第11节解三角形应用举例课件-2026届高三数学一轮复习

第11节　解三角形应用举例 课标要求 　　会运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计 算有关的实际问题. 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线（两者在同一铅 垂面内）所成的角中，目标视线在水平 视线上方的角叫做 ，目标视线 在水平视线下方的角叫做 ⁠ 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到 目标方向线之间的夹角叫做 .方位角θ的范围是 ⁠ 仰角　 俯角　 方位角 0°≤θ＜ 360° 高中总复习·数学 目 录 术语名称 术语意义 图形表示 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的 锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α 例： 坡角与 坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角（θ 为坡角）；坡面的垂直高度与水平宽度 之比叫坡比（坡度），即i＝ ＝tan θ 高中总复习·数学 目 录 目录/ CONTENTS 考点一 测量距离问题 01 考点二 测量高度问题 02 考点三 测量角度问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 测量距离问题 目 录 在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次 演习时，A向北偏西 －θ方向发射炮弹，B向北偏东 －θ的方向发射炮 弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改 向向北偏西 － 方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与 弹着点M的距离为 公里. 10 解析：设炮弹第一次命中点为C，根据题意画出示意图，如图. 由题意知AC＝BC＝18公里，AB＝14公里， AM＝18公里，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则D是AB的中 高中总复习·数学 目 录 点.在Rt△ACD中， cos ∠CAB＝ cos θ＝ ，则 cos ＝ ＝ ，在△ABM中，由余弦定理得 BM＝ ＝ ＝10，即B炮台与弹着点M的距离为10公里. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 测量距离问题的类型及解法 （1）类型：①两点间可视但一点不可达；②两点可视但都不可达； （2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个 三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解. 高中总复习·数学 目 录 练1 如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100 米，50米.现欲在M，N之间架设高压电网，需计算M，N之间的距离.勘 测人员在海平面上选取一点，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分 别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角（即∠MPN）为45°， 则M，N之间的距离为 米. 50 　 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意得MM1＝100米，NN1＝50米，∠MPM1＝30°，∠NPN1＝ 45°，∠MPN＝45°.在Rt△MM1P中，MP＝2MM1＝200米.在 Rt△NN1P中，NP＝ NN1＝50 米.在△MNP中，由余弦定理得MN2 ＝MP2＋NP2－2MP·NP cos ∠MPN＝2002＋（50 ）2－2×200×50 × ＝25 000，故MN＝50 米. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 测量高度问题 目 录 矗立在上饶市市民公园（如图1）的四门通天铜雕有着“四方迎客、 通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海， 包容八方.如图2，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位 于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为 ， ， ，且AB＝BC＝20 m，则四门通天铜雕的高度为（　　） A. 15 m B. 10 m C. 6 m D. 5 m √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　设OP＝h，则OA＝ h，OB＝h，OC＝ h，在△ABO中， cos ∠ABO＝ ＝ ，在△BCO中， cos ∠OBC＝ ＝ ，因为∠ABO＋∠OBC＝π，所以 ＋ ＝0，即800－ h2＝0，解得h＝10 ，所以四门通天铜雕的高 度为10 m. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 测量高度问题的三个注意点 （1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念； （2）在实际问题中，若遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，最好 画两个图形，一个空间图形，一个平面图形； （3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 高中总复习·数学 目 录 练2 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路 北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶 在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m. 100 　 解析：设此山高h，则BC＝ h，在△ABC中， ∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°， AB＝600.根据正弦定理得 ＝ ， 解得h＝100 ，所以山的高度CD为100 m. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 测量角度问题 目 录 （1）某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距50 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把信息通知在A处 南偏东30°，且与A处相距25 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救 遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 （　D　） D A. 30° B. 45° C. 90° D. 60° 高中总复习·数学 目 录 解析： 如图所示，∠MAC＝∠NCA＝30°，则∠CAB＝ 60°，由题意可知，AC＝25 ，AB＝50 .由余弦定 理得BC2＝（25 ）2＋（50 ）2－2×25 ×50 × cos 60°，解得BC＝75，由正弦定理得 ＝ ，解得∠ACB＝90°，所以∠NCB＝60°，故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的 斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则 cos θ＝ （　C　） A. B. －2 C. －1 D. －1 C 高中总复习·数学 目 录 解析：在△ABC中，∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－15°－ 135°＝30°，由正弦定理知 ＝ ，故BC＝ ＝ ＝50（ － ），在△BDC中， ＝ ，故 ＝ ，所以 sin ∠BDC＝ －1，即 sin （θ＋90°）＝ － 1，即 cos θ＝ －1. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求解角度问题的三个注意事项 （1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； （2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； （3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际 问题转化为可用数学方法解决的问题.解题过程中也要注意体会正、余弦 定理综合使用的优点. 高中总复习·数学 目 录 练3 已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的 一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝 何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？（ 参考数据： sin 38°≈ ， sin 22°＝ ） 解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上 一点，缉私艇的速度为每小时x海里， 则BC＝0.5x，AC＝5， 依题意，AB＝3，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°， 高中总复习·数学 目 录 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°，所以 BC2＝49， 所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得 sin ∠ABC＝ ＝ ＝ ， 所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：92分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝ 60°，则A，C两点之间的距离为（　　） A. km B. km C. km D. 2 km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°， ∴ ＝ ，∴AC＝2 × ＝ （km）.　 高中总复习·数学 目 录 2. 一艘船航行到点A处时，测得灯塔C与其相距30海里，如图所示.随后 该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点B，测 得灯塔C在其北偏东25°方向，则 sin ∠ACB＝（　　） A. sin 70° B. sin 75° C. cos 70° D. √ 解析： 　由题意可知，∠ABC＝45°＋25°＝70°，AB＝20海里，由正 弦定理可得 ＝ ，代入数据得 sin ∠ACB＝ sin 70°.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30°，60°，则塔高为（　　） A. m B. m C. m D. m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交 CD的延长线于点B（图略），则易得AB＝ ，BD＝AB·tan 30°＝ ·tan 30°＝ × ＝ （m），所以CD＝BC－BD＝200－ ＝ （m）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 一艘船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在 一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯 塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是（　　） A. 5海里/小时 B. 5 海里/小时 C. 10海里/小时 D. 10 海里/小时 √ 解析： 　如图所示，由题意知∠BAC＝60°，∠BAD＝ 75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，可得CD＝CA＝ 10，在Rt△ABC中，AB＝AC cos 60°＝5，所以这艘船的速度为 ＝10（海里/小时）.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD 为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所 以在△ACD中，由余弦定理得 cos ∠CAD＝ ＝ ＝ ＝ ，又0°＜∠CAD＜180°，所以 ∠CAD＝45°，所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD为 45°.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕如图，在海面上有两个观测点B，D，B在D的正北方向，距 离为2 km，在某天10：00观察到某航船在C处，此时测得∠CBD＝45°， 5分钟后该船行驶至A处，此时测得∠ABC＝30°，∠ADB＝60°， ∠ADC＝30°，则（　　） A. 观测点B位于A处的北偏东75°方向 B. 当天10：00时，该船到观测点B的距离为 km C. 当船行驶至A处时，该船到观测点B的距离为 km D. 该船在由C行驶至A的这5 min内行驶了 km √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°， 因为B在D的正北方向，所以观测点B位于A的北偏东75°方向，故A正 确；对于B，在△BCD中，∠CBD＝45°，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝ 30°＋60°＝90°，即∠BCD＝45°，则BD＝CD＝2，则BC＝2 ， 故B错误；对于C，在△ABD中，∠ABD＝75°，∠ADB＝60°，则 ∠BAD＝45°，由正弦定理得 ＝ ，即AB＝ ＝ ，故C正确；对于D，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－ 2AB·BC cos ∠ABC＝6＋8－2× ×2 × ＝2，即AC＝ km，故D 正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某 一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角 的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向 继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞 了 km.（ sin 12°≈0.21， sin 18°≈0.31） 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：在△ABC中，由A＝12°，B＝18°，得C＝150°，由正弦定理 得 ＝ ＝ ，所以 ≈ ≈ ，所以AC≈310 km，BC≈210 km，所以AC＋BC－AB≈20 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30 千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于 危险区的时间为 小时. 解析：设A地东北方向上存在点P到城市B的距离为30千米， AP＝x，在△ABP中，由余弦定理得PB2＝AP2＋AB2－ 2AP·AB· cos A，即302＝x2＋402－2x·40· cos 45°，化简得 x2－40 x＋700＝0，设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝40 ，x1x2＝700，所以｜x1－x2｜＝ ＝20，即图中CP＝20千米，所以城市B处于危险区的时间为 ＝1（小时）. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 〔一题多解〕落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名 楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕 王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为 30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP ＝ 米. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：设OP＝h，则OA＝ ＝ h，OB＝ ＝ h，OC＝ ＝h. 法一（两角互补，余弦值互为相反数）　由∠OBC＋∠OBA＝180°得 cos ∠OBC＝－ cos ∠OBA，由余弦定理得 ＝－ ，化简得h2＝3 375，易知h＞0，所以h＝15 ， 即OP为15 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 法二（同角的余弦值相等）　在△OCB中， cos ∠OCB＝ ， 在△OCA中， cos ∠OCA＝ ，所以 ＝ ，化简得h2＝3 375，易知h＞0，所以h＝15 ，即OP 为15 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （15分）为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离， 找到草坪边缘的另外两个点C与D（A，B，C，D四点 共面），测得AC＝1.6 m，CD＝2 m，BD＝1.8 m，已 知 cos ∠BDC＝－ ，tan∠ACD＝3 . （1）求△ACD的面积； 解： 如图所示，因为tan∠ACD＝3 ，可得 sin ∠ACD ＝ ， 所以S△ACD＝ AC·CD· sin ∠ACD＝ （m2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求A，B两点间的距离. 解： 因为tan∠ACD＝3 ， 所以 cos ∠ACD＝ ， 所以AD2＝1.62＋22－2×1.6×2× ＝5.76，则AD＝2.4， 因为 cos ∠ADC＝ ＝ ， 所以 sin ∠ADC＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 又 cos ∠BDC＝－ ， 所以∠ADB＝ ， 所以AB＝ ＝ ＝3（m）. 故A，B两点间的距离为3 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为 地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高 度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C 两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若在B，C处分别测得球体 建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度 约为（ cos 10°≈0.985）（　　） A. 49.25 m B. 50.76 m C. 56.74 m D. 58.60 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　如图，设球的半径为R，AB ＝ ＝ R，AC＝ ， ∵BC＝ － R＝100，∴R＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ≈ .∴2R≈ ≈50.76，即该球体 建筑物的高度约为50.76 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕（2026·重庆模拟）解放碑是重庆的地标性建筑，众多游客来 此打卡拍照.现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出 测量方案示意图（如图所示），A为解放碑的最顶端，B为基座（即B在 A的正下方），在步行街上（与B在同一水平面内）选取C，D两点，测 得CD的长为100 m.小组成员利用测角仪已测得∠ACB＝ ，则根据下列 各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是（　　） A. ∠BCD，∠BDC B. ∠ACD，∠ADC C. ∠BCD，∠ACD D. ∠BCD，∠ADC √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，已知CD＝100 m，∠ACB＝ ，∠BCD， ∠BDC，在△BCD中，由正弦定理求得CB，从而求得AB，故A正确；对 于B，已知CD＝100 m，∠ACB＝ ，∠ACD，∠ADC，在△ACD中， 由正弦定理求得AC，从而求得AB，故B正确；对于C，已知CD＝100 m，∠ACB＝ ，∠BCD，∠ACD四个条件，无法通过解三角形求得 AB，故C错误；对于D，由∠ACB，∠BCD借助直角三角形和余弦定理， 用AB表示出CB，BD，AC，AD，然后结合∠ADC在△ADC中利用余弦 定理列方程，解方程求得AB，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 《益古演段》是我国古代数学家李冶（1192～1279）的一部数学著作. 内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等. 其中有这样一个问题：如图，已知∠A＝60°，点B，C分别在∠A的两 个边上移动，且保持B，C两点间的距离为2 ，则点B，C在移动过程 中，线段BC的中点D到点A的最大距离为 ⁠. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：如图，延长AD到点P，使AD＝DP，连接PB， PC，∵D是线段BC的中点，∴四边形ABPC是平行四边 形，∴∠ACP＝120°，在△ABC中，BC2＝12＝AB2＋ AC2－2×AB×AC× cos 60°，∴BC2＝12＝AB2＋AC2－AB×AC≥ AB×AC，当且仅当AB＝AC＝2 时等号成立，故AB×AC≤12.在△ACP中，AP2＝AC2＋CP2－2×AC×CP× cos 120°＝AC2＋CP2＋AC×CP，∵AB＝CP，∴AP2＝12＋2AC×AB≤36，∴2AD≤6，∴AD≤3.故线段BC的中点D到点A的最大距离为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C 处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从 A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C. 现有甲、 乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量， cos A＝ ， cos C＝ . （1）求索道AB的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解： 在△ABC中，因为 cos A＝ ， cos C＝ ， 所以 sin A＝ ， sin C＝ ， 从而 sin B＝ sin [π－（A＋C）]＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C＝ × ＋ × ＝ . 由正弦定理得AB＝ × sin C＝ × ＝1 040（m），所以索道AB的长为1 040 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 解： 假设乙出发t min后，甲、乙两游客的距离为d m，此时，甲行走了（100＋50t）m，乙距离A处130t m， 所以由余弦定理得d2＝（100＋50t）2＋（130t）2－2×130t×（100＋50t）× ＝200（37t2－70t＋50）＝7 400×［ ＋ ］. 因为0≤t≤ ，即0≤t≤8，所以当t＝ 时，甲、乙两游客距离最短.即乙出发 min后，乙在缆车上与甲的距离最短. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应 控制在什么范围内？ 解： 由正弦定理 ＝ ，得BC＝ × sin A＝ × ＝500（m）. 乙从B出发时，甲已走了50×（2＋8＋1）＝550（m），还需走710 m才能到达C处. 设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤ － ≤3，解得 ≤v≤ ， 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在 （单位：m/min）范围内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $