第一章 第2节 二次根式-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

初、中职基础知识衔接 第一篇 6.7√44、2506、45三个数的大小关系是 (4)3与2b. A.7√/44250645 B.2√506<45<744 C.7√J44<45<2w506 D.45<2506<7√/44 二、填空题 10.计算：14+2-(-2) 7.计算/8+(-1)2025= (2)2tan 60+()-1-21 8.若m,n为实数，且(m+4)2+√n-5=0, 则(m+n)2的值为 +√-3). 三、解答题 9.比较下列各组数的大小 (1)5√2与7； (2)2+√3与√2+√5； (3)-2x+3与x2-4x+6; 第2节二次根式 衔接目标 将数推广到实数后，我们学习了二次根式的运算，要求根据运算法则进行二次根式 的加、减、乘、除运算以及混合运算，中职阶段对根式的运算又进一步的扩充，要求较高. 初中知识复盘 3.√a= .(注：√a中，a的取值范围 知识点① 三次根式的概念 是全体实数；化简√a时，不要忽略a<0 1.二次根式：一般地，我们把形如√a(a≥0) 的情况.) 的式子叫作二次根式，“一”称为二次 4.√ab= (a≥0，b≥0). 根号. a 2.二次根式有意义的条件：被开方数大于 (a≥0，b>0). 或等于0. 知识点③ 三次根式的运算 3,最简二次根式：一般地，被开方数不含分 1.二次根式的加、减法：先将二次根式化成 母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 ,再将 的二次根式进行 样的二次根式，叫作最简二次根式， 合并. 4.同类二次根式：几个二次根式化为最简 2.二次根式的乘、除法 二次根式后，如果它们的被开方数相同， 那么这几个二次根式就叫作同类二次根 (1)二次根式的乘法：√a·√石= (a≥ 0,b≥0)，即两个二次根式相乘，把被开 式，如√⑧，√2是同类二次根式. 方数 ,根指数不变， 知识点② 二次根式的性质 (a≥0，b 1.a的双重非负性：≥0， (2)二次根式的除法： a≥0. >0),即两个二次根式相除，把被开方 2.(a)2= (a≥0.) 数 ,根指数不变， >>>>7 衔接教材一本通 数学 核心分类探究 规律方法1.最简二次根式需满足的 两个条件 类型一 二次根式的有关概念 (1)被开方数的因数是整数，字母因式 例1若式子 在实数范围内有意义， 是整式： Vx+1 (2)被开方数不含能开得尽方的因数或 则x的取值范围是 因式 A.x>-1 2.判断是否是同类二次根式，需要把几 B.x≥-1且x≠0 个二次根式先化为最简二次根式，如 C.x>-1且x≠0 果它们的被开方数相同，就把这几个 D.x≠0 二次根式叫做同类二次根式， [解析]C[根据题意得：x+1>0且 [变式训练] x≠0，解得：x>一1且x≠0.] 2.(1)若√(x一3)2=3一x,则x的取值范围 规律方法二次根式的被开方数必须 是 大于等于0，求解是充分利用分母不为 (2)√12与最简二次根式5√a+1是同类 0和二次根式、零指数幂有意义的条件 二次根式，则a= 确定关于x的不等式： 心类型三-三次根式的运算- [变式训练] 例3计算：(1)√32+45-√8+√/20 1.若代数式后2有意义，则实数的取值 22×3÷ 范围是 [解] (1)原式=42+3√5-2√2+2 A.x≠2 B.x≥0 C.x≥2 D.x≥0且x≠2 5=22+55 /类型二--三次根式的性质 回 (2)原式=(2×3÷1D,6×2÷3=6。 例2(1)下列二次根式中，与√2是同类二次 规律方法二次根式的混合运算：先 根式是 ( 算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 A.√4 B.√6 C.⑧ D.12 的先算括号内的，最后结果要化为最简 (2)两个最简二次根式√a2+a与√a+25 二次根式且分母不含根式. 可以合并，则a= [变式训练] 解析：(1)√4=2,6是最简二次根式，√⑧ =2√2，W12=25,故选C. 3.计算：15x+@7÷后-6，月 (2)由题意，a2十a=a十25， (2)(3-1)2+(3+2)(√3-2). 解得a2=25,.a=士5， 当a=-5时，√a+25=√/-5+25=√20 =2√5，.此时a+25不是最简二次根式 ∴.a=-5舍去.当a=5时，√a十25= √30，符合题意，∴.a=5. 答案：(1)C(2)5 8< 初、中职基础知识衔接 第一篇\ ☑课堂达标 6.计算√/27× 1.下列二次根式中属于最简二次根式的是 的结果是 ( ) A.9 B.3 C.35 D.3 3 二、填空题 A.√12 B. C.√25 D.√26 7.计算：12-√8×6= 2.若式子√2m-3有意义，则m的取值范 8.计算（√1I+1)(1I-1)的结果为 围是 () Aw<号 R一是 三、解答题 Cm≥ D.m≥-3 9.计算1-②+（厄-）-(+)： 3.已知1<x<2,化简/(x-1)2+|x-2|的 结果为 () A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x 4.计算3X√12= 课后检测雷达 一、选择题 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是 () B.II C.27 D.√a 2.下列二次根式中，与√2是同类二次根式 10.计算：s-4爱)-3，层(3 的是 A.9 B.√/18 C.√0.3D.√27 2 3.计算√2×√7的结果是 A.27 B.72C.14 D.14 4.下列计算正确的是 ( A.√2+3=√5 B/-2 C.3-25=-1D.√8-√2=6 5.要使式子3z+9 x-2 有意义，x的取值范 围是 A.x≥-3 B.x≥-3且x≠2 C.x>-3且x≠2 D.x≤-3且x≠2 >>>>9衔接教材一本通 参芳 第一篇 初、中职基础知识衔接 第一章数与式 第1节实数及其运算 初中知识复盘 知识点1 1.负整数负分数无理数正无理数负无理数 2.正有理数正无理数0负有理数负无理数 知识点2 一一对应符号一a0相等原点一a大互 1 为相反数 a=-6 1 知识点3 110 知识点4 大00 >> 知识点5 1.相同的绝对值绝对值较大的数的减去0 (一6)倒数君 2.-11相反数0,10，士11 1 a a-b b-a 核心分类探究 变式训练 1.C[-2,号2为有型数w3为无理数.] 2.B 1 [1000001×(100000)1=1×10.] 3.A[2=√4<5，.2<5；：7<8=2， .7<2,7<2<5,故选A.] 4.解：原式=1十4+2×-(2-1)=1+4十2-2+ 2 1=6. 课堂达标 1 1.A[π是无理数，50，一1都是有理数，故选A.] 2.C[根据实数比较大小的方法，可得：π>√6>0>一√3 >5,故实数一5，一√，0，π，W6中最大的数是元.故选 C.] 3.D[由数轴得a=2,一3<b<一2，则a>0>b, .ab<0,a+b<0,a+3>b+3,-3a<-3b.] 4解折：愿式=2+2×9-1=2+后-1=1 答案：1 课后检测评价 1.B[根据实数的概念和分类知，只有B正确.] 2.D[-号的制数为2=-是] 3 5 3.C[负数有-号，-3，-25.8共3个.] 4.B[42=16,52=25,.5<√19+1<6， a=5.] 5.C[易知AC=BC=5-2,而数轴上右边的数总比左边 的数大，所以，点A表示的数是2-(W5-2)=4一√5.] 108《(((<<(< 数学 答案 6.B[7√44=√2156,45=√/2025,2√506=√2024， .√2024<√2025<√/2156， .2√506<45<7√44，故选B.] 7.解析：原式=2+(-1)=1. 答案：1 8.解析：(m十4)2+√n-5=0, ∴m十4=0，n-5=0,解得m=-4,n=5, ∴.(m+n)2=(-4+5)2=12=1. 答案：1 9.解：(1)，5√2=√50,7=√49，√50>√49， .5√2>7. (2)(2十5)2=7+4√5， (2+5)2=7+2√10， .4√5>2√10， .2+√3>√2+5 (3)x2-4x+6+2.x-3=x2-2x+3>0, .x2-4x+6>-2x+3. (④)当3-2b>0,即6<号时，3>26： 当3-2h=0,即6=号时3=2b: 当3-26<0即6>号时，3<26 10,解折：1原式=2+号十号-3 (2)原式=23+4-23+3=7. 第2节二次根式 初中知识复盘 知识点2 2.a3.a= ja(a≥0)， {-a(a<0). 4.后65. 6 知识点3 1.最简二次根式 被开方数相同2.√ab 相乘 √行相除 核心分类探究 变式训练 1D[猴题意有产≠. 解得x≥0且x≠2.] 2.解：(1)依题意，3-x≥0，解得x≤3. (2)√12=2√5，a+1=3,解得a=2. 答案：(1)x≤3(2)2 3.解：(1)原式=5√3+3-2√5=3√3+3. (2)原式=3-2√5+1十3-4=3-2V3. 课堂达标 1D[V厘=2√/层-西-5，V瓜为最荷二 次根式.] 2.C[依题意2m-3≥0，解得m≥.] 3.B[,1<x<2,.x-1>0,x-2<0, √(x-1)2+|x-2=x-1+2-x=1.] 4.解析：W3X√1z=√3X12=√36=6. 答案：6 课后检测雷达 1.B[- ,√27=33，√a=aa,只有√1是 最简二次根式.] 2.B6=8压=8E=-3,故 选B.] 3.D[2×√7=2×7=√/14.] 4B【+5≠6wE:F-2x2=2-2 -√5，√8-√2=2√2-√2=√2.故B正确.] 5.B[依题意3x十90，解得≥-3且≠2.] 1x-2≠0 6.B[vm×后mx百=5=8] 7.解析：原式=2√3-√48=2√3-4√3=-2√3 答案：一2√3 8.解析：（√1T+1)(√T-1)=11-1=10. 答案：10 9.原式=+[②2-+】-【++4] +(2-E+)-(2++) =+2-2+-2--4 原武=(-√周)是(-√) =45-2)-3E-65- 4 =3-3 4 第3节 代数式及整式 初中知识复盘 知识点2 2.(1)和 (2)常数项 知识点3 2.am+”相减am一”相乘a乘方相乘a"%” 3.ac+ad+bc+bd a2-b2 a2+2ab+b2 a2-2ab+ b2 知识点4 1.积2.m(a+b+c)(a+b)(a-b)(a±b)2 核心分类探究 变式训练 1.解析：(1)：x2-2x-3=0,.x2-2x=3, .2.x2-4x+1=2(.x2-2.x）+1 =2×3+1=7. (2),m+n=10,mn=5, .m2+n2=(m十n)2-2mn =102-2×5=100-10=90. 答案：(1)7(2)90 2.解析：1)惊题意m十23解得m=1. 1n-1=4, n=5. .m-n=1-5=-4. (2)-5ab的系数为-5. 答案：(1)A(2)-5 参考答案 3.(1)C[对于A,2m2(m+1)=2m3+2m2,故本选项 不符合题意；对于B,(一3m3n)2=9mn2,故本选项不 符合题意；对于C,m2n一2mn2,不是同类项，不能合 并，故本选项符合题意；对于D,m6÷m2=m4,故本选 项不符合题意.] (2)解析：(a3)2÷(a·a3)十a2 =a6÷a4+a2=a2+a2=2a2 答案：2a2 4.(1)C[选项A,B中的等式不成立；选项C中，2x2- 2=2(x2-1)=2(x十1)(.x-1),正确.D选项中，多项 式x2一x十2在实数范围内不能因式分解：故选C.] (2)解析：3a2b-12ab+12b=3b(a2-4a十4)=3b(a 2)2. 答案：3b(a-2)2 课堂达标 1.D[,单项式-3x2y的系数是一3，次数是3，m= -3,n=3,∴.mn=一3X3=一9，∴.mn的值为-9.] 2.C[①2x一xy=x(2一y),从左向右的变形，将和的 形式转化为乘积的形式，为因式分解；②(x一3)2=x 一6.x十9，从左向右的变形，由乘积的形式转化为和的 形式，为乘法运算；] 3.C[A.(a十1)2=a2+2a十1，原式计算错误，不符合 题意；B.(a-1)2=a2-2a十1，原式计算错误，不符合 题意；C.(a十1)十(a一1)=2a,原式计算正确，符合题 意；D.(a十1)(a-1)=a2-1,原式计算错误，不符合 题意；故选C.] 4.解析：，a-b=6,ab=-8,.原式=ab(a-b)=-8X 6=-48. 答案：一48 课后检测雷达 1.A[多项式a2+4ab2+1是三次三项式：] 2.D[根据题意，小高同学步行的速度为每一个分钟a m,较之前步行去城市运动中心少走了25min,则少走 的路是：aX25=25am.] 3.D[A.4a十2的次数是1，故正确；B.4a十2表示a的 4倍与2的和，故正确；C.4a十2是多项式，故正确； D.4a十2进行因式分解为：2(2a十1)，故错误；故选D.] 4.C[原式=b(a2-2ab+b2)=b(a-b)2.] 5.B[n×4.x2y2=12x2y3-16.x3y2,.m=(12.x2y3 -16x3y2)÷4.x2y2=3y-4.x=-4x+3y.] 6.C[:32m-4"=32(m-2)=(3m-2)2=(3m÷9”)2,依 题毫得()}=2>0小兰=E=2E,故选 C. 7.解析：2y与2y2的和仍为单项式2y”与 2y2是同类项，m=2n=1(-nm=(-1)2=1. 1 答案：1 8.解析：2x2-5x十1=0，.2x2-5.x=-1,.6x2 15.x+7=3(2.x2-5.x)+7=3×(-1)+7=4. 答案：4 9解：（仕+）=++品+=（仕 =32-2X2 =9-4 =5. >>>>>>>>109