第一章 第3节 代数式及整式-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 数学 第3节 代数式及整式 衔接目标 代数式以及整式的化简、运算，在初中就要求同学们掌握，到中职会扩充到有理式 无理式的化简、运算，要求更高，因式分解在中职也经常用到，必须理解掌握。 整式的运算 初中知识复盘 知识点③ 1.加减运算 知识点① 代数式 (1)一般地，几个整式相加减，如果有括号 1.代数式 就先去括号，然后合并同类项。 用基本运算符号把数或表示数的字母连 (2)去括号法则 接起来的式子.特别地，单独一个数或一 ①如果括号前面是“十”，去括号后原括 个字母也是代数式. 号内各项的符号与原来的符号相同，如 2.代数式的值 a+(b-c)=a+b-c;a+(b+c)=a+b 用具体数值代替代数式里的字母，按照 +c; 代数式中的运算关系，计算得出的结果 ②如果括号前面是“一”，去括号后原括 3.代数式求值的一般方法 号内各项的符号与原来的符号相反，如 (1)直接代入法：把字母所表示的数值直接 a-(b-c)=a-b+c,a-(b+c)=a-b 代入，计算求值； 一c.可简记为“一”变，“十”不变 (2)整体代入法：①观察已知条件和所求代 2.幂的运算(m,n为正整数，a≠0，b≠0) 数式；②通过因式分解、提公因式等，将 所求代数式变形，使其与已知代数式成 同底数 底数不变，指数相加，即am·a” 倍分关系；③把已知代数式看成一个整 幂相乘 体代入求值. 同底数底数不变，指数 ,即am÷ 知识点② 整式的相关概念 幂相除 a”= 1.单项式 幂的 底数不变，指数 ,即(am)” (1)定义：由数与字母的积表示的式子，叫 做单项式.单独一个数或一个字母也是 乘方 单项式 先把积中的每一个因式分别 (2)系数：单项式中的数字因数 积的 ,再把所得的幂 ,即 (3)次数：一个单项式中所有字母指数 乘方 (ab)”= 的和. 2.多项式 3.乘除运算 (1)定义：几个单项式的 叫做多项式 把它们的系数、同底数幂分 (2)项：多项式中每一个单项式（连同前面 单项式乘 别相乘，对于只在一个单项 的符号)叫做这个多项式的项，不含字 单项式 式里含有的字母，则连同它 母的项叫做 的指数作为积的一个因式 (3)次数：多项式中次数最高项的次数， 3.整式：单项式和多项式统称为整式. 4.同类项：所含字母相同，且相同字母的指 单项式乘 用单项式去乘多项式的每一 项，再把所得的积相加，即m 数也相同的项叫做同类项，所有的常数 多项式 (a+b+c)=mambmc 项都是同类项」 10<(<< 初、中职基础知识衔接 第-篇 续表 核心分类探究 先用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项， 心类型二」 代数式及其求值 ☑ 多项式乘 多项式 再把所得的积相加，即(a十 例1(1)代数式一3x的意义是 b)(c+d)= A.一3与x的和 B.一3与x的差 C.一3与x的积 D.一3与x的商 (1)平方差公式： (a+b)(a-b)= 2)已知。-26+1=0.则华7的值是 乘法 (2)完全平方公式： 公式 (a+b)2= [解析] (1)一3.x表示一3与x的积，故 (a-b)2= C正确 把系数与同底数幂分别相 (2).a2-2b+1=0,.a2+1=2b, 单项式除 除作为商的因式，对于只在 1 4b一2. 被除式里含有的字母，则连 以单项式 答案：(1)C(2)2 同它的指数作为商的一个 因式 规律方法用整体代入法求代数式的 值的三种变形 先把这个多项式的每一项 多项式除 (1)变形已知式； 除以这个单项式，再把所得 以单项式 (2)变形求值式； 的商相加 (3)两种式子都作变形，使之有一个共 知识点④ 因式分解 同的“整体”，以便于进行整体代入 求值. 1.概念：把一个多项式化成几个整式的 的形式 [变式训练] 1.(1)若x2-2x-3=0,则2x2-4x+1= 2.基本方法 (1)提公因式法 (2)若m+n=10,mn=5,则m2+n2= 形式：ma+mb+mc= 「系数：取各项系数的最大公约数 公因式 字母：取各项相同的字母或因式 八类型二。- 整式的相关概念 的确定 指数：取各项相同字母的最低次幂 例2(1)下列单项式中，ab的同类项是 (2)公式法 A.3ab B.2a2b [a2-b2 因式分解 整式乘法 C.-a262 D.ab (2)单项式-3ab2的次数是 a2士2ab+b2 因式分解 整式乘法 [解析] (1)ab3的同类项为3ab3,故A (3)十字相乘法 正确 x2+(p十q)x+pg=(x+p)(x十q) (2)-3ab2的次数为1+2=3. 3.一般步骤 [答案](1)A(2)3 一提：有公因式，先提公因式： 规律方法确定同类项的条件 二套：没有公因式，两项考虑运用平方差 判断同类项要严格按照定义中的 公式，三项考虑运用完全平方公式； 两个条件，即字母相同，相同字母的指 三检查：检查因式分解是否彻底，必须分 数也相同.特别地，所有常数项都是同 解到每一个多项式都不能再分解为止. 类项 衔接教材一本通 数学 [变式训练] 规律方法因式分解的一般步骤 2.(1)若-4xm+2y与2x3y1为同类项，则 一提：如果多项式各项都有公因式，应 m一n的值为 ( ) 先提公因式，别忘记负号、系数等； A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 二套：观察多项式的特点，考虑使用平 (2)单项式-5ab的系数为 方差公式、完全平方公式、十字相乘法； 类型三- 整式的运算 三分组：若多项式为四项及以上时，考 例3(1)-(a2)2·a2·(-b2)3+(2a3b3)2 虑分组分解法，常用的有二二分组和 (2)(a+2b)(a-2b)-(a-2b)2 三分组； [解](1)原式=一(a4)·a2·(-b)+ 四检查：检查是否正确，检查是否分解 4a5b5=ab6+4ab5=5a6b5. 彻底. (2)原式=a2-4b-(a2-4ab十4b2)=a2 [变式训练] -4b2-a2+4ab-4b2=4ab-8b2 4.(1)下列因式分解正确的是 规律方法整式的混合运算步骤，先 A.x2+1=(x+1)2 计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底 B.x2+2x-1=(x-1)2 数幂的乘法，最后合并同类项.注意平 C.2x2-2=2(x2-1)=2(x+1)(x-1) 方差公式和完全平方公式的应用 D.x2-x+2=x(x-1)+2 [变式训练] (2)把多项式3ab-12ab+12b分解因式 3.(1)下列计算错误的是 的结果是 A.2m(m+1)=2m3+2m2 ☑课堂达标 B.（-3m3n)2=9m6n2 1.若单项式一3x2y的系数是m,次数是n, C.m'n-2mn2=-mn 则mn的值为 D.m6÷m2=m A.9 B.3 C.-3 D.-9 (2)(a3)2÷(a·a3)+a2= 2.对于①2x-xy=x(2-y),②(x-3)2= 心类型四 分解因式 x2一6x十9，从左到右的变形，表达正确 例4分解下列因式 的是 ( (1)-4ab-8b2+10b; A.都是因式分解 (2)2(n-m)2-m(m-n); B.都是乘法运算 (3)15y(a-b)2-3y(b-a); C.①是因式分解，②是乘法运算 (4)x4-x3+x-1. D.①是乘法运算，②是因式分解 [解](1)-4ab-8b2+10b=-2b(2a+ 3.下列运算正确的是 4b-5); A.(a+1)2=a2+1 (2)2(n-m)2-m(m-n)=2(n-m)2+ B.(a-1)2=a2-1 m(n-m)=(n-m)(2n-m); C.(a+1)+(a-1)=2a (3)15y(a-b)2-3y(b-a)=15y(a-b)2 D.(a+1)(a-1)=2a-1 +3y(a-b)=3y(a-b)(5a-5b+1) 4.已知函数a,b,满足a-b=6,ab=一8，则 (4)解法一：原式=(x4-x3)十(x-1) ab-ab2的值为 =x3(x-1)+(x-1)=(x3+1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x2-x+1): 课后检测雷达 解法二：原式=(x十x)-(x3+1) 一、选择题 =x(x3+1)-(x3+1) 1.多项式a2+4ab2+1是 =(x-1)(.x3+1) A.三次三项式 B.二次三项式 =(x-1)(x+1)(x2-x+1). C.三次二项式 D.二次二项式 12☐<《< 初、中职基础知识衔接 第一篇 2.贵阳市“一圈两场三改”落地，幸福生活 二、填空题 近在咫尺.周末，小高同学从家出发步行 15min到达附近学校的运动场锻炼，较 7.如果单项式：2与2y2的和仍为单 之前步行去城市运动中心少走了25 项式，则（一n)"= min.已知小高同学步行的速度为每分钟 8.已知2x2-5x+1=0,则6x2-15.x+7= am,则“一圈两场三改”后，小高同学少走 的路程是 () 三、解答题 A.a m B.10 a m C.15 a m D.25 a m 9已知上+号-3，-2.求代数式+号 y 3.下列关于4a+2的叙述，错误的是 的值. A.4a+2的次数是1 B.4a+2表示a的4倍与2的和 C.4a+2是多项式 D.4a+2可因式分解为4(a+1) 4.把ab-2ab2+b3分解因式正确的是 10.先化简，再求值：[(x+2y)2-(x+2y) A.b(a2-2ab+62) B.a26-62 C.b(a-b)2 D.(a+b)2 (x-2y)]÷4y,其中x=1,y=5-1 2 5.若m×4x2y2=12x2y3-16.x3y2,则m= ( A.4x-3y B.-4x+3y C.4x+3y D.-4x-3y 6.已知3m=4,32m-m=2.若9”=x,则x的 值为 ( A.8 B.4 C.2√2 D.√2 第4节分式 衔接目标 分式的基本性质及其运算，在初中阶段就要求较高，在中职阶段又把其运算进一步扩充 和加强，要求更高 初中知识复盘 知识点② 分式的性质 1.分式的基本性质 知识点① 分式的概念 分式的分子和分母（或除以）同一个不等 1.分式：一般地，如果A,B表示两个整式， 并且B中含有 ,那么式子君叫作 于0的整式，分式的值不变合-A:C:A BB·CB 分式.分式会中，A叫作分子，B叫作 含名(C≠0，且C为整式) 分母. 2.符号法则：分式中三项（分式本身、分子、 有意义，则 ≠0： 分母)里任意两项同时变号，分式大小不 2.分式号 值为零，则 =0, ≠0； 无意义，则 =0. B -B >>>>>>13课后检测雷达 1.B[- ,√27=33，√a=aa,只有√1是 最简二次根式.] 2.B6=8压=8E=-3,故 选B.] 3.D[2×√7=2×7=√/14.] 4B【+5≠6wE:F-2x2=2-2 -√5，√8-√2=2√2-√2=√2.故B正确.] 5.B[依题意3x十90，解得≥-3且≠2.] 1x-2≠0 6.B[vm×后mx百=5=8] 7.解析：原式=2√3-√48=2√3-4√3=-2√3 答案：一2√3 8.解析：（√1T+1)(√T-1)=11-1=10. 答案：10 9.原式=+[②2-+】-【++4] +(2-E+)-(2++) =+2-2+-2--4 原武=(-√周)是(-√) =45-2)-3E-65- 4 =3-3 4 第3节 代数式及整式 初中知识复盘 知识点2 2.(1)和 (2)常数项 知识点3 2.am+”相减am一”相乘a乘方相乘a"%” 3.ac+ad+bc+bd a2-b2 a2+2ab+b2 a2-2ab+ b2 知识点4 1.积2.m(a+b+c)(a+b)(a-b)(a±b)2 核心分类探究 变式训练 1.解析：(1)：x2-2x-3=0,.x2-2x=3, .2.x2-4x+1=2(.x2-2.x）+1 =2×3+1=7. (2),m+n=10,mn=5, .m2+n2=(m十n)2-2mn =102-2×5=100-10=90. 答案：(1)7(2)90 2.解析：1)惊题意m十23解得m=1. 1n-1=4, n=5. .m-n=1-5=-4. (2)-5ab的系数为-5. 答案：(1)A(2)-5 参考答案 3.(1)C[对于A,2m2(m+1)=2m3+2m2,故本选项 不符合题意；对于B,(一3m3n)2=9mn2,故本选项不 符合题意；对于C,m2n一2mn2,不是同类项，不能合 并，故本选项符合题意；对于D,m6÷m2=m4,故本选 项不符合题意.] (2)解析：(a3)2÷(a·a3)十a2 =a6÷a4+a2=a2+a2=2a2 答案：2a2 4.(1)C[选项A,B中的等式不成立；选项C中，2x2- 2=2(x2-1)=2(x十1)(.x-1),正确.D选项中，多项 式x2一x十2在实数范围内不能因式分解：故选C.] (2)解析：3a2b-12ab+12b=3b(a2-4a十4)=3b(a 2)2. 答案：3b(a-2)2 课堂达标 1.D[,单项式-3x2y的系数是一3，次数是3，m= -3,n=3,∴.mn=一3X3=一9，∴.mn的值为-9.] 2.C[①2x一xy=x(2一y),从左向右的变形，将和的 形式转化为乘积的形式，为因式分解；②(x一3)2=x 一6.x十9，从左向右的变形，由乘积的形式转化为和的 形式，为乘法运算；] 3.C[A.(a十1)2=a2+2a十1，原式计算错误，不符合 题意；B.(a-1)2=a2-2a十1，原式计算错误，不符合 题意；C.(a十1)十(a一1)=2a,原式计算正确，符合题 意；D.(a十1)(a-1)=a2-1,原式计算错误，不符合 题意；故选C.] 4.解析：，a-b=6,ab=-8,.原式=ab(a-b)=-8X 6=-48. 答案：一48 课后检测雷达 1.A[多项式a2+4ab2+1是三次三项式：] 2.D[根据题意，小高同学步行的速度为每一个分钟a m,较之前步行去城市运动中心少走了25min,则少走 的路是：aX25=25am.] 3.D[A.4a十2的次数是1，故正确；B.4a十2表示a的 4倍与2的和，故正确；C.4a十2是多项式，故正确； D.4a十2进行因式分解为：2(2a十1)，故错误；故选D.] 4.C[原式=b(a2-2ab+b2)=b(a-b)2.] 5.B[n×4.x2y2=12x2y3-16.x3y2,.m=(12.x2y3 -16x3y2)÷4.x2y2=3y-4.x=-4x+3y.] 6.C[:32m-4"=32(m-2)=(3m-2)2=(3m÷9”)2,依 题毫得()}=2>0小兰=E=2E,故选 C. 7.解析：2y与2y2的和仍为单项式2y”与 2y2是同类项，m=2n=1(-nm=(-1)2=1. 1 答案：1 8.解析：2x2-5x十1=0，.2x2-5.x=-1,.6x2 15.x+7=3(2.x2-5.x)+7=3×(-1)+7=4. 答案：4 9解：（仕+）=++品+=（仕 =32-2X2 =9-4 =5. >>>>>>>>109 衔接教材一本通 10.解：[(x+2y)2-(.x+2y)(.x-2y)]÷4y =[x2+4.xy+4y2-(.x2-4y2)]÷4y =[x2+4.xy+4y2-x2+4y2]÷4y =(4.xy+8y2)÷4y =x+2y,当=1y=5,1时，原式=1十2×5， 2 2 =1+(5-1)=√5. 第4节 分式 初中知识复盘 知识点1 1.字母2.BABB 知识点3 1,4±bc bd 核心分类探究 变式训练 1.解析：(1)根据题意，得：x一2≠0且x十1≥0，解得x≥ 一1且x≠2. ②)由分式2值为0，得1c2=0且x+2≠0 解得r=2. 答案：(1)x≥-1且x≠2(2)B 2.C[对于A,代数式十4是整式，不是分式，故本选项 不符合题意：对于B,分式工义中r,y都扩大3倍后 x-y 为3r·3y 9=3×分式的值扩大3倍， 3.x-3y3(x-y) x一y 故本选项不符合题意：对于C,分式十1是最简分 "x2+1 式，故本选项符合题意；对于D,当x≠1时，分式 x-1 有意义，故本选项不符合题意；故选：C.] 3,解：(1)原式=(a十31) a+2 (a+3a+3)÷a+3)a-3 =a+2.a+3)a-3)=a-3.将a=1代入，得原式 a+3 a+2 =1-3=-2. (2)原式=x-D÷2x-(x+1) (x+1)2F x(x+1) =x(x-1D.x(x+1) (x+1)2 x-1 十由题意可知x≠-1，x≠0，r≠1，取=2. 当x=2时，原式=专 课堂达标 1.D (-) yy2门 2.D [将分式兰中的y的值同时扩大为原来的10 x+y 倍，则原式变为102，(10y)2=100x2·100y2= 10x+10y 10(x十y) 1000X3y 心分式的值扩大1000倍，故选D.] 3.D[a2-5a=a(a-5) a-5 a-5 =a.] 4解折：当r=3时，若分式干的值为0期有十4=3 十4=7≠0，x-a=3-a=0,解得a=3. 答案：3 110 《《(《《《〈( 数学 课后检测雷达 1.A[对于B,2四=义，对于C,十1 x2-1 a中是D马对D号 x+1 1 1.故只有A为最简分式.] 2.B C =0,则x=0,且x2-1≠0，解之得x=0.] 3.B[根据分式的性质，只有B正确.] 4.A =x3.y 2=y.] 5.A 4a 26 2a-b 2a-b 4a-2b_22a-b2=2.] 2a-b 2a-b 6.D[A.当1-m=1+m)1-m,当m=-1时，分 1-m 1-m 式的值为0原这项说法经民，不行合题意：B二日 _1十m)1一m)=1十m,可能比1小，原选项说法错 1-n 误，不符合题意：C.当-m2-①+m)1-m》=1十m 1-n 1-n =2时，m=1,此时分母为零，原选项说法错误，不符 合题毫：D-1+01+m:比m大， 1-m 原选项说法正确，符合题意；故选D.] 7.解析：由题意知：当x=2时，分式无意义，.2-b=0, b=2,当x=0.5时，分式的值为0,2+4= x-2 02=0郎释a=-1=21= 答案时 3 8.解析：2m一n 2m-n (2m-n)2 3(2m-n) 2m-n (2m-n)2 (2m-n)2 6m-3n-2m+n (2m-n)2 4m-2n (2n-n)2 2(2m-n) 2 (2m-n)22m-n 2 答案：2m一n 0解：(e+1+)兰 =a-1)a+1+1 1÷a(a+1) a-1 a-1 a-1 a2 a-1 气Xaa+ia+ 10.解：2-2x+11）÷2红-4 x2-1x+1 (x-1)2 1(x-1)(x+1) x2+x 2(x-2) x(.x+1 -(π-2024)0 4=2 +1-3到=2-1+3=4…原式=分-