4.4.2 平面与平面垂直的（教学设计）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

教学设计 4.4.2 平面与平面垂直的教学设计 一、基本信息 课题 4.4.2 平面与平面垂直 学科 数学 教材版本 湘教版高中数学必修第二册 年级 高一 课时 1 课时 二、教学目标 1. 数学抽象：理解二面角、平面与平面垂直的定义，体会空间几何问题从直观感知到抽象定义的形成过程，建立空间垂直关系的数学模型. 2. 逻辑推理：掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，能完成定理的严谨推导与证明，理解面面垂直与线面垂直、线线垂直之间的逻辑转化关系. 3. 数学运算：能准确找出二面角的平面角并进行简单计算，熟练运用判定定理和性质定理解决面面垂直的证明问题. 4. 直观想象：通过实物模型、动手操作和多媒体演示，直观感知二面角的形成与面面垂直的位置关系，发展空间想象能力和几何直观素养. 5. 数学建模：能将生活中面面垂直的实际问题转化为几何模型，运用定理解决实际应用问题，感受数学与生活的联系. 三、教学重难点 （一）教学重点 1. 二面角及其平面角的概念与表示. 2. 平面与平面垂直的定义. 3. 平面与平面垂直的判定定理和性质定理. （二）教学难点 1. 二面角的平面角的寻找与度量. 2. 平面与平面垂直判定定理和性质定理中条件的理解与灵活应用. 3. 空间中 “面面垂直、线面垂直、线线垂直” 的相互转化. 四、教学方法与教具准备 （一）教学方法 启发式教学法、探究式教学法、直观演示法、讲练结合法 （二）教具准备 多媒体课件（展示二面角形成、面面垂直实例与动态翻折过程）、可折叠硬纸板（2 张）、三角板、量角器、正方体模型、铅垂线与木板（演示实际应用） 五、教学过程 （一）复习回顾与情境导入（5 分钟） 1. 复习旧知 · 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直. · 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. · 直线与平面所成角的定义与范围. 2. 情境引入 · 展示生活实例：教室的墙面与地面、打开的门与门框所在平面、金字塔的侧面与底面、建筑工人用铅垂线检查墙面是否垂直地面. · 提问：我们已经学习了直线与平面垂直，那么两个平面之间的垂直关系该如何定义？如何判定两个平面是否垂直？两个平面垂直后又有哪些性质？ · 设计意图：从生活实例出发，激发学生的学习兴趣，通过类比线面垂直，引出本节课的课题，建立新旧知识的联系. （二）新知探究（25 分钟） 1. 二面角及其平面角 · 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. · 二面角的表示：棱为，面为、的二面角，记作二面角；若棱上两点为、，也可记作二面角. · 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. · 强调平面角的三个必备条件：顶点在棱上；两边分别在两个半平面内；两边都垂直于棱. · 二面角的度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.二面角的取值范围是. · 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角. 2. 平面与平面垂直的定义 · 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作. · 画法：画两个互相垂直的平面时，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 3. 平面与平面垂直的判定定理 · 探究：建筑工人砌墙时，为什么用铅垂线就能保证墙面与地面垂直？ · 定理内容：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. · 符号表示：若，，则. · 证明思路：根据面面垂直的定义，只需证明两个平面所成的二面角是直二面角.设，过在内作直线，则就是二面角的平面角，由得，故，即二面角为直二面角，所以. · 设计意图：通过实际问题引导学生探究，让学生经历 “直观感知 — 操作确认 — 推理论证” 的过程，理解判定定理的本质. 4. 平面与平面垂直的性质定理 · 探究：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ · 定理内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. · 符号表示：若，，，，则. · 证明：设，在内过作直线，则是二面角的平面角.因为，所以，即.又，，，所以. · 强调：定理中 “在一个平面内” 和 “垂直于交线” 两个条件缺一不可，可通过反例（如在一个平面内平行于交线的直线）加深学生理解. （三）例题讲解（10 分钟） 例 1（判定定理应用） 在正方体中，求证：平面平面. · 证明： · 因为平面，平面，所以. · 又因为底面是正方形，所以. · 而，平面，所以平面. · 又因为平面，所以平面平面. · 设计意图：巩固面面垂直的判定定理，让学生掌握 “线面垂直⇒面面垂直” 的转化思路. 例 2（性质定理应用） 已知平面，，在上取一点，在内作，求证：. · 证明： · 在内过点作，则是二面角的平面角. · 因为，所以，即. · 又，，，所以. · 设计意图：直接应用面面垂直的性质定理，强化学生对定理条件和结论的记忆，体会 “面面垂直⇒线面垂直” 的转化. （四）课堂练习（3 分钟） 1. 填空： · 二面角的平面角的取值范围是 . · 已知直线平面，直线平面，则下列命题：①；②；③；④.其中正确的是 . 2. 证明：在三棱锥中，平面，，求证：平面平面. （五）课后小结（2 分钟） 1. 两个定义：二面角及其平面角、平面与平面垂直的定义. 2. 两个定理： · 判定定理：线面垂直⇒面面垂直（，）. · 性质定理：面面垂直⇒线面垂直（，，，）. 3. 一个核心思想：转化与化归思想，将空间面面垂直问题转化为线面垂直问题，再转化为线线垂直问题，实现空间问题平面化. 六、板书设计 4.4.2 平面与平面垂直 一、二面角 1. 定义：从一条直线出发的两个半平面组成的图形 2. 表示： 3. 平面角：（顶点在棱上，两边垂直于棱） 4. 范围：，直二面角：平面角为 二、平面与平面垂直的定义 与所成二面角为直二面角 三、判定定理 若，，则 （线面垂直面面垂直） 四、性质定理 若，，，，则 （面面垂直线面垂直） 五、例题解答区 （此处预留空间用于现场推导例题） 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $