餐馆店人均消费金额为50元，则 B餐馆店人均消费金额为60元. 课堂达标 1C[对于A,安=号是一元一次方程，截选项不特 合题高：对于B十年不是方程，做途项不 1 x 3 符合题意：对于C,2x-1十2x十1 =1是分式方程，故 选项符合题意：对于D,3+2=号是一元一次方 程，故选项不符合题意.故选C.] 2.D[去分母得1-3(x-2)=-2,3x=9,解得x=3 当x=3时，x一2≠0，所以原方程的解为x=3.] 3.解析：去分母得，x(x-1)-(x-1)=x2, 解得x=合，检脸：将x=号代入r(-1)≠0原方 1 程的解为x=2 1 答案：x=2 课后检测雷达 1.B[观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知 数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不 是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均 属于整式方程.」 2.A[方程两边同乘2x(x一1)，得3(x一1)=2x,即3x -3=2.x.] 3.D[原方程可化为y +1=5去分母得y2+1=5y y 即y2-5y+1=0.] 4.D[乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x 个零，山超意得四盟一器] 5,A[方程两边同时乘x(x十1)，得x十1一mx=0,解 一m-·分式方程的解是负数，n一1<0 得x=1 m1. 又：x(x+1)≠0x+1≠0心m气≠-1心m≠0. .m的取值范围是m<1且m≠0，故选A.] 6.B[方程两边同时乘x-1,得2=x一1-m,解得x= n十3. :分式方程吕1一的解为正发加十8>0 .m>-3.又x≠1，即m十3≠1，m≠-2，∴m的 取值范围为m>一3且m≠-2，故选B.] 参考答案 7解折：查=2时吊宁。=宁当= m时，-m=2解得：m=一3，经检验m=一3 是原方程的解，∴.当x=一3时，b=2×(一3)-1=-7. 故答案为：子-7 1 答案：3 -7 8.解析3一x m=1,化简得：x=3一m, :3-x≠0，即x≠3，.3-m≠3，解得：m≠0，y2 2y十m=0有实数根，∴.△=b2-4ac=(-2)2-4×1X n≥0， 解得：m≤1，.综上m≤1且m≠0. 答案：n≤1且n≠0 9.解：(1)原方程去分母得x=6x-15,解得x=3. 检验：当x=3时，x(2x一5)≠0， 故原方程的解为x=3. (2)方程两边都乘以(x十2)(x一2)，去分母得3(x 2)+(x十2)(x-2)=x(x十2)，整理得3.x-10=2x, 解得x=10. 检验：当x=10时，(x十2)(x一2)≠0，.原方程的解 为x=10. 10.解：设这个学校九年级学生有：人，则3600X50 x 3600×60,解得x=300. x+601 经检验x=300是所列方程的解，且符合题意，即这 个学校九年级学生有300人. 第三章函数 第1节平面直角坐标系与函数初步 初中知识复盘 知识点1 1.(2)<(3)<(4)<2.0003.y1-y2 4.(1)纵(2)横5.(-a,b)(-a,-b) 6.(a+c,b)(a,b+c) 知识点2 1.1blla√a2+b22.(1)|x1-x2|(2)ly1-y2 知识点3 1.唯一确定自变量2.(1)图象法3.(3)平滑曲线 4.≠≥ 核心分类探究 变式训练 1.A[根据题意，“新”的坐标为(0,0)，其位置是坐标原 点，“创”的坐标为（一2,0），其位置在x轴负半轴上， 以“新”为原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正 方向建立平面直角坐标系，可得“技”字坐标是(1,1)， .“技”在第一象限.] 2.解析：由题意得，4一x>0,x十3≠0，解得，x<4且x≠ 一3.. 答案：x<4且x≠-3 3.A[后800m的速度为800÷(50-25)= 32(m/min),选项A正确，符合题意：中途停留了25一 20=5(min),选项B错误，不符合题意；当25≤t≤50 时，s关于t的函数图象是线段，即后800m速度不 变，选项C错误，不符合题意；整个登山过程的平均速 度为2000÷50=(m/min),选项D错误，不符合题意.」 课堂达标 1.D[:函数y= 5有意义，{520 √x-5 {Vx-5≠01 .x>5,故选D.] >>>>>>>>113