20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）教案 2025--2026学年人教版八年级数学下册
20.2 勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）
1．进一步巩固勾股定理及其逆定理的相关知识，能熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题与几何综合问题，提升运算能力，增强应用意识．
2．经历将实际问题和几何图形抽象为直角三角形数学模型的过程，体会转化思想，培养模型意识，提升分析和解决问题的能力．
勾股定理及其逆定理的综合应用．
新课导入 
【知识回顾】我们学习了勾股定理及其逆定理，请用文字语言表述这两个定理．
勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
【引导语】勾股定理描述了直角三角形三条边长之间的关系，在直角三角形中，已知两边长，可以计算第三条边的长度；而根据逆定理，能通过判断两条边长的平方和是否等于第三条边长的平方，判定一个三角形是不是直角三角形，它们是解决直角三角形相关问题的重要工具．今天，我们就一起来感受这两个定理的广泛应用．
【设计意图】通过知识回顾，帮助学生区分并掌握勾股定理及其逆定理的核心内容，明确本节课的探究方向，为新知学习做好衔接．
新知探究
【问题1】如图，港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时
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离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile．如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
【师生活动】教师首先引导学生梳理题干关键条件：两艘轮船的速度、航行时间、相距的距离以及“远航”号的航向．再通过以下问题，带领学生逐步分析，最终通过勾股定理的逆定理解决问题．
【追问1】怎样确定“海天”号的航向？
【师生活动】学生观察图形后发现：由于“远航”号的航向是已知的，只要求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向．
【追问2】如何将航海问题转化为数学问题？想一想，图中的哪些条件是已知的？要求什么？
【师生活动】学生组内讨论，明确可以构造△PQR，其中，P是港口，Q为“远航”号离开港口1.5 h后的位置，R为“海天”号离开港口1.5 h后的位置，PQ为两艘轮船离开港口1.5 h后的距离．根据条件，可以得出△PQR 三边的长度，∠1也是已知的，即QR＝30 n mile，PQ＝16×1.5＝24 (n mile)，PR＝12×1.5＝18 (n mile)，∠1＝45°，要求∠RPQ．
【追问3】要求∠RPQ，你认为△PQR的三边会满足什么关系？你有怎样的猜想？
【师生活动】学生很容易猜想△PQR是直角三角形，它的三边满足勾股定理的逆定理，并通过计算证实猜想．即242＋182＝576＋324＝900，所以PQ2＋PR2＝QR2，根据勾股定理的逆定理可知△PQR是直角三角形，∠RPQ＝90°．而∠1＝45°，所以∠2＝45°．师生通过方位图，明确“海天”号沿西北方向航行．
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【答案】解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，
PR＝12×1.5＝18，
QR＝30．
因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°．
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°．因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
【归纳】“航海类”问题的解题要点：
（1）转化思想：将航海中的方位、路程转化为三角形的角度与边长的问题；
（2）解题步骤：①根据“路程＝速度×时间”算出三角形的边长；②用勾股定理的逆定理判断三角形的形状并得到直角；③结合方位角确定航向．
【设计意图】以航海实际问题为载体，通过“梳理条件—转化模型—验证直角—确定方向”的递进式引导，帮助学生理解“将实际问题抽象为几何模型”的转化思想，强化勾股定理逆定理的应用．
【问题2】如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AD＝
，DC＝
．如果满足AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由．
【师生活动】学生独立思考，教师再通过以下追问，逐步引导学生利用勾股定理及其逆定理解决问题．
【追问1】怎样判断AC与AD是否垂直？
【师生活动】学生根据勾股定理的逆定理可以明确：要判断AC与AD是否垂直，就需要判断△ACD是不是直角三角形，也就要知道△ACD的三条边长．
【追问 2】在△ACD中，题目已知了AD和DC的长度，并没有告诉我们AC的长度，你能想办法求出AC的长度吗？
【师生活动】学生观察图形，发现△ACB是直角三角形（AC⊥BC），已知AB和BC，由勾股定理可以求出AC．师生共同明确解题思路：（1）在Rt△ACB中，根据勾股定理，计算AC；（2）在△ACD中，根据勾股定理的逆定理判断△ACD是不是直角三角形．
【答案】解：因为AC⊥BC，所以∠ACB＝90°．
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