四川省自贡市沿滩区自贡职业技术学校2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

**基本信息** 自贡职业技术学校24级期中数学试卷以立体几何与代数知识融合为特色，通过线面平行证明（21题）、体积计算（24题）及二面角求解（26题）等设计，考查空间观念与推理能力，适配中职期中基础巩固与能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/60|集合、不等式、棱柱、三角函数等|基础概念辨析，如棱柱性质（3题）、异面直线关系（8题）| |填空题|5/20|向量运算、长方体线面角、圆方程|空间几何量计算，如线面角正弦值（17题）| |解答题|6/70|立体几何证明与计算、数列、二面角|分层设计，如21题线面平行证明（基础）、26题二面角求解（综合），体现推理能力与空间观念|

自贡职业技术学校24级期中考试数学试卷 2025至2026学年 第 二 学期 学科 数 学 班级 学号 姓名 本试卷共三个大题，26个小题，满分150分，答题时间120分钟。 一 二 21 22 23 24 25 26 总分 1、 选择题（共15小题，每小题4分，共60分。） 1.已知集合M=N为自然数集，则M∩N=（ ） A . B . C . D. 2.不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3.下列说法中，正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C．棱柱的各条棱都相等 D．所有的几何体的表面都可以展成平面图形 4.函数y=4sinxcosx(x∈R)的最小正周期是（ ） A. B. C.2 D.4 5.在等差数列中，,则( ) A.13 B.14 C.15 D.16 6.已知椭圆方程为,则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7.已知是实数，则（ ） A、1 B、-1 C、2 D、-2 8.已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么直线c与b的位置关系是(　　) A．异面 B．相交 C．平行 D．相交或异面 9.已知 x 轴上两点 ( - 2,0) , (2,0) ,则平面内到这两点距离之和为 8的动点的轨迹方程为（ ） A. B. 10.如图所示，点P是平面α外的一点，PO⊥平面α于点O，且PO＝4，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是(　　) A．3 B．4 C．6 D．5 11.若直线不平行于平面，且不在内，则下列结论成立的是(　　) A．内不存在与平行的直线 B．内的所有直线与异面 C．内存在唯一的直线与α平行 D．内的直线与都相交 12.设为两个平面，为三条直线，则下列命题中属于真命题的是(　　) A．如果 B．如果∥∥ C．如果 D．如果∥∥ 13.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　) A．都平行 B．都相交 C．在两平面内 D．至少和其中一个平行 14.已知斜线段的长是它在平面上的射影的2倍，则该斜线段与平面所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 15. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2、 填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 16.已知平面向量,则= . 17.如图所示，在长方体中，AB＝BC＝2，，则与平面所成角的正弦值为 . 18.过平面外一点作该平面的平行线可以作________条；作垂线可以作_______条． 19.设平面直线与轴相交于点，则以点为圆心，半径为2 的圆的方程为 . 20.在正四面体S-ABC中，若D是SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值为_____. 三、解答题（共6小题，21题10分，其余题各12分，共70分） 21.如图所示，P是平行四边形ABCD外的一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ. 22. 在等比数列中，，求(1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和 23.已知正三棱锥V－ABC中，VO为高，D为AB中点， ，求侧棱长及斜高． 24.如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中 ,PA⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 是边长为 3的正方形 ,PD=2PA,E 为 BC 的中点 ,F 为 PD 的中点 . (1)求四楼锥 P-ABCD 的体积；(2)证明：EF∥平面PAB. 25.如图，在长方体 中， AB＝BC ＝1， ＝，E 为 的中点， F 为AB的中点 (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 26.如图所示，已知D，E分别是AB，AC边上的中点，∠ACB是直角，把△ABC沿DE折成直二面角A－DE－C，连接AB，分别取BC，AB边上的中点为F，G. (1)求证：平面GFD∥平面ACE； (2)求二面角A－BC－D的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1． BBBBD CCDDD ADDCA 2． 16.（1，2） 17. 18.无数条，1条 19. 20. 21.证明：连接AC交BD于点O，再连接OQ， ∵ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO. ∵Q是PA的中点， ∴OQ是△APC的中位线，∴OQ∥PC. ∵OQ⊂平面BDQ，PC平面BDQ ∴PC∥平面BDQ. 22.， 23.解：连接OA，∵正三棱锥V－ABC，VO为高， ∴AO＝ 故在Rt△VAO中，VA＝ . 连接VD⊥AB于D，在Rt△VAD中， VD＝3 所以侧棱长，斜高3 24.(1)解:因为 PA底面 ABCD, 所以四棱锥P-ABCD 的高h=PA.因为 ADC底面 ABCD,所以 PAAD.因为在Rt△PAD中，PD=2PA,AD=3，所以 sinPDA=,即∠PDA=30°所以 PA=AD·tan 30°=故 = ・h・= (2)证明:如图,取PA的中点M,连接BM,FM. 因为F为PD的中点,M为PA的中点， 所以FM为△PAD的中位线， 所以FM//AD,且 FM=AD 因为底面 ABCD为正方形,E为BC的中点， 所以BC//AD,且 BE=AD,所以FM//BE,且FM=BE 所以四边形BEFM为平行四边形,所以BM//EF又因为 BM平面 PAB,且EFc平面 PAB,所以 EF//平面PAB. 25.(1)证明:在长方体ABCD-c中,BC平面 BE平面,且BC平面 BC (2)解:三棱锥C-可以看成是以平面作底面,C为顶点的三棱锥,由题可知AB=BC=1,可得三棱锥C-的高为1.因为=，E为的中点,F为AB的中点， 因此,三棱锥 C-的体积 26.（1）(1)证明：∵D，E分别是AB，AC边上的中点，∴DE平行且等于BC. ∵BF＝CF，∴DE平行且等于FC， ∴四边形DECF是平行四边形，∴DF//CE. ∵CE⊂平面ACE，∴DF∥平面ACE. 又AG＝BG，BF＝CF，∴GF∥AC. ∵AC⊂平面ACE，∴GF∥平面ACE. ∵DF∩GF＝F，∴平面GFD∥平面ACE. (2)解：∵∠ACB是直角，DE∥BC，∴AE⊥DE. ∵二面角A－DE－C是直二面角，∴AE⊥平面BCD， ∴∠ACE是二面角A－BC－D的平面角． ∵AE＝CE，∴tan ∠ACE＝＝1， ∴∠ACE＝45°，即二面角A－BC－D的大小为45° 学科网（北京）股份有限公司 $