18.2菱形（4知识点+9题型+过关检测）【同步课堂】2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

18.2菱形 （4知识点+9题型+过关检测） 【题型1 利用菱形的性质求角度】 2 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 5 【题型3 利用菱形的性质求面积】 8 【题型4 利用菱形的性质证明】 10 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 14 【题型6 证明四边形是菱形】 19 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 23 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 27 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 31 1. 理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的从属关系，知道菱形是特殊的平行四边形。 2. 熟练掌握菱形的边、角、对角线、对称性四大核心性质，能区分平行四边形与菱形的性质差异。 3. 掌握菱形的三种判定方法，可根据题干条件灵活选择判定定理。 4. 掌握菱形的两种面积计算公式，能结合性质完成角度、线段、面积的计算与证明题。 知识点1：菱形的定义03 知识•梳理 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键备注：定义兼具性质与判定作用，是最基础的判定依据。 知识点2：菱形的性质（基于平行四边形的特殊性质） 1. 边的性质：对边平行，四条边全部相等（菱形核心特殊性质），周长=4×边长。 2. 角的性质：对角相等，邻角互补，内角和为360°，与平行四边形一致，无特殊角度规律。 3. 对角线性质：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角（核心考点）；两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形。 4. 对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），又是轴对称图形（2条对称轴，为两条对角线所在直线）。 知识点3：菱形的判定定理 1. 定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 边判定：四条边都相等的四边形是菱形。 3. 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 易错提醒：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形才成立。 知识点4：菱形的面积公式 1. 通用公式（平行四边形通用）：面积=底×高 2. 菱形专属公式：面积=两条对角线乘积的一半（必考公式，仅适用于菱形、正方形） 04 题型•讲练 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【典例1】．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】/55度 【分析】由菱形的性质可得，，证明，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得，然后根据两直线平行同位角相等，据此即可解答． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， ∵， ∴． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【典例2】．如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长，再利用菱形面积的两种计算方法（底乘高和对角线乘积的一半）建立等式求解． 【详解】解：连接与交于点， 四边形是菱形， ，，， ∴在中， ， ， ，， ， ． 【变式1】．如图，在菱形中，交于，于，连接，，，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ∴，，，即点是的中点， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，． 【变式2】．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．若，则的长是_________． 【答案】5 【分析】先结合菱形的性质得，根据，得出，然后证明是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴． 【变式3】．如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可知点与点关于对称，作点关于的对称点，则在上，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为的最小值，连接，利用三角形中位线定理和勾股定理求出的长度即可 . 【详解】解:四边形是菱形，边长为5， ，，， 在中，， 作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，最小值为的长度， 点与点关于对称，， 点在上，且， 是的中点， ， ， ， 连接， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， 在中，， 的最小值为. 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【典例3】．如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理，得，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， ∴， ∴菱形的对角线相交于点O，， ∴菱形的面积为， 【变式1】．风筝作为传统文化载体之一，是人们寄托情感、表达愿望等的一种方式，凝聚着人们的美好祝福和吉祥期盼．四月，风和日丽，阳光朗润，正是放风筝的好时节．某数学兴趣小组制作了一只菱形形状的风筝，如图，在菱形中，，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长，得出另一条对角线的长，再利用菱形面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：设 与 交于点 ， 四边形 是菱形， ， ， ， 在 中， 由勾股定理得： ， ， ． 【变式2】．如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】由菱形的性质得到，，，，进而得到，从而是等边三角形，因此，，再由勾股定理求出，得到，再由菱形面积的计算方法求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 【变式3】．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 【答案】 20 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴． 【题型4 利用菱形的性质证明】 【典例4】．如图，在菱形中，点E，F分别在，边上，，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】利用角度和差关系得出，再利用菱形的性质得出，，证明，得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∵在与中 ∴， ∴， ∴． 【变式2】．如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）由菱形的性质得，再结合题意证四边形是平行四边形，即可得结论； （2）根据（1）的结论求出，再根据菱形的性质和面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)平分吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)平分．理由见解析 【分析】（1）根据菱形的性质，邻边相等，结合条件，得到等边三角形，根据等边三角形性质，每个角都是，再结合夹着的两组对边分别相等，利用判定三角形全等； （2）过点作于点，作交的延长线于点，根据三角形内角和，求出，根据四边形内角和，求出，再根据邻补角互补得一组相等角，利用判定三角形全等，根据全等三角形性质得，最后根据角平分线的判定定理证明结论． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中，， ． （2）答：平分． 理由如下：过点作于点，作交的延长线于点， 四边形为菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 平分． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、三角形内角和、四边形内角和、邻补角互补、角平分线的判定定理．解决本题的关键的辅助线的构造和全等三角形的判定． 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 【典例5】．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③平分， 如图， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的是③④，共2个． 【变式1】．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【答案】5 【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形，，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且． ， 平行四边形是菱形． 【变式2】．如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，则，证明，得，，即可推出，则，根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接，由或得是菱形，则、互相垂直平分，由得，则、互相垂直平分，根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当或时，四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形，（或）， ∴四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴、互相垂直平分， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【变式3】．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)ACD (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的判定定理分析即可； （2）根据题意即可作图，由线段的垂直平分线的性质得到，然后证明，则，即可通过四边相等的四边形是菱形证明． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， 当时，是菱形，故A符合题意； 当时，四边形是矩形，故B不符合题意； 当为的角平分线时， 则， 因为中，， 所以， 所以， 所以， 所以是菱形，故C符合题意； 当时，是菱形，故D符合题意． （2）解：如图即为所求， 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【题型6 证明四边形是菱形】 【典例6】．如图，把一张矩形纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合， (1)连接，求证：四边形是菱形； (2)若为9，为3，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据矩形的性质，折叠的性质，推出，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再根据菱形的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）证明：连接， ∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形为菱形； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的对边平行和角平分线的定义可证明，则，据此可证明结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出菱形的面积即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴. 【变式2】．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：平行四边形中，，， 即， 又， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是菱形． 【变式3】．如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)用尺规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法．）； (2)若直线交于点，交于点，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）按照垂直平分线的尺规作图法作图即可； （2）先利用平行四边形的性质和垂直平分线的条件，证明四边形是平行四边形，再结合对角线互相垂直，证明它是菱形． 【详解】（1）解：如图为． （2）解：如图，交于点，交于点，连接，， 四边形是平行四边形， ∴， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 【典例7】．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据作图可得四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， 四边形是菱形， ，． 故选：B． 【变式1】．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【变式2】．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 【答案】/62度 【分析】首先证明出四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形 ∴平分和 ∴． 【变式3】．如图，将边长为的等边沿射线向右平移到，连接，． (1)求证：； (2)求所扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了图形平移的性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质，垂直的判定，用勾股定理解直角三角形，平移扫过图形的面积计算． （1）通过图形平移的性质证明四边形是菱形，，得到，继而得证结论． （2）通过分析平移过程中扫过区域的面积组成，分别计算各部分的面积，再将所得的面积相加即可． 【详解】（1）证明：等边边长为，平移得到， ， ， 由平移性质可得：，且， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， 平分，即， 在中，，， ， ； （2）解：平移过程中扫过区域为与的面积之和， 又， 在中，根据勾股定理有：， ， 四边形是菱形， ，互相平分， ， 所扫过的总面积． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 【典例8】．如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点，点E是上一点，且，连接，下列结论：；；；，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，得到四边形是菱形，利用菱形的性质，三角形中位线求解即可； 【详解】解：平行四边形的对角线交于点 ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 故， 故正确； ； 故错误； ， 故正确； ， ， 故正确； 【变式1】．如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】连接，设交于点H，由作图可得，，平分，根据菱形的判定证明四边形是菱形，则，，，在中利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点H． 由作图可得，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴． 【变式2】．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 【答案】 【分析】由条件可先证得四边形为菱形，连接交于点，连接，可求得和的长，则，故当三点在一条线上时，有最小值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， 如图，连接交于点，连接，则，为的中点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴当三点在一条线上时，有最小值，最小值为． 【变式3】．如图，在平行四边形中，连接，，过点作，与的延长线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为120，与的和34，求的长（其中）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，结合，可得，从而可得结论； （2）由菱形的性质可得，，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形. （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形的面积为120，与的和34， ∴，， ∴，， ∴， ∴. 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 【典例9】．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【分析】证明四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，，点到和的距离相等，均等于纸条的宽， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的面积纸条的宽纸条的宽， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴四边形的面积为. 【变式1】．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点A作于点G，证明四边形为菱形，得出，，，，根据勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，得，再根据勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 红丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：． 【变式3】．结合图形，解决以下问题： (1)在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点．求证：四边形是菱形．请你帮小明写出证明过程． 【类比应用】 (2)如图2，王老师要求小明将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边于点，若，求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先结合矩形的性质，证明，得到，先证明四边形是平行四边形，再证明菱形即可； （2）连接，，由折叠性质可知垂直平分，由（1）得：四边形是菱形，设，利用勾股定理，列方程求出，再结合菱形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：如图2，连接，， 将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合， 垂直平分， 由（1）得：四边形是菱形， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 解得， ， ， ， ； 05 过关•检测 1．如图，在中，点D，E，F分别是边的中点，连接，下列结论错误的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据矩形的判定，菱形的判定，解答即可，本题考查了矩形，菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点D，E，F分别是边的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， A. 若，那么四边形是矩形，正确，不符合题意； B. 若，则，那么四边形是菱形，原说法不正确，符合题意； C. 若，则，那么四边形是菱形，正确，不符合题意； D. 若，则，那么四边形是矩形，正确，不符合题意； 故选B． 2．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，则这个菱形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，得，，利用勾股定理，菱形的性质求解即可； 【详解】解：菱形的性质，得，，， 故， 故菱形的周长为； 3．如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标． 【详解】解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上， ，，， 即轴， 在中，由勾股定理得：， 点的坐标是：． 4．四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，得，利用菱形面积的两种表示法建立等式求解即可． 【详解】解：因为四边形是菱形，对角线，， ，，， ， ， ， ， 解得． 5．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【详解】解：∵菱形，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 6．如图，菱形花坛沿着对角线修建了两条小路和，若花坛的面积为，小路的长为，则小路的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：设交于，   ， 在菱形中，，且相互平分， ， ∴． 7．图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为，，沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（    ） ①是等边三角形； ②四边形为菱形； ③六边形的周长是； ④存在，，使四边形的面积与的面积之比为． A．①② B．②④ C．①③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由题意得，，据此可判断①；根据，可得，同理可得，据此可判断②；由题意得，，，可得六边形的周长，从而判断③；分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P，Q，利用含30°角直角三角形的性质和勾股定理，得到，若四边形的面积与的面积之比为，得到，则可推出，据此可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴是等边三角形，故①符合题意； ∴， 根据题意得， ∴，即， 同理可证明， ∴四边形为菱形，故②符合题意； 由题意得，，， 则六边形的周长为，故③不符合题意； 如图所示，分别过点A和点T作的垂线，垂足分别为P，Q， ， ， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， 根据勾股定理得， ， ∵四边形的面积与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，满足四边形的面积与的面积之比为，故④符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，能够熟练掌握这些知识点是解题的关键． 8．四边形的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别为，的中点，下列四个结论： ①对于任意四边形，四边形都是平行四边形； ②若四边形是平行四边形，则是菱形； ③若四边形是菱形，则四边形是矩形； ④若四边形MNPQ是正方形，则四边形也一定是正方形． 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理，结合特殊四边形的判定与性质，逐一判断每个结论即可． 【详解】∵点，，，分别为，，，的中点， ∴由三角形中位线定理得 ，，， ， ∴且， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 若四边形是平行四边形，其对角线不一定等于，结合， ，可得不一定等于，因此平行四边形不一定是菱形，故②错误； 若四边形是菱形，则， ∵ ， ∴，即 ， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故③正确； 若四边形是正方形，只需原四边形的对角线垂直且相等即可，不一定是正方形， 例如对角线垂直相等的等腰梯形，其中点四边形也是正方形，故④错误； 综上，正确结论为①③． 9．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】连接，由菱形对角线互相垂直平分可得，则可由勾股定理求出，证明四边形是矩形，则，进一步求出即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∵于点F，于点G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E是边上一点（不与B，C重合）， ∴当时，取得最小值，， 此时， ∴， 则， ∴设的长为x，则x的取值范围是． 10．如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的面积为_______． 【答案】 【分析】根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，直接代入两条对角线的长度计算即可． 【详解】解：在菱形中，对角线和的长分别为和， ． 11．将和按图1方式摆放，点A与点F重合，点C与点D重合，其中，，．现固定，将沿射线方向平移，平均速度每秒1个单位长度，平移时间为t秒，连接、，如图2．在平移过程中，当________时四边形是轴对称图形． 【答案】6或 【分析】根据题意判断出当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形，再分类求解，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由平移的性质得，点A，F，C，D共线， ∴， ∴四边形始终是平行四边形， ∴当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形． ①当四边形是菱形时，此时点重合，如图 ∴． ∴， ②当四边形是矩形时，如图 ∴， 设， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． ∴， ∴． 综上所述：当6或时四边形是轴对称图形． 12．如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质求出的长度，再利用等面积法求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得． 13．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到，，．结合已知得到，，利用勾股定理求得，则，然后利用菱形的面积公式求解面积即可；再证明四边形是平行四边形，得到，．利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，， ∴，， 在中，， ∴，则， ∴菱形的面积为； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 14．如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为_______ 【答案】或 【分析】利用菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质及勾股定理，分两种情况画出图形进行解答即可：①；②． 【详解】解：∵与菱形的对角线平行，而菱形的对角线有和， ∴分和两种情况进行讨论： ①当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 过点E作于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 15．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，连接．若，． (1)求菱形的面积； (2)求的长． 【答案】(1)菱形的面积为； (2)． 【分析】（）由菱形的性质可得，，，然后通过直角三角形的性质可得，所以，最后由菱形的面积为即可求解； （）由（）得，，，则，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为； （2）解：由（）得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图1，四边形是菱形，，，点E从点A出发，沿边，运动到点C停止，作射线，将射线绕点D逆时针旋转，交射线于F，连接． (1)当点E在边上（不与A，B重合）运动时， ①的最小值为____________； ②如图2，过点F作射线的垂线，垂足为G，若M是线段的中点，连接，求的度数． (2)请直接写出为等腰三角形时的度数． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）可证明是等边三角形，得到，则当时，有最小值，即此时有最小值；证明为等边三角形，则当时，，由勾股定理可得此时，据此可得答案； （2）由等边三角形的性质得到点G为的中点，则为的中位线，据此得到，则； （3）分点 位置（在 上、在 上 ），根据等腰三角形（ ）腰相等情况，结合菱形、旋转性质及角的和差算． 【详解】（1）解：①由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值； ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴当时，， ∴此时， ∴的最小值为； ②∵是等边三角形，， ∴点G为的中点， 又∵ 点M为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （2）解：当点E在上时， 由（1）得为等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴当点E在上时，点F在上， ∴当为等腰三角形时，为等边三角形， ∴，即此时点F与点B重合， ∴； 当点在上时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴； 若， ∵，， ∴，， ∴． ∴； 若， 则． ∴， 这与三角形的内角和为180度矛盾，舍去． ③若， ∴． ∴， 这与三角形的内角和为180度矛盾，舍去． 综上，为等腰三角形时，的度数为或． 17．如图，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，、的长，满足，把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点． (1)______，______； (2)请求出点的坐标（写过程），并直接写出点的坐标（不写过程）； (3)在（2）的条件下，点为平面内任意一点，轴上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标；点的坐标； (3)存在点，满足条件的点的坐标为，，， 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）由矩形的性质结合折叠的性质得到，推出，在中，由勾股定理列方程求解即可得到点的坐标；点作，并延长交于点，由矩形和折叠的性质可得的长，在和中，利用勾股定理分别表示出，列方程即可求得的长，进而可得点的坐标； （3）分三种情况讨论：当为菱形的边，是菱形的边时；当为菱形的边，是菱形的对角线时；当为菱形的对角线时，根据菱形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：、的长，满足，，， ，， ，； （2）解：由（1）知，，， 在矩形中，，，， ， 由折叠可知，， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， ，， 点的坐标； 如图，过点作，并延长交于点，则四边形是矩形， ， 在矩形中，， 由折叠可知，，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得，即， ，， ， 点的坐标； （3）解：存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形， 当为菱形的边，是菱形的边时，， ，； 当为菱形的边，是菱形的对角线时，， ； 当为菱形的对角线时，则，，延长交轴于点， ， 设， ，， 在中，， 即，解得， ， ； 综上，存在点，满足条件的点的坐标为，，，． 18．在菱形中，对角线与相交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积． (2)如图2，在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，将沿折叠，点的对应点落在上，连接，若，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可知，，，，利用勾股定理得到，再结合菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可； （2）由菱形的性质得出，由折叠的性质可知，，从而得到，再根据等角与等边求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，由已知条件可得，，根据菱形和折叠的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，求出，进而得出，证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，， ，，， ， ， 菱形的面积； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 19．在菱形中，，动点E在边上，连接，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，在上取点F，使得，且，连接，点G是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明； (3)如图3，在同一平面上取一点P（点P与点A在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的值． 【答案】(1)4 (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定，勾股定理解答即可； （2）延长到点H，使得，连接，则，只需证明，，证明即可． （3）过点D作于点Q，在上截取，连接，，确定点P的运动轨迹是过点M且垂直的定直线，垂足为点M，根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合，根据菱形的性质，勾股定理，面积分割法计算解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍去）， ∴． （2）解：；理由如下： 延长到点H，使得，连接， 则， ∵点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：过点D作于点Q，在上截取，连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P的运动轨迹是过点M且垂直的定直线，垂足为点M， 根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合， 此时，， 设菱形的边长为， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 20．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是___________，与的位置关系是___________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)AP的长为或． 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论； （2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明即可； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、，最后利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：如图1，连接，延长交于点， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ； 四边形是菱形， ，， ， ， ， ； 综上所述：，； （2）解：（1）中的结论：，仍然成立，理由如下： 如图2中，连接，设与交于， 菱形，， 和都是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； ∵， ． （1）中的结论：，仍然成立； （3）解：如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， 四边形是菱形， ，平分， ，， ， ，， ， 由（2）知， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 如图4中，当点在的延长线上时， 同法可得， 综上所述，AP的长为或2． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来． 21．综合实践 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折叠，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1），则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形AECF，则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与AD边交于点E，与BC边交于F，连接AF，CE，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为______． (2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若在矩形ABCD中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)15 【分析】（1）菱形的对角线与矩形边长相等，分成的四个直角三角形面积和为两条对角线相乘除以2，也就是原矩形面积的一半； （2）尺规作图，作对角线的垂直平分线； （3）方法一：矩形面积的一半；方法二：利用勾股定理求出菱形边长，高与矩形宽相同，边长乘以高，得到面积；方法三：同方法二；综合比较得出结果． 【详解】（1）解：菱形对角线垂直平分，且，与矩形边长相等，分成的四个直角三角形面积和为两条对角线相乘除以2，也就是原矩形面积的一半； （2）四边形AECF即为所求，如下图所示： （3）解：方法一：在矩形ABCD中，，， ∴， 由（1）可知，菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为， ∴菱形EHGF的面积为； 方法二：设菱形AECF边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即，解得， ∴菱形AECF边长为5， ∴菱形AECF的面积为； 方法三：由方法二可知，同理可得菱形AECF边长为5， ∴菱形AECF的面积为15； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为15． 22．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有____（填序号）； ①平行四边形；②菱形；③矩形． (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．求证：四边形是“忧乐四边形”． (3)如图3，在四边形中，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)② (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）连接，证明，得出四边形沿折叠完全重合，则可得出结论； （3）分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形一定是忧乐四边形； （2）证明：如图2，连接， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，，， ， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”； （3）解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由（2）知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.2菱形 （4知识点+9题型+过关检测） 【题型1 利用菱形的性质求角度】 2 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 3 【题型3 利用菱形的性质求面积】 4 【题型4 利用菱形的性质证明】 5 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 6 【题型6 证明四边形是菱形】 7 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 9 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 10 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 11 1. 理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的从属关系，知道菱形是特殊的平行四边形。 2. 熟练掌握菱形的边、角、对角线、对称性四大核心性质，能区分平行四边形与菱形的性质差异。 3. 掌握菱形的三种判定方法，可根据题干条件灵活选择判定定理。 4. 掌握菱形的两种面积计算公式，能结合性质完成角度、线段、面积的计算与证明题。 知识点1：菱形的定义03 知识•梳理 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键备注：定义兼具性质与判定作用，是最基础的判定依据。 知识点2：菱形的性质（基于平行四边形的特殊性质） 1. 边的性质：对边平行，四条边全部相等（菱形核心特殊性质），周长=4×边长。 2. 角的性质：对角相等，邻角互补，内角和为360°，与平行四边形一致，无特殊角度规律。 3. 对角线性质：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角（核心考点）；两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形。 4. 对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），又是轴对称图形（2条对称轴，为两条对角线所在直线）。 知识点3：菱形的判定定理 1. 定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 边判定：四条边都相等的四边形是菱形。 3. 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 易错提醒：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须是平行四边形才成立。 知识点4：菱形的面积公式 1. 通用公式（平行四边形通用）：面积=底×高 2. 菱形专属公式：面积=两条对角线乘积的一半（必考公式，仅适用于菱形、正方形） 04 题型•讲练 【题型1 利用菱形的性质求角度】 核心解题依据：菱形邻角互补、对角相等；对角线平分一组对角；对角线互相垂直（产生90°直角）。 通用解题步骤： 1. 梳理题干已知角度，利用“邻角互补”先求出基础内角度数； 2. 若涉及对角线，利用“对角线平分一组对角”，将内角平分得到半角； 3. 结合对角线垂直产生的直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求解未知角。 秒杀技巧：菱形一个内角为60°或120°时，会出现等边三角形，可直接利用等边三角形角度特性解题。 【典例1】．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 【变式3】．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 核心解题依据：菱形四边相等；对角线互相平分、垂直；直角三角形勾股定理。 通用解题步骤： 1. 求边长：已知周长直接÷4；已知邻边关系，利用四边相等列等式求解； 2. 求对角线长：对角线交点平分两条对角线，结合直角三角形勾股定理（边长为斜边，两条半对角线为直角边）计算； 3. 求线段最值/边长相关线段：利用菱形对边平行、全等三角形性质辅助求解。 高频结论：菱形内角60°时，短对角线长度=边长，长对角线长度=×边长。 【典例2】．如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．9.6 【变式1】．如图，在菱形中，交于，于，连接，，，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式2】．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．若，则的长是_________． 【变式3】．如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 核心解题依据：底×高、对角线乘积的一半两大面积公式。 解题技巧（分场景选用公式）： 1. 已知边长、高：直接用 S=底×高； 2. 已知两条对角线长度：优先用 S=1/2×对角线1×对角线2（最常用）； 3. 仅知边长和内角：用 S=边长²×sin内角（初二可通过高推导，内角60°/120°可直接口算）； 4. 拆分法：将菱形拆分为两个全等三角形或四个直角三角形，求和求面积。 【典例3】．如图，菱形的对角线相交于点O，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．25 D． 【变式1】．风筝作为传统文化载体之一，是人们寄托情感、表达愿望等的一种方式，凝聚着人们的美好祝福和吉祥期盼．四月，风和日丽，阳光朗润，正是放风筝的好时节．某数学兴趣小组制作了一只菱形形状的风筝，如图，在菱形中，，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 【变式3】．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 【题型4 利用菱形的性质证明】 常见考法：证明线段相等、线段垂直、角相等、线段平行、三角形全等。 通用解题思路： 1. 证线段相等：优先用菱形四边相等、对角线互相平分的性质； 2. 证角相等：用菱形对角相等、对角线平分一组对角的性质； 3. 证垂直：直接用菱形对角线互相垂直的核心性质； 4. 证三角形全等：结合菱形边相等、角相等条件，用SSS、SAS、ASA判定全等。 【典例4】．如图，在菱形中，点E，F分别在，边上，，求证：． 【变式1】．如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【变式2】．如图，菱形的对角线与交于点，过点作，过点作，与交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【变式3】．如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)平分吗？为什么？ 【题型5 添一个条件使四边形是菱形】 题型核心：题干已告知是平行四边形，补充一个条件判定为菱形。 3个万能补充条件（直接套用）： 1. 邻边相等：如AB=AD、AB=BC等任意一组邻边相等； 2. 对角线垂直：AC⊥BD； 3. 对角线平分内角：一条对角线平分平行四边形的一个内角。 易错避坑：不可填“对角线相等”（对角线相等是矩形的判定条件）。 【典例5】．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【变式2】．如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 【变式3】．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 【题型6 证明四边形是菱形】 三种判定思路（根据题干条件择优选择）： 1. 定义法（两步走）：先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等；适合题干有平行、对边相等条件的题目。 2. 边判定法（一步走）：直接证四边形四条边全部相等；适合题干有多组边相等的条件。 3. 对角线判定法（两步走）：先证四边形是平行四边形，再证对角线互相垂直；适合题干有对角线相关条件的题目。 解题优先级：对角线条件→用对角线判定；边条件→用邻边相等/四边相等判定。 【典例6】．如图，把一张矩形纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合， (1)连接，求证：四边形是菱形； (2)若为9，为3，求EF的长． 【变式1】．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【变式2】．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 【变式3】．如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)用尺规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法．）； (2)若直线交于点，交于点，连接，，求证：四边形是菱形． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 题型特点：先判定四边形为菱形，再利用菱形性质求角度（综合类题型）。 解题步骤： 1. 先根据题干条件，完成菱形的判定（核心前提）； 2. 套用菱形角度性质：邻角互补、对角相等、对角线平分内角； 3. 结合平行线性质、三角形内角和、直角三角形性质，求解未知角度； 4. 特殊场景：判定菱形后，出现60°内角直接关联等边三角形快速解题。 【典例7】．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 【变式3】．如图，将边长为的等边沿射线向右平移到，连接，． (1)求证：； (2)求所扫过的面积． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 题型特点：判定菱形+线段计算综合题，考试高频压轴基础题型。 通用解题流程： 1. 判定图形为菱形，锁定“四边相等、对角线垂直平分”核心条件； 2. 利用周长、已知线段长度，求出菱形边长； 3. 结合对角线平分特性得到半对角线长，用勾股定理求完整对角线或边长； 4. 若有动点、线段最值，结合菱形对称性、垂线段最短求解。 核心技巧：判定菱形后，所有边均可等量代换，简化线段计算。 【典例8】．如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点，点E是上一点，且，连接，下列结论：；；；，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点 F，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B． C．15 D． 【变式2】．如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 【变式3】．如图，在平行四边形中，连接，，过点作，与的延长线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为120，与的和34，求的长（其中）． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 题型特点：先证菱形，再结合已知条件求面积，综合度高。 解题步骤： 1. 第一步：严格证明四边形为菱形（解题必备步骤）； 2. 第二步：梳理已知条件（边长、高、对角线、内角）； 3. 第三步：匹配面积公式：有对角线用“对角线乘积一半”，有边长和高用“底×高”； 4. 进阶技巧：若仅知边长和特殊内角（60°/120°），先求高再算面积，或用等边三角形拆分求面积。 考场秒杀：判定菱形后，优先找对角线长度，计算量最小、正确率最高。 【典例9】．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 【变式1】．如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2】．今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 【变式3】．结合图形，解决以下问题： (1)在数学活动课上，王老师为每位学生提供了几张长方形纸片和平行四边形纸片，王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点．求证：四边形是菱形．请你帮小明写出证明过程． 【类比应用】 (2)如图2，王老师要求小明将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边于点，若，求折痕的长． 05 过关•检测 1．如图，在中，点D，E，F分别是边的中点，连接，下列结论错误的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是菱形 D．当时，四边形是矩形 2．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，则这个菱形的周长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，若菱形的顶点A，B的坐标分别为，，点D在y轴上，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 6．如图，菱形花坛沿着对角线修建了两条小路和，若花坛的面积为，小路的长为，则小路的长为（   ）    A． B． C． D． 7．图1是有一个内角为的平行四边形透明纸片，它的邻边的长分别为，，沿对边中点所连的虚线将其剪成四个四边形，按图2的方式叠放在同一平面内．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（    ） ①是等边三角形； ②四边形为菱形； ③六边形的周长是； ④存在，，使四边形的面积与的面积之比为． A．①② B．②④ C．①③ D．①②④ 8．四边形的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别为，的中点，下列四个结论： ①对于任意四边形，四边形都是平行四边形； ②若四边形是平行四边形，则是菱形； ③若四边形是菱形，则四边形是矩形； ④若四边形MNPQ是正方形，则四边形也一定是正方形． 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 9．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是______． 10．如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的面积为_______． 11．将和按图1方式摆放，点A与点F重合，点C与点D重合，其中，，．现固定，将沿射线方向平移，平均速度每秒1个单位长度，平移时间为t秒，连接、，如图2．在平移过程中，当________时四边形是轴对称图形． 12．如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为_________． 13．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交于点，连接、．已知，，则菱形的面积______；______． 14．如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为_______ 15．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，连接．若，． (1)求菱形的面积； (2)求的长． 16．如图1，四边形是菱形，，，点E从点A出发，沿边，运动到点C停止，作射线，将射线绕点D逆时针旋转，交射线于F，连接． (1)当点E在边上（不与A，B重合）运动时， ①的最小值为____________； ②如图2，过点F作射线的垂线，垂足为G，若M是线段的中点，连接，求的度数． (2)请直接写出为等腰三角形时的度数． 17．如图，将矩形放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，、的长，满足，把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点． (1)______，______； (2)请求出点的坐标（写过程），并直接写出点的坐标（不写过程）； (3)在（2）的条件下，点为平面内任意一点，轴上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 18．在菱形中，对角线与相交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积． (2)如图2，在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，将沿折叠，点的对应点落在上，连接，若，求的长． 19．在菱形中，，动点E在边上，连接，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，在上取点F，使得，且，连接，点G是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明； (3)如图3，在同一平面上取一点P（点P与点A在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的值． 20．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是___________，与的位置关系是___________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，请直接写出线段的长． 21．综合实践 阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折叠，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1），则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形AECF，则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与AD边交于点E，与BC边交于F，连接AF，CE，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形． 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为______． (2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)若在矩形ABCD中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 22．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有____（填序号）； ①平行四边形；②菱形；③矩形． (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．求证：四边形是“忧乐四边形”． (3)如图3，在四边形中，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $