第一章 第1节 实数及其运算-【创新教程】2026年初升高中职数学衔接教材一本通

衔接教材一本通 参芳 第一篇 初、中职基础知识衔接 第一章数与式 第1节实数及其运算 初中知识复盘 知识点1 1.负整数负分数无理数正无理数负无理数 2.正有理数正无理数0负有理数负无理数 知识点2 一一对应符号一a0相等原点一a大互 1 为相反数 a=-6 1 知识点3 110 知识点4 大00 >> 知识点5 1.相同的绝对值绝对值较大的数的减去0 (一6)倒数君 2.-11相反数0,10，士11 1 a a-b b-a 核心分类探究 变式训练 1.C[-2,号2为有型数w3为无理数.] 2.B 1 [1000001×(100000)1=1×10.] 3.A[2=√4<5，.2<5；：7<8=2， .7<2,7<2<5,故选A.] 4.解：原式=1十4+2×-(2-1)=1+4十2-2+ 2 1=6. 课堂达标 1 1.A[π是无理数，50，一1都是有理数，故选A.] 2.C[根据实数比较大小的方法，可得：π>√6>0>一√3 >5,故实数一5，一√，0，π，W6中最大的数是元.故选 C.] 3.D[由数轴得a=2,一3<b<一2，则a>0>b, .ab<0,a+b<0,a+3>b+3,-3a<-3b.] 4解折：愿式=2+2×9-1=2+后-1=1 答案：1 课后检测评价 1.B[根据实数的概念和分类知，只有B正确.] 2.D[-号的制数为2=-是] 3 5 3.C[负数有-号，-3，-25.8共3个.] 4.B[42=16,52=25,.5<√19+1<6， a=5.] 5.C[易知AC=BC=5-2,而数轴上右边的数总比左边 的数大，所以，点A表示的数是2-(W5-2)=4一√5.] 108《(((<<(< 数学 答案 6.B[7√44=√2156,45=√/2025,2√506=√2024， .√2024<√2025<√/2156， .2√506<45<7√44，故选B.] 7.解析：原式=2+(-1)=1. 答案：1 8.解析：(m十4)2+√n-5=0, ∴m十4=0，n-5=0,解得m=-4,n=5, ∴.(m+n)2=(-4+5)2=12=1. 答案：1 9.解：(1)，5√2=√50,7=√49，√50>√49， .5√2>7. (2)(2十5)2=7+4√5， (2+5)2=7+2√10， .4√5>2√10， .2+√3>√2+5 (3)x2-4x+6+2.x-3=x2-2x+3>0, .x2-4x+6>-2x+3. (④)当3-2b>0,即6<号时，3>26： 当3-2h=0,即6=号时3=2b: 当3-26<0即6>号时，3<26 10,解折：1原式=2+号十号-3 (2)原式=23+4-23+3=7. 第2节二次根式 初中知识复盘 知识点2 2.a3.a= ja(a≥0)， {-a(a<0). 4.后65. 6 知识点3 1.最简二次根式 被开方数相同2.√ab 相乘 √行相除 核心分类探究 变式训练 1D[猴题意有产≠. 解得x≥0且x≠2.] 2.解：(1)依题意，3-x≥0，解得x≤3. (2)√12=2√5，a+1=3,解得a=2. 答案：(1)x≤3(2)2 3.解：(1)原式=5√3+3-2√5=3√3+3. (2)原式=3-2√5+1十3-4=3-2V3. 课堂达标 1D[V厘=2√/层-西-5，V瓜为最荷二 次根式.] 2.C[依题意2m-3≥0，解得m≥.] 3.B[,1<x<2,.x-1>0,x-2<0, √(x-1)2+|x-2=x-1+2-x=1.] 4.解析：W3X√1z=√3X12=√36=6. 答案：6初、中职基础知识衔接 第一篇\ 第口篇 初、中职基础知识衔接 第一章数与式 第1节实数及其运算 衔接目标 在初中阶段，我们对实数已有初步认识，实数具有顺序性，能够进行大小比较，并且 其中有着丰富的内涵，但是实数的运算还没有结束，在中职阶段我们还将学习与实数有 关的运算.学好实数的有关知识将为中职阶段的学习打下良好的基础 续表 初中知识复盘 定义 只有 不同的两个 知识点① 实数的分类 数互为相反数 1.按定义分类 非零实数a和 互 正整数 为相反数，特别地，0的相 整数o 有限小数 相 性质 反数是0；实数a,b互为相 有理数 或无限循 反数台a+b= 实数 (正分数 环小数 数 互为相反数(0除外)的两 分数 几何 个数分别位于数轴上原点 无限不循 意义 的两侧，且与原点的距离 环小数 ,这两个点关于 对称 2.按正、负数分类 数轴上表示数a的点到原 正实数 非负数 定义 点的距离叫做数a的绝对 实数 值，记作|a 「a(a>0) 负实数 0(a=0) 性质 (a<0) 知识点② 实数的相关概念及性质 a具有非负性 值 原点 正方向 三要素 几何 数轴上表示数a的点到原 点的距离，离原点越远的数 单位长度 意义 的绝对值越 实数与数轴上的点是 性质 绝对值相等的两个数相等或 的 即|a|=|bl台a=b或 数 用右边点表示的数减去 定义 乘积为1的两个数互为 倒数 数轴上 左边点表示的数，如图， 数轴上AB之间的距离 非零实数a的倒数是 两点间 数 ;0没有倒数；若 的距离 是AB=b-a 性质 a,b互为倒数，则ab ;倒数等于本身的 A 数是士1 >>>>3 衔接教材一本通 数学 知识点③ 科学记数法写近似数 知识点⑤ 实数的运算 1.四则运算 表示 a×10,其中 ≤lal 形式 ,n为整数 (1)同号两数相加，取 符 号，并把 相加； a的 将原数变为整数位数只 (2)异号两数相加，绝对值相等 确定 有1位的数 时和为0；绝对值不相等时，取 科学 ①当|原数≥10时，n为 加法 符号，并用较大的绝对值 记数 正整数且等于原数的整 较小的绝对值； 法 数位数减1； (3)互为相反数的两数相加得 n的 ②当0<|原数|<1时，n ；一个数同0相加，仍得 确定 为负整数且绝对值等于 这个数 原数左起第一个非0数 字前所有0的个数（包括 减数 减去一个数，等于加上这个数的 相反数，即a-b=a十 小数点前的0) 两数相乘，同号得正，异号得负， 近似数将一个数四舍五入后得到的数 乘法 并把绝对值相乘；任何数与0相 乘，积仍为0 个近似数四舍五入到哪一位 精确度 就称这个数精确到哪一位 除以一个不为0的数等于乘这 除法 个数的 ,即a÷b= 知识点④ 实数的天小比较 a· (b≠0) 数轴比 在数轴上，右边点表示的数比 2.几种常见的运算类型 较法 左边点表示的数 正数> ,负数< a”=a·a·…·a,正数的任 类别比 正数 切负数；两个负 n个a 较法 数比较大小，绝对值大的反 何次幂都是正数；负数的奇次幂 而小 乘方 是负数，负数的偶次幂是正数， 特别地，（一1）” 若a-b>0,则a 作差比 b: (n为奇数)； 若a-b=0,则a b; 较法 (n为偶数) 若a-b<0,则a (1)一个正数的平方根有两个， 1)若a>0,6>0,则%>1a>b: 它们互为 ,负数没有平 方根； 作商比 号-1a=b:分<1片a<b: (2)一个正数的算术平方根只有 较法 2)若a<06K0,则号>1=a: 一个且为正数： 开方 (3)所有的数都有一个立方根， 合-1a=6:号 <1台a>b 且与原数同号 注意：平方根等于它本身的数是 a>b>0台a>√b(适用于含有 0;算术平方根等于它本身的数 平方比 根号的数的大小比较或二次根 是 ;立方根等于它本身的 较法 式的估值) 数是 4《《(《(( 初、中职基础知识衔接 第一篇 续表 [解析]C[近似数3.50×103= 零次幂 (a≠0) 3500,3.50中的0在十位上，因此精确 到十位.故选C.门 负整 数指 a (a≠0，n为正整 规律方法用科学记数法表示的数的 数幂 数) 精确度，需要先把科学记数法表示的数 还原成原数，再看近似数最右边的数 去绝 (a>b) 所在的数位即可· 对值 a-bl 0(a=b) [变式训练] 符号 (a<b) 2.据央视网2024年10月11日消息，中国 科学技术大学中国科学院量子创新研究 核心分类探究 院与上海微系统所、国家并行计算机工 心类型二 实数的有关概念 9 程技术研究中心合作，成功构建了255 例1若a是实数，下列说法对吗？若不对， 个光子的量子计算原型机“九章三号”， 再度刷新了光量子信息的技术水平和量 请给出成立的条件. 子计算优越性的世界纪录.“九章三号” (1)-a<0; 处理高斯玻色取样的速度比上一代“九 (2)2a是偶数； 章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒 (3)-|a<0; 时间内所处理的最高复杂度的样本，需 (4)a+3>a; 要当前最强的超级计算机花费超过二百 (5)(-a)2=-a2; 亿年的时间.将“百万分之一”用科学记 (6)3a>2a. 数法表示为 [解](1)不对，当a>0时成立. A.1×10-5 B.1×10-6 (2)不对，当a是整数时成立. C.1×10-7 D.1×10-8 (3)不对，当a≠0时成立. 类型三。_实数的大小比较 (4)对. 例3比较下列各组数的大小： (5)不对，当a=0时成立. (1)2√7与3√3； (6)不对，当a>0时成立. (2)2+√6与3+5： 规律方法字母代替数，泛指所有的 (3)-x2+1和x2-4x+6: 数，一a表示数a的相反数，而数a可 [思路分析]比较代数式的大小一般采 表示正数、负数、0等一切实数，进入中 取作差法. 职阶段我们的思维将更理性，不能停留 [解] (1).2√7=√28,3√3=√27. 在事物的表面形态， 28>√27,2√7>35. [变式训练] (2)(√2+√6)2=8+212， 1.在-2,25,2中，是无理数的是( (3+√5)2=8+2√15， A.-2 C.5 D.2 .8+2√12<8+2√15， √2+√6<3+5. 八类型二. 科学记数法与近似数 回 (3)-x2+1-(x2-4x+6)=-2x2+4x-5 例2近似数3.50×103精确到 =-2(x2-2x)-5=-2(x-1)2-3. A.百分位 B.百位 .(x-1)2≥0，.-2(x-1)2-3<0. C.十位 D.个位 ∴.-x2+1<x2-4.x+6. >>>>5 衔接教材一本通 数学 规律方法对于任意实数a与b的大小 ☑课堂达标 比较，存在a>b,a=b,a<b三种关系.比 较两个实数的大小方法很多，可以通过变 1,实数，0，-1中，无理数是 形[如(1)(2)]后进行判断；可以利用数轴 A.元 上右边的点表示的数比左边的点表示的 B C.0 D.-1 数大；可以把所有实数化成小数形式后进 2.在实数一5，一√3,0，π，√6中，最大的一个 行判断.对于含有字母的两个代数式大小 数是 的比较，一般采用“作差法”，如(3)，也有 A.-5 B.-√3 C.π D.6 时采用“比商法”.由于最后结果受到字母 3.实数a,b在数轴上对应点的位置如图所 取值的影响，往往需要判断其与0的大小 示，则下列结论正确的是 ( ) 关系，如(3)，如果无法判断，还需根据情 况进行分类讨论。 32-10123 [变式训练] A.ab0 B.a+b>0 3.比较2,5,7的大小，正确的是 ( C.a+3<b+3 D.-3a<-3b A.7<2<5 B.2<7<5 4.计算：1√3-2|+2sin60°-2025°= C.2<5<7 D.5<7<2 类型四 实数的运算 回 课后检测雷达 例4计算：7°十 '+--(5 一、选择题 1.下列说法正确的是 sin30°. A.正整数，负整数统称为整数 [解] 原式：=1+6+号-5- =2 B.正有理数，0，负有理数统称为有理数 C.无限小数都是无理数 规律方法实数的混合运算顺序 D.有理数是有限小数 (1)先计算各小项的值（如：零次幂、负 整数指数幂、一1的奇、偶次幂、去绝对 2.- 导的饲数足 值符号、开方、特殊角的三角函数值)； (2)再根据实数的运算顺序计算：先乘 A. 2 B.- 2 3 C.2 D.-3 方，后乘除，再加减，有括号时先计算括 3.下列各数中：5，一 -3,0,-25.8,+2, 号里面的； 7 (3)没有括号时，在同一级运算中，要按 负数有 ( ) 从左至右的顺序依次计算。 A.1个 B.2个 C.3个D.4个 [变式训练] 4.若19+1的值在两个整数a与a+1之 4.计算：(5-π)°+(-2) 间，则a= +2sin45° A.4 B.5 C.6 D.7 11-√21. 5.如图所示，数轴上表示2，√5的对应点分 别为C,B,点C是AB的中点，则点A表 示的数是 ( ACB 0 2元 A.-5 B.2-√5 C.4-5 D.√5-2 6 初、中职基础知识衔接 第一篇 6.7√44、2506、45三个数的大小关系是 (4)3与2b. A.7√/44250645 B.2√506<45<744 C.7√J44<45<2w506 D.45<2506<7√/44 二、填空题 10.计算：14+2-(-2) 7.计算/8+(-1)2025= (2)2tan 60+()-1-21 8.若m,n为实数，且(m+4)2+√n-5=0, 则(m+n)2的值为 +√-3). 三、解答题 9.比较下列各组数的大小 (1)5√2与7； (2)2+√3与√2+√5； (3)-2x+3与x2-4x+6; 第2节二次根式 衔接目标 将数推广到实数后，我们学习了二次根式的运算，要求根据运算法则进行二次根式 的加、减、乘、除运算以及混合运算，中职阶段对根式的运算又进一步的扩充，要求较高. 初中知识复盘 3.√a= .(注：√a中，a的取值范围 知识点① 三次根式的概念 是全体实数；化简√a时，不要忽略a<0 1.二次根式：一般地，我们把形如√a(a≥0) 的情况.) 的式子叫作二次根式，“一”称为二次 4.√ab= (a≥0，b≥0). 根号. a 2.二次根式有意义的条件：被开方数大于 (a≥0，b>0). 或等于0. 知识点③ 三次根式的运算 3,最简二次根式：一般地，被开方数不含分 1.二次根式的加、减法：先将二次根式化成 母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 ,再将 的二次根式进行 样的二次根式，叫作最简二次根式， 合并. 4.同类二次根式：几个二次根式化为最简 2.二次根式的乘、除法 二次根式后，如果它们的被开方数相同， 那么这几个二次根式就叫作同类二次根 (1)二次根式的乘法：√a·√石= (a≥ 0,b≥0)，即两个二次根式相乘，把被开 式，如√⑧，√2是同类二次根式. 方数 ,根指数不变， 知识点② 二次根式的性质 (a≥0，b 1.a的双重非负性：≥0， (2)二次根式的除法： a≥0. >0),即两个二次根式相除，把被开方 2.(a)2= (a≥0.) 数 ,根指数不变， >>>>7