2.1 和角公式（课件）--语文版《数学 拓展模块一》《上好课》

2.1 和角公式 第二单元 三角计算 语文版 拓展模块一 学习目标 1.理解并掌握两角和的正弦、余弦、正切公式的推导逻辑； 2.能熟练运用和角公式解决三角函数的化简、求值与简单证明等问题； 3.通过对和角公式的学习与应用，提升三角函数的综合运算与变换能力，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 2.1 和角公式 教学引入 教学引入 教学引入 新知讲授 2.1 和角公式的推导 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 案例分析 案例分析 案例分析 新知讲授 2.1 和角公式的应用 案例分析 案例分析 案例分析 新知速记 学以致用 1.2 充要条件 学以致用 学以致用 知识回顾 同学们，我们完成了和角公式相关知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1.和角公式有哪些？ 2.如何推导两角和的正弦、余弦和正切公式？ 师生交流 拓展思考互动 同学们，我们现在已经掌握了和角公式的相关知识点，那现在请同学们想一想生活里还有哪些场景会用到 “角度合成”，需要用和角公式？稍后请同学进行分享交流。 答案举例： (1)航海导航：船的航行方向与风向成一定角度，计算合方向与正北方向的夹角； (2)放风筝：风筝线与地面成 40° 角，一阵风吹来，风筝线再向上偏了 20°，用和角公式计算新角度的三角函数值。 课堂练习 2.1 和角公式 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 2.1 和角公式 课堂小结 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 拼接三角板 请大家拿出自带的30°和45°直角三角板。 任务：将这两个锐角拼接在一起，我们得到了 一个多少度的角？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 结果： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 现场验证：，计算器计算 = 所以不等于 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 引发思考： 既然，那么能不能用、的三角函数值直接计算的三角函数值？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图所示，如果我们想利用两块直角三角形钢板焊接成一块三角形钢板，在已知两个直角三角形钢板三边长的前提下，能否利用这些数据，求出新焊接成的三角形钢板中的角的三角函数值呢？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 即已知角，的三角函数值，如何求角的三角函数值，就是我们这一节要学习的内容。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图所示，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，和，它们的终边与单位圆的交点分别为，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则，，的坐标分别为 ， ， 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由两点间的距离公式，得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为，所以有 于是，我们得到 这就是两角和的余弦公式，简记为。 这个公式给出了任意角，的正弦值、余弦值与其和角的余弦值之间的关系，它可以解决引例中的问题。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试一试： 如果用代换公式中的角，你会得到什么结果？请将得到的结果写出来。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 这个等式说明： 正弦函数与余弦函数之间可以相互转化。因此，，这为我们推导两角和的正弦公式提供了有利的工具. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 于是，我们得到 这就是两角和的正弦公式，简记为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 这个公式给出了任意角，的正弦、余弦值与其和角的正弦值之间的关系. 试一试： 如果用代换公式中的角，你会得到什么结果？请将得到的结果写出来． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 下面，我们来推导两角和的正切公式． 根据三角函数基本关系式以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 为了使结果只含和，分子和分母同时除以（，），得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 于是，我们得到 这就是两角和的正切公式，简记为。 这个公式给出了角，的正切值与其和角的正切值之间的关系，但其中，的取值应使分母不为零。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如果用代换公式中的角，会得到 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】用和角公式，求下列三角函数值。 （1）；（2）；（3）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）； （2）； （3）。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知，，求和的值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，， 。 ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】求下列各式的值. （1）； （2）； （3）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）； （2）； （3）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】用和角公式，将化为一个三角函数的形式。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 = = 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知，均为锐角，且，，求以及角的值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，为锐角，。 ，，。 又，。 。 为锐角，。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】在中，已知，试判断的形状。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ∵ 在中，，∴。由已知，， ∴，即。 ∵，∴。 整理得，即， ∵ ，∴，。 即△ABC是等腰三角形。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 和角公式有哪些？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 两角和的余弦公式，简记为： 两角和的正弦公式，简记为： 两角和的正切公式，简记为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知，，并且和都是第一象限角，求，的值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为，，并且和都是第一象限角， 所以，. 因此. . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知均为锐角，且. (1)求的值； (2)求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）， 又为锐角，，则. （2）由题意知：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ， 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A． B．0 C．1 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ∵角α的终边过点，∴，， ∴. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】已知，是第三象限角，则（ ） A．7 B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由，得， 结合同角三角函数的平方关系及是第三象限角，得， 则，因此． 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】下列式子中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，A选项正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 利用两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值即可求解. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】（ ） A． B． C． D．1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 和角公式 两角和的余弦公式，简记为： 两角和的正弦公式，简记为： 两角和的正切公式，简记为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $