第二章 第1节 一次方程(组)及其应用-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

初、中职基础知识衔接 第一篇 第二章 方程（组） 第1节一次方程（组）及其应用 衔接目标 一元一次方程和二元一次方程（组）的解法是初中的重点知识，也是中职阶段直线 方程中必须掌握的知识，将对二元一次方程解的情况进一步进行探究 续表 初中知识复盘 合并同 系数相加时，不能漏掉符号 知识点① 一元二次方程及其解法 类项 1.方程：含有 的等式 系数化 分子、分母不能交换位置 2.方程的解：使方程中等号左右两边相等 为1 的 的值。 知识点②三元二次方程（组）及其解法 3.一元一次方程：只含有 未知数 1.二元一次方程：含有 未知数，并且 (元)，未知数的次数都是 ,等号两 含有未知数的项的次数都是 边都是整式. 2.二元一次方程组：方程组中有两个未知 4.等式的基本性质 数，含有每个未知数的项的次数都是1， (1)等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 并且一共有两个方程. 结果仍相等.即如果a=b,那么a士c= 3.二元一次方程组的解：二元一次方程组 的两个方程的公共解. 4.二元一次方程组的解法 (2)等式两边乘同一个数，或除以同一个不 (1)代入消元法（代入法）：把二元一次方程 为0的数，结果仍相等.即如果a=b,那 组中一个方程的一个未知数用含另一 么ac= (c≠0). 个未知数的式子表示出来，再代入另一 5.解一元一次方程的一般步骤 个方程，实现消元，进而求得这个二元 一次方程组的解。 步骤 注意事项 (2)加减消元法（加减法)：当二元一次方程 组的两个方程中同一个未知数的系数 (1)不能漏乘不含分母的项； 去分母 (2)分子是多项式时，去分母后 相反或相等时，把这两个方程的两边分 加括号 别相加或相减，就能消去这个未知数， 得到一个一元一次方程. (1)括号前的数要乘括号内的每 知识点③一次方程（组）的实际应用 一项； 1.列方程（组）解应用题的一般步骤 去括号 找等量关系 (2)括号前是负号时，去括号后 实际问题 设未知数，列方程（组） 方程问题 原括号内的每一项都要变号 检验 移项 移项要改变符号 实际问题的解 方程的解 (符合实际意义) >>>》>17 衔接教材一本通 数学 2.列方程（组）解应用题的常见类型 规律方法 解一元一次方程，依据其 基本 解题方法，依次去分母、去括号、移项、 路程=速度X时间 关系 合并同类项、系数化为1，即可解方程. 相遇 总路程=甲走的路程十 [变式训练] 问题 乙走的路程 1.方程：221_5x+2-1-2x-2. 3 6 2 同地不同时：被追者走的 行程 路程=追者走的路程 问题 追及 问题 同时不同地：追者走的路 程=被追者走的路程十 两地间的距离 航行 ℃顺水=V静水十水流 问题 0逆水二U静水一V水流 (1)售价=标价（原价）×折扣： (2)利润=售价一进价（成本 类型二。解二元一次方程组 -- 销售 问题 价)； 例2 解方程组2一y=-5 3x+2y=10 (3)利润率= 利润×100% 进 [解] x-y=-5① 3.x+2y=10② 工作量=工作效率×工作时间 工程 方法一：代入消元法：由①，得x=y一5， = 各部分工作量之和（常把工作 问题 ③将③代入②，得3(y-5)+2y=10,解 量看作单位“1”) 得y=5.将y=5代入③，得x=0, (1)1个A和1个B配套：A的 数量=B的数量； 配套 (2)m个A和n个B配套：A的 方法二：加减消元法：①×2，得2x一2y= 问题 数量：B的数量=m:n,即A -10③，③+②，得5x=0,解得x=0.将 的数量的n倍=B的数量的 x=0代入①，得0-y=-5,解得y=5, m倍 0, y=5. 核心分类探究 规律方法解二元一次方程组的步骤 解二元一次方程组，主要就是用代 类型一 解一元一次方程 入消元法和加减消元法.代入消元法， 解方程：23+号4. 就是先把一个方程变形，用一个未知数 表示另一个未知数，然后代入到另一个 解] 344 方程里，就变成了一元一次方程，解出 来之后再回代到原来的方程是里，求出 3(x一3)十2(x一1)=24，…（去分母）， 另一个未知数.加减消元法，就是通过 3x-9+2x-2=24,…(去括号) 两个方程的相加或相减，消去一个未知 3x十2x=24十9十2，…（移项） 数，也是变成一元一次方程来解，解出 5x=35,…(合并同类项)》 来之后再回代求出另一个未知数.简单 x=7.…(系数化为1) 来说，就是先消元，再求解，最后回代。 初、中职基础知识衔接 第一篇 [变式训练] 规律方法 列方程（组）解应用题的 2.(1)解方程组： 3x-2y+20=0, 般步骤 2x+15y-3=0. (1)审，即审清题意，分清题中的已知量 (2)已知方程组2十y=7, 和未知量 x=y-1 的解也是关 (2)设，即设出关键未知数. 于x,y的方程ax+y=4的一个解，求a (3)列，即找出题干中的等量关系，列方 的值. 程（组）. (4)解，即解方程（组）. (5)验，即检验结果是否正确或是否符 合实际意义 (6)答，即回归题中，规范作答. [变式训练] 3.为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、 读好书、好读书，学校决定购买若干甲、 乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅 览室.经了解，甲、乙两种品牌的平板电 脑单价分别为3000元和2500元，学校 计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共 心类型三。一次方程（组)的实际应用回 60台. 例32024年3月22日，“世界水日”、“中国 (1)若恰好支出170000元，求甲、乙两种 水周”山西省宣传活动在太原启动，本次 品牌的平板电脑各购买了多少台？ 活动，旨在调动全社会各方力量团结治 (2)若购买乙种品牌的数量不超过甲种 水兴水，吸引并推动社会公众关心支持 品牌数量的2倍，问甲、乙两种品牌的平 水利事业为贯彻落实本次活动精神，太 板电脑各购买多少台时花费最少？最少 原市现计划修一条水渠便于引水用水. 花费是多少元？ 已知，甲工程队活单独修需20天完成， 乙工程队单独完成需要的天数比甲工程 队单独完成天数的少2天。 (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作 修完这条水渠，求甲、乙还需合作几天才 能修完这条水渠？ [解](1)20×号-2=10，即乙工程队单 独完成需要10天； (2)设甲、乙还需合作y天才能修完这条 水柴，由题意得，元(5十)+y=1,解 得y=5,即：甲、乙还需合作5天才能修 完这条水渠. >>>>>19 衔接教材一本通 数学 ☑课堂达标 3.小明做作业时发现方程已被墨水污染： 1.下列各式：①-2十5=3；②3.x-5=x2十 3x+1 =2x十■，电话询问老师后知道： 3x:国2x+1=1:④2-1：⑤2x+3:@x 方程的解x=1且被墨水遮盖的是一个 =4.其中是一元一次方程的有 ( 数.则该常数是 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A c.2 n- 2.已知a=b,下列式子不一定成立的是 4.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载 了这样一道题：“良马日行二百四十里， A.a+2=b+2 B.ac=bc 驽马日行一百五十里，驽马先行一十二 C.a-1>b-2 D号>治 日，问良马几何日追及之？”其大意是快 3.我国明代数学家程大位编撰的《算法统 马每天行240里，慢马每天行150里，慢 宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子 马先行12天，问快马几天可追上慢马？ 一条索，索比竿子长一托，折回索子来量 快马追上慢马的天数是 ( 竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几 A.5天 B.10天 何？”译文为“有一根竿和一条绳，若用绳 C.15天 D.20天 去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后 5x+4y=a, 再去量竿，则绳比竿短5尺.问绳和竿各 5.若关于x和y的方程组 无 ax+by=c 有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题 意得（注：“托”和“尺”为古代的长度单 解，则 ( 位，1托=5尺) ( ) A.5a-4c B.4a=56 x-y=5 [y-x=5 C.4a=5c D.5a=46 B. y- 2x=5 1 2x-y=5 6.与方程5x十2y=一9构成的方程组，其 -3, 2-y=5 x-y=5 解为 的是 ( C. D. (y=3 2x=y+5 y-2.x=5 A.x+2y=1 B.3x+2y=-8 4.若二元一次方程组 x+y=3, 的解为 3x-5y=1 C.3x-4y=-8 D.5x+4y=-3 7.把式子一4x+3记作P,式子x一6记 r=a'则a-b的值为 ly=6, 作Q, (1)当x=-3时，P= 课后检测雷达 Q- 一、选择题 (2)若P,Q的值互为相反数，则x= 1.若x=2是关于x的一元一次方程ax一b =3的解，则4a-2b+1的值是 ( x=2 A.7 B.8 C.-7 D.-8 8.已知 是二元一次方程组 2.若方程x2a-b-3y+b=2是关于x、y的二 (y=1 元一次方程，则ab的值为 ) ax+by-8 的解，则3a- c bx-ay=1 b的立方根 A. B.2 D.1 为 20(<< 初、中职基础知识衔接 第一篇\ 三、解答题 2x+y=-5 10.解方程组：(1) 9.解方程 {4x-5y=11 (1)x-3=2x+1; x-2_ 5-y=1 (2y+y1=1-2y-1 2 3 (2) 2 3 xy+1=5 0.20.3 第2节一元二次方程及其应用 衔接目标 中职数学在解析几何里对一元二次方程的根与系数的关系有更高的要求，因此通 过本节的学习要在初中数学的基础上，能更灵活地运用韦达定理解题， 续表 初中知识复盘 先将方程化 知识点①一元三次方程的有关概念 为一般形 1.一元二次方程：等号两边都是整式，只含 任意一元二 公 式；再确定 ax2+bx+c 次方程均适 有 个未知数（一元），并且未知数 式 用，求根公 判别式b2- =0(a≠0) 的最高次数是2（二次）的方程， 法 式为 4ac≥0，最 2.一般形式：ax2+bx十c=0(a,b,c为常 后利用求根 数，a≠0).其中ax2,bx,c分别称为二次 公式求解 项、一次项和常数项，a,b分别称为二次 ①将方程右 项系数和一次项系数 边化为0， 两边不能同 3.一元二次方程的解（根）：使方程左右两 因式 (x一x1)· 左边可以因 时除以含有 边 的未知数的值。 分解 (x-x2)= 式分解；② 未知数的相 法 知识点② 一元二次方程的解法 0或a.x2=bx 方程缺少常 同因式 数项 解法 基本形式 适用情况 注意事项 x2+bx+c 配方时，给 将二次项系 方程两边同 x2=a(a≥ 配 =0→x2+ 数化成1 直接 时加上一次 0)或(a.x+ 方程缺少一 开方不要漏 开平 方 bx+() 后，一次项 项系数一半 b)2=c(c≥ 次项时常用 掉负根 法 方法 系数是2的 0) =()- 2 的平方，不 倍数 要漏加 >>>>21第二章方程（组） 第1节 一次方程（组）及其应用 初中知识复盘 知识点1 1.未知数2.未知数3.一个14.b士cbc b 知识点2 1.两个1 核心分类探究 变式训练 1.解：去分母得：2(2x一1)一(5x十2)=3(1一2x)一12， 去括号得：4x-2-5.x-2=3-6.x-12, 移项得：4x-5.x十6.x=3-12十2十2， 合并同类项得：5x=-5,系数化为1得：x=-1; 2.解：(1)方程组整理得： 3.x-2y=-20,① 12.x+15y=3,② ①×15十②×2得：49x=-294,解得：x=-6,把x= 一6代入②得：y=1,则方程组的解为{r=,一6， {y=1. (2)方程组2x+y=7① (x=y-1② 把②代入①得：2(y一1)十y=7,解得：y=3,代入① 中，解得：x=2,把x=2,y=3代入方程a.x十y=4得， 1 2a十3=4，解得：a=2 3.解：(1)设甲种品牌的平板电脑购买了x台，乙种品牌 的平板电脑购买了y台， 由题意得+y=60, {3000.x+2500y=170000 解得x=40, y=20. 答：甲种品牌的平板电脑购买了40台，乙种品牌的平 板电脑购买了20台， (2)设甲种品牌的平板电脑购买了m台，则乙种品牌 的平板电脑购买了(60一n)台. 由题意得60一m2n,解得m≥20. 设费用为，则=3000m+2500(60-m)=500m +150000. 500>0,.随m的增大而增大，∴.当m=20时， 最少，此时=500m+150000=160000,.甲种品 牌的平板电脑购买20台，乙种品牌的平板电脑购买 40台时花费最少，最少费用为160000元. 课堂达标 1.B[①不含未知数，故错：②未知数的最高次数为2， 故错；③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为 整式，故对；④左边不是整式，故错.⑤是多项式，故 错.⑥未知数的最高次数为1，符合一元一次方程的概 念，故对.] 2.D[a=b,a十2=b+2成立，A不符合题意；a=b,ac =bc成立，B不符合题意；a=b,a-1>b-2成立，C 不行公题意：当a=b=0时，号-合-0，故式子不一 定成立，D符合题意.故选：D.] 3.A[由题意得 =5, 1 y-2x=5. {6代入方程组{中3得 4.解析：将x=a. 13x-5y=1, {3a-5动-1@，①+@，得：4a-4h=4,则a-6= a+b=3①， 答案：1 参考答案 课后检测雷达 1.A[由已知2a-b=3,.4a-2b+1=2(2a-b)+1= 2×3+1=7.] 2.A[:方程.x2ab-3y4+b=2是关于x、y的二元一 a=2」 大方十解 31 b=3 号×号号故选A] 3.A[设被污来的常数■是a,起x=1代入3x十号 2x十a,得：3+号=2+a,解得a=三，放选A.] 4.D[设快马追上慢马的天数是x天，根据题意，得 240.x=150(x+12),解得x=20,故选D.] 瓦B[关于x和y的方程组⑤x十)-Q·无解.号 Rax+by=c ≠4，.4a=5b,故选B.] b C 6.D[A.{二。3不是方程r十2y=1的解，该项不符 (y=3 合题意：B. 不是方程3x十2y=一8的解，该 (y=3 项不符合题意C.{r=3 是方程3x一4y=一8的 y=3 解，该项不符合题意；D. r=一-3是方程5x十4y=-3 y=3 的解，该项符合题意.] 7.解析：(1)根据题意，当x=-3时，P=-4×(一3)十3 =15,Q=(-3)-6=-9: (2)根据题意，则(-4x十3)十(x一6)=0， 即-4.x十x=6-3解得：x=-1. 答案：(1)15；-9(2)-1 8.解析：=2是二元一次方程组r十y=8的解， y=11 bx-ay=1 /2+6=8 12b-a=11 年得合女一0-3X8-名×2=8 30一0的主方根为派=2，故答案为：2。 答案：2 9.解：(1)移项得x一2x=1十3，合并同类项得一x=4, 系数化为1得x=一4. (2)去分母得6y+3y-3=6-4y十2，移项得6y十3y +4y=6+2十3，合并同类项得13y=11,系数化为1 1 得y=13 16解：，=1i9①X5+@r -14,解得x=-1,把x=-1代入①，一2十y=一5， 解得y=一3，.原方程组的解是=一1 1y=-3 x-2_5-y=1 2 3 (2) x+1=5 0.20.3 化简方程组可得，8x十2=20,0+②得，6r {3.x-2y=5② >>>>>>>>111 衔接教材一本通 2解得x三号将x=号代入②，得y 2 方程 9 x2 组的解为 17 y= 4 第2节 一元二次方程及其应用 知识点1 1.一3.相等 知识点2 x=-b±B2-4ac 2a 知识点3 1.两个不相等 两个相等无2.一 aa 知识点4 (1士.x)” .b(a-x)(b-x)(a-2x)(b-2r) a 核心分类探究 变式训练 1.解：(1)(x-3)2=4,x-3=士2，x-3=2或x-3= -2,x1=5,x2=1; (2)2x2+x-3=0, a=2,b=1,c=-3, .△=b2-4ac=12-4×2×(-3)=25>0, .x=-b生-4ac=-1±25-1±5 2a 2×2 4 =1= (3)5.x2-2x-3=0,(x-1)(5.x+3)=0,∴x-1=0 或5.x十3=0，解得x1=1,c2=-片 2.(1)C[A=(-2)2-4×1×1=0,.一元二次方程 x2一2x十1=0有两个相等的实数根，故选C.」 (2)D[由题意可得：4=12-4=0，解得k=4, 1 m√+i=√厚-] 3.解析：根据根与系数的关系得x1十x2=一3，x1x2= m, :(x1+1)(x2+1)=-4, x1x2十(x1+x2)+1=-4, 即m-3十1=-4，解得m=-2. 答案：一2 4.解：设这批椽有x株，依题意得3(x一1)x=6210,整 理得x2-x-2070=0,解得x1=46,x2=-45(不合 题意，舍去) 即这批椽的数量为46株， 课堂达标 1.A[A.2x2-x十1=0符合一元二次方程的定义，是 一元二次方程，故此选项符合题意；B.2x2一y=0含 有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题 意；C.3.x十1=0是一元一次方程，故此选项不符合题 意；D.x十上=2不是整式方程，故此选项不符合题意] 2.A[4x2-4x=-1,.4x2-4x+1=0,∴A= (-4)2一4×4×1=0，∴.方程有两个相等的实数根.] 3.D[根据题意，塑封后的长为(38十2x)cm,宽为(23 十2.x)cm,面积为1000cm2,,∴.列方程为：(38十2.x) (23+2x)=1000.] 112《〈((<(< 数学 4.解析：，m、n是方程x2一3x-2=0的两个实数根， ..mn=- 2=-2,.2mn=-4. 1 答案：一4 课后检测雷达 1.B[,△=(-m)2-4×1×(-3)=m2+12>0, .方程x2-m.x一3=0有两个不相等的实数根，x1 ≠x2.] 2.B「设方程的另一个根为b,.b十（一2）=一3，.b= 一1，故选B.] 3.A[依题意，x2+2mx+m2+1=0∴.△=(2m)2-4 (m2十1)=一4<0，.方程无实数根，] 4.C[,x=a是方程x2+2x-2=0的一个根，.a2十 2a-2=0,即a2+2a=2,.2a2+4a+2025=2(a2+ 2a)+2025=2×2+2025=2029,故选C.] 5.B[,·关于x的方程2x2一6k=0有两个相等的实数 根，.△=02-4×2·（一6k)=0,.k=0,.k2-4=02 -4=-4,故选B.] 6.解析：，关于x的一元二次方程x2一a.x一2a十1=0， 一次项系数与常数项相等，.一a=一2a十1，解得：a =1. 答案：1 7,解析：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：2x(x 1 一1)=15，解得：x=6或x=一5（舍去）， 即参赛的球队数为6. 故答案为：6. 答案：6. 8.解析：当3为腰时，此时a=3或b=3,把x=3代入方 程x2-4.x一1十m=0得9-12一1十m=0,解得m 4,此时方程为x2-4x十3=0，解得x1=3,x2=1;当3 为底时，此时a=b,△=(-4)2一4(-1十m)=0,解得 m=5,此时方程为x2-4.x十4=0，解得x1=x2=2;综 上所述，n的值为4或5. 答案：4或5 9.解：y(y-3)+2y-6=0, y(y-3)+2(y-3)=0, (y-3)(y十2)=0，有y-3=0或y十2=0，解得y1= 3y2=-2. 10.解：(1)证明：△=[一(m+2)]2-4×1×(m一1)=n2 十4m十4-4m十4=m2+8..m2≥0，∴.m2+8>0, .无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. (2)方程的两个实数根为x1,x2,x1十x2=m十 2,x1x2=m-1. x号+x号-x1x2=9,即(c1十x2)2-3.x1x2=9, .(m十2)2-3(n-1)=9,整理得m2十m-2=0, .(n十2)(m-1)=0,解得m1=-2,m2=1,.m的 值为-2或1. 第3节 分式方程及其应用 初中知识复盘 知识点1 1.未知数3.0 核心分类探究 变式训练 2十 1.解：2-1十x—五1， 去分母，得2十x(x十1)=x2-1, 去括号，得2十x2十x=x2-1, 移项、合并同类项，得x=一3. 检验：把x=一3代入(x十1)(x一1)，得（一3十1）（一3 一1)=8≠0，x=一3是原方程的解.