第二章 第2节 一元二次方程及其应用-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 2解得x三号将x=号代入②，得y 2 方程 9 x2 组的解为 17 y= 4 第2节 一元二次方程及其应用 知识点1 1.一3.相等 知识点2 x=-b±B2-4ac 2a 知识点3 1.两个不相等 两个相等无2.一 aa 知识点4 (1士.x)” .b(a-x)(b-x)(a-2x)(b-2r) a 核心分类探究 变式训练 1.解：(1)(x-3)2=4,x-3=士2，x-3=2或x-3= -2,x1=5,x2=1; (2)2x2+x-3=0, a=2,b=1,c=-3, .△=b2-4ac=12-4×2×(-3)=25>0, .x=-b生-4ac=-1±25-1±5 2a 2×2 4 =1= (3)5.x2-2x-3=0,(x-1)(5.x+3)=0,∴x-1=0 或5.x十3=0，解得x1=1,c2=-片 2.(1)C[A=(-2)2-4×1×1=0,.一元二次方程 x2一2x十1=0有两个相等的实数根，故选C.」 (2)D[由题意可得：4=12-4=0，解得k=4, 1 m√+i=√厚-] 3.解析：根据根与系数的关系得x1十x2=一3，x1x2= m, :(x1+1)(x2+1)=-4, x1x2十(x1+x2)+1=-4, 即m-3十1=-4，解得m=-2. 答案：一2 4.解：设这批椽有x株，依题意得3(x一1)x=6210,整 理得x2-x-2070=0,解得x1=46,x2=-45(不合 题意，舍去) 即这批椽的数量为46株， 课堂达标 1.A[A.2x2-x十1=0符合一元二次方程的定义，是 一元二次方程，故此选项符合题意；B.2x2一y=0含 有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题 意；C.3.x十1=0是一元一次方程，故此选项不符合题 意；D.x十上=2不是整式方程，故此选项不符合题意] 2.A[4x2-4x=-1,.4x2-4x+1=0,∴A= (-4)2一4×4×1=0，∴.方程有两个相等的实数根.] 3.D[根据题意，塑封后的长为(38十2x)cm,宽为(23 十2.x)cm,面积为1000cm2,,∴.列方程为：(38十2.x) (23+2x)=1000.] 112《〈((<(< 数学 4.解析：，m、n是方程x2一3x-2=0的两个实数根， ..mn=- 2=-2,.2mn=-4. 1 答案：一4 课后检测雷达 1.B[,△=(-m)2-4×1×(-3)=m2+12>0, .方程x2-m.x一3=0有两个不相等的实数根，x1 ≠x2.] 2.B「设方程的另一个根为b,.b十（一2）=一3，.b= 一1，故选B.] 3.A[依题意，x2+2mx+m2+1=0∴.△=(2m)2-4 (m2十1)=一4<0，.方程无实数根，] 4.C[,x=a是方程x2+2x-2=0的一个根，.a2十 2a-2=0,即a2+2a=2,.2a2+4a+2025=2(a2+ 2a)+2025=2×2+2025=2029,故选C.] 5.B[,·关于x的方程2x2一6k=0有两个相等的实数 根，.△=02-4×2·（一6k)=0,.k=0,.k2-4=02 -4=-4,故选B.] 6.解析：，关于x的一元二次方程x2一a.x一2a十1=0， 一次项系数与常数项相等，.一a=一2a十1，解得：a =1. 答案：1 7,解析：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：2x(x 1 一1)=15，解得：x=6或x=一5（舍去）， 即参赛的球队数为6. 故答案为：6. 答案：6. 8.解析：当3为腰时，此时a=3或b=3,把x=3代入方 程x2-4.x一1十m=0得9-12一1十m=0,解得m 4,此时方程为x2-4x十3=0，解得x1=3,x2=1;当3 为底时，此时a=b,△=(-4)2一4(-1十m)=0,解得 m=5,此时方程为x2-4.x十4=0，解得x1=x2=2;综 上所述，n的值为4或5. 答案：4或5 9.解：y(y-3)+2y-6=0, y(y-3)+2(y-3)=0, (y-3)(y十2)=0，有y-3=0或y十2=0，解得y1= 3y2=-2. 10.解：(1)证明：△=[一(m+2)]2-4×1×(m一1)=n2 十4m十4-4m十4=m2+8..m2≥0，∴.m2+8>0, .无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)方程的两个实数根为x1,x2,x1十x2=m十 2,x1x2=m-1. x号+x号-x1x2=9,即(c1十x2)2-3.x1x2=9, .(m十2)2-3(n-1)=9,整理得m2十m-2=0, .(n十2)(m-1)=0,解得m1=-2,m2=1,.m的 值为-2或1. 第3节 分式方程及其应用 初中知识复盘 知识点1 1.未知数3.0 核心分类探究 变式训练 2十 1.解：2-1十x—五1， 去分母，得2十x(x十1)=x2-1, 去括号，得2十x2十x=x2-1, 移项、合并同类项，得x=一3. 检验：把x=一3代入(x十1)(x一1)，得（一3十1）（一3 一1)=8≠0，x=一3是原方程的解.初、中职基础知识衔接 第一篇\ 三、解答题 2x+y=-5 10.解方程组：(1) 9.解方程 {4x-5y=11 (1)x-3=2x+1; x-2_ 5-y=1 (2y+y1=1-2y-1 2 3 (2) 2 3 xy+1=5 0.20.3 第2节一元二次方程及其应用 衔接目标 中职数学在解析几何里对一元二次方程的根与系数的关系有更高的要求，因此通 过本节的学习要在初中数学的基础上，能更灵活地运用韦达定理解题， 续表 初中知识复盘 先将方程化 知识点①一元三次方程的有关概念 为一般形 1.一元二次方程：等号两边都是整式，只含 任意一元二 公 式；再确定 ax2+bx+c 次方程均适 有 个未知数（一元），并且未知数 式 用，求根公 判别式b2- =0(a≠0) 的最高次数是2（二次）的方程， 法 式为 4ac≥0，最 2.一般形式：ax2+bx十c=0(a,b,c为常 后利用求根 数，a≠0).其中ax2,bx,c分别称为二次 公式求解 项、一次项和常数项，a,b分别称为二次 ①将方程右 项系数和一次项系数 边化为0， 两边不能同 3.一元二次方程的解（根）：使方程左右两 因式 (x一x1)· 左边可以因 时除以含有 边 的未知数的值。 分解 (x-x2)= 式分解；② 未知数的相 法 知识点② 一元二次方程的解法 0或a.x2=bx 方程缺少常 同因式 数项 解法 基本形式 适用情况 注意事项 x2+bx+c 配方时，给 将二次项系 方程两边同 x2=a(a≥ 配 =0→x2+ 数化成1 直接 时加上一次 0)或(a.x+ 方程缺少一 开方不要漏 开平 方 bx+() 后，一次项 项系数一半 b)2=c(c≥ 次项时常用 掉负根 法 方法 系数是2的 0) =()- 2 的平方，不 倍数 要漏加 >>>>21 衔接教材一本通 数学 元三次方程根的判别式 续表 知识点 及根与系数的关系 (1)单循环赛问题（握手）：每两 1.一元二次方程根的判别式 队之间比赛一场，则x队共比赛 (1)定义：式子b-4ac叫做一元二次方程 ax2+bx十c=0(a≠0)的根的判别式， 的场数为x(r一1) 循环 2 常用符号“△”来表示. 问题 (2)双循环赛问题（互送礼物）： (2)根的判别式与根的个数的关系 全班有x人，每人向其他人送一 b2-4ac>0台方程有 的实数根； 份礼物，则共送出礼物的份数为 b2一4ac=0台方程有 的实数根； x(x-1) b2一4ac<0台方程 实数根； 2.一元二次方程根与系数的关系 核心分类探究 若x1,x2是一元二次方程ax2十bx十c= M类型二-」 解一元二次方程 0(a≠0)的两个根，则x1十x2= 例1已知关于x的一元二次方程(m一2) T172 x2一4x+3=0,请回答下列问题： 知识点④一元二次方程的实际应用 (1)m的取值范围是 (2)若m的值为3，请用三种方法求出此 增长（下降）率= 增长（下降）量 基础量 方程的解. 变化率 ×100%,若起始量为a,平均增 [解](1)m≠2 问题 长（下降）率为x,终止量为b,增长 (2)当m=3时，一元二次方程为x2-4x (下降)次数为n,则b= a +3=0.公式法：.a=1,b=-4,c=3, ∴.b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4>0, (1)利润=售价一成本， -b士√6-4ac_4士4_4±2 总利润=单件利润×销量； . 2a 2×1 2 “每每 (2)若单价每涨（降）价a元，每 x1=3,x2=1. 问题” 天销量减少（增加）b件；若售价 配方法：.x2-4x十3=0，∴.x2-4x=-3, 提高（降低）x元，则少（多）卖出 x2-4x+4=-3十4，∴.(x-2)2=1, 件 .x-2=士1，x1=3,x2=1. 因式分解法：x2一4x十3=0，(x一3) 若长为a,宽为b,设阴影部分的 (x-1)=0,.x1=3,x2=1. 宽为x, 规律方法灵活选择适当的方法解 面积 方程 问题 图② (1)运用“直接开平方法”或“因式分 如图①②，S空白 如 解”法 图③，S空白= (2)用公式法（通用解法）； (3)有特殊要求的，按指定方法解方程. 初、中职基础知识衔接 第一篇\ [变式训练] 数根，不合题意；对于C,△=（一2）2-4X 1.解方程： 1×5=一16<0，故选项C没有实数根， (1)(x-3)2=4 符合题意；对于D,方程化为x2一6x+9 (2)2x2+x-3=0 =0,4=(-6)2-4×1X9=0,故选项D (3)5x2-2x-3=0 有两个相等的实数根，不合题意.] (2)D[:一元二次方程x2+bx十1=0 有两个相等的实数根，△=b2一4=0， 解得b=士2，故选D.] 规律方法一元二次方程ax2+bx十c =0(a≠0)根的情况与根的判别式△= b2-4ac的关系：当△>0时，方程有两 个不相等的实数根；当△=0时，方程 有两个相等的实数根；当△<0，方程没 有实数根， [变式训练] 2.(1)一元二次方程x2一2x+1=0的根的 情况是 A.有两个不相等的实数根 B.无实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 (2)一元二次方程x2十x十k=0有两个 类型二。一元三次方程根的判别式☑ 相等的实数根，则+1的值为( ) 例2(1)下列一元二次方程中，没有实数根 A是 B. c n号 的是 ( A.x2+5.x+6=0 心类型三一元二次方程根与系数的关系闷 B.x2+x-1=0 例3(1)一元二次方程x2+3x一1=0的两 C.x2-2x+5=0 根为1,2，则上十1的值为 D.x2=6x-9 (2)关于x的一元二次方程x2+bx+1=0 A号 B.-3C.3 D-号 有两个相等的实数根，则满足条件的实 (2)关于x的一元二次方程2x2+4m.x十 数b= ) m=0有两个不等的实数根x1,x2,且x A.0 B.-1或1 C.1 D.-2或2 +=则m= [解](1)C[对于A,△=52-4×1×6 [解]（1)依题意，x1十x2=一3，x1·x2 =1>0,故选项A有两个不相等的实数 =-1,所以1+1=4+2=二3=3. 根，不合题意；对于B,△=12一4×1×( -1 1)=5>0,故选项B有两个不相等的实 (2)由已知，得x1十x2=-2m,x1·x2= >>>>23 衔接教材一本通 数学 罗x+x=(红十x)2-2江 (2)设每件售价定为y元，则每件的销售 利润为(y一8)元，月销售量为400十20 =(-2m)-2·-0即6m-16m 3 (14-y)=(680-20y)件， 根据题意得(y-8)(680-20y)=1760, 3=0,解得m=一 或m= 81 整理得y2-42y+360=0, 解得y1=12,y2=30(不符合题意，舍 答案：(1)C (2) 去).即每件售价定为12元时，该吉祥物 规律方法 应用根与系数关系的注 挂坠7月份的销售利润可达到1760元 意点 规律方法列一元二次方程解应用题 (1)当一元二次方程不是一般形式时， 的一般步骤 要先化成一般形式； (1)审：审清题意，找出题中的已知量、 未知量 (2)应用x1十x2=- 名时，不要漏“ (2)设：设出关键未知数. (3)应用根与系数关系公式的前提： (3)列：找出等量关系，列方程. ①二次项系数a≠0；②判别式b2-4ac (4)解：解方程， ≥0. (5)验：检验结果是否正确或是否有实 [变式训练] 际意义. 3.已知x1,x2是关于x的方程x2十3x十m (6)答：即回归题目，规范作答 =0的两个实数根，且(x1+1)(x2+1)= [变式训练] 4,则m的值为 4.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多 》类型四-二元三次方程的实际应用☒ 少”问题：“六贯二百一十钱，遗人去买几 例4第九届亚冬会于2025年2月19日至 株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株 27日在哈尔滨举行，某商店以每件8元 椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批 的价格购进亚冬会吉祥物挂坠，以每件 椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费 14元的价格出售，据统计，4月份的销售 是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的 量为256件，6月份的销售量为400件. 运费恰好等于一椽的价格，求这批椽的 (1)求该吉祥物挂坠5,6两个月销售量 数量有多少株？ 的月均增长率； (2)经市场预测，该吉祥物挂坠7月份的 销售量将与6月份持平，商店为回馈顾 客，决定降价促销.调查发现，该吉祥物 挂坠的售价每降价1元，月销售量就会 增加20件，那么每件售价定为多少元 时，该吉祥物挂坠7月份的销售利润可 达到1760元. [解](1)设该吉祥物挂坠5,6两个月 销售量的月均增长率为x. 根据题意得256(1十x)2=400,解得x1 0.25=25%,x2=-2.25(不符合题意， 舍去).即该吉祥物挂坠5,6两个月销售 量的月均增长率为25%. 24< 初、中职基础知识衔接 第-篇 ☑课堂达标 3.关于x的一元二次方程x+2mx+m2+1 1.下列方程中是一元二次方程的是( =0的根的情况是 A.2x2-x+1=0B.2x2-y=0 A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.3x+1=0 D.x+1=2 C.有两个不相等的实数根 2.关于x的方程4x2一4x=一1的根的情 D.实数根的个数与实数m的取值有关 况是 ( 4.若x=a是方程x2十2x-2=0的一个 A.有两个相等的实数根 根，则代数式2a2+4a十2025的值为 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 A.2027B.2028C.2029D.-2029 D.无实数根 5.已知关于x的方程2x2一6=0有两个 3.被誉为“蕴藏着人类 相等的实数根，则k一4的值为() 上古文明密码的哲 A.-3B.-4C.3 D.-5 学之书”的古老苗 二、填空题 绣，在贵州文旅市场 6.已知关于x的一元二次方程x2一ax一2a 和时尚行业中，展现 +1=0,若一次项系数与常数项相等，则 出匠人匠心的“针” a的值为 功夫.小星奶奶手绣 7.在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队 了一幅长为38cm、 之间都要比赛一场.若共比赛了15场， 宽为23cm的矩形绣品（如图所示），为了 则参赛的球队数为 完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需 8.(2025·新疆乌鲁木齐三模)等腰三角形 四周留白（上下左右宽度相同），且塑封 三边长分别为a,b,3,且a,b是关于x的 后整幅图的面积为1000cm2,设留白部 一 元二次方程x2-4x一1十m=0的两 分的宽度为xcm,则可列方程为() 根，则m的值为 A.(38-2x)(23-2x)=874 三、解答题 B.(38+2x)(23+2x)=874 9.解方程：y(y-3)十2y-6=0. C.(38-2x)(23-2x)=1000 D.(38+2x)(23+2x)=1000 4.已知m,n是方程x2一3x一2=0的两个 实数根，则2mn= 课后检测雷达 一、选择题 1.已知x1,x2是关于x的方程x2一mx一3 =0的两个根，下面结论一定正确的是 A.x1+x2>0 B.x1≠x2 C.x1·x2>0 D.x1<0,x2<0 2.已知关于x的方程x2十3x十a=0有一 个根为一2，则另一个根为 A.-10B.-1C.2 D.-5 >>>>>25 衔接教材一本通 数学 10.已知关于x的一元二次方程x2-(m十 (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且 2)x+m-1=0. x+十x号-x1x2=9,求m的值. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个 不相等的实数根； 第3节 分式方程及其应用 衔接目标 可化为一元一次方程的分式方程的解法是初中的重点知识，而含参的分式方程是 中职数学中的必备知识，要重点掌握， 3.增根与无解 初中知识复盘 (1)增根：使得原分式方程的分母（或最 知识点① 分式方程及其解法 简公分母)为 根。 1.概念：分母中含有 的方程叫做分 式方程 (2)分式方程无解的两种情况： 2.解分式方程的一般步骤 ①分式方程化为整式方程后，整式方程 解整式 无解，则分式方程无解； 分式去分母 整式方程 >x=d 检验 ②分式方程化为整式方程后，整式方程 方程方程两边方程 同乘最简 的解是分式方程的增根，则分式方程 公分 x=a是原方程 最简公分 母为0 无解. 的增根，原方程 无解 知识点② 分式方程的应用 最简公分 母不为0 1.列分式方程解应用题的一般步骤与列整 x=a是原方程的解← 式方程的步骤类似：审题、设未知数、列 口诀：一化、二解、三检验. 分式方程、解方程、双检验、作答. 26<<