第1节函数的概念及其表示课件-2027届高三数学一轮复习

第1节　函数的概念及其表示 课标要求 1. 了解函数的概念. 2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表 法、解析法）表示函数. 3. 了解简单的分段函数，并会简单应用. 目录/ CONTENTS 考点一 函数的基本概念 01 考点二 分段函数 02 提能点 求函数的解析式 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 函数的基本概念 目 录 1. 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于 集合A中的 一个数x，按照某种确定的对 应关系f，在集合B中都有 确定的数y和 它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数 三 要 素 对应关系 y＝f（x），x∈A 定义域 ⁠的取值范围 值域 与x的值相对应的y值的集合{f（x）｜x∈A} 实数集　 任意　 唯一　 x　 高中总复习·数学 目 录 2. 同一个函数 （1）前提条件：①定义域 ；②对应关系 ⁠. （2）结论：这两个函数是同一个函数. 3. 函数的表示法 表示函数的常用方法有 、图象法和列表法. 相同　 完全一致　 解析法　 高中总复习·数学 目 录 结论：（1）直线x＝a（a是常数）与函数y＝f（x）的图象至多有1个 交点； （2）注意以下几种特殊函数的定义域： ①分式型函数，分母不为零的实数集合；②偶次方根型函数，被开方式 非负的实数集合；③f（x）为对数式时，函数的定义域是真数为正数、 底数为正数且不为1的实数集合；④若f（x）＝x0，则定义域为{x｜ x≠0}. 高中总复习·数学 目 录 题组练透 1. 已知集合A＝{x｜0≤x≤4}，集合B＝{x｜0≤x≤2}，下列图象能建 立从集合A到集合B的函数关系的是（　　） √ 解析： 　对于A，存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；对于 B，当2＜x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除；对于C，y的范围超 出了集合B的范围，不符合，排除；对于D，满足函数关系的条件，正确. 高中总复习·数学 目 录 2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A. f（x）＝ ，g（t）＝ B. f（x）＝x，g（x）＝ C. f（x）＝1，g（x）＝x0 D. f（x）＝x，g（x）＝ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A中，函数f（x）＝ 的定义域为[－1，1），g（t） ＝ 的定义域为[－1，1），定义域相同，对应关系相同，所以是同一 个函数；对于B中，函数f（x）＝x和g（x）＝ ＝｜x｜＝ 的定义域都是R，但对应关系不同，所以不是同一个函数；对 于C中，函数f（x）＝1的定义域为R，函数 g（x）＝x0的定义域为（－ ∞，0）∪（0，＋∞），定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D 中，函数f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝ 的定义域为（－∞，0） ∪（0，＋∞），定义域不相同，所以不是同一个函数.故选A. 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·重庆质检）函数f（x）＝ ＋ 的定义域是 ⁠ ⁠. 解析：由题意知，函数f（x）＝ ＋ 有意义，需满足 解得1≤x＜4. [1， 4） 高中总复习·数学 目 录 练后悟通 与函数概念有关问题的解题策略 （1）判断两个函数是否为同一个函数的关键有两点：定义域是否相同， 对应关系即解析式是否相同； （2）求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式 子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题， 定义域应使实际问题有意义. 提醒　定义域要用集合或区间表示，如果定义域是多个区间，要用符号 “∪”连接. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 分段函数 目 录 1. 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的 式子来表示，这种函数称为分段函数. 2. 分段函数表示的是一个函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域 的 ，其值域等于各段函数的值域的 ⁠. 并集　 并集　 高中总复习·数学 目 录 角度1　分段函数求值 （2026·湖北武汉调研）已知f（x）＝ 则f ＝ （　　） A. 2 B. C. D. 1 √ 解析： 　函数f（x）＝ 所以f ＝2f ＝2× ＝1. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求函数值的方法 　　先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析 式求值，直到求出值为止.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次 求值. 高中总复习·数学 目 录 角度2　分段函数与方程、不等式问题 （1）已知函数f（x）＝ 且f（m）＝－12，则f （6－m）＝ ⁠； 解析： 由题意知，当m≤1时，f（m）＝2m＋1－8＝－12，得2m＋1＝－ 4，又2m＋1＞0，所以方程无解；当m＞1时，f（m）＝4lo （m＋1）＝ －12，得lo （m＋1）＝－3，即m＋1＝8，解得m＝7，所以f（6－ m）＝f（－1）＝2－1＋1－8＝－7. －7 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）＝ 若a[f（a）－f（－a）]＞0， 则a的取值范围为 ⁠. 解析：由题意知a≠0，当a＞0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化 为a2＋a－3a＞0，解得a＞2；当a＜0时，不等式a[f（a）－f（－a）] ＞0可化为－a2－2a＜0，解得a＜－2.综上所述，a的取值范围为（－ ∞，－2）∪（2，＋∞）. （－∞，－2）∪（2，＋∞） 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求解分段函数与方程、不等式问题的解题思路 （1）分类讨论，先在分段函数每一段上分别求解，并与该段自变量的取 值范围取交集，最后将各段的结果取并集； （2）若分段函数每一段的解析式便于作图，则作出分段函数的图象，通 过数形结合求解. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）已知函数f（x）＝ 若f（f（a））＝2，则a＝ （　D　） A. 0或1 B. －1或1 C. 0或－2 D. －2或－1 解析： 令f（a）＝t，则f（t）＝2，可得t＝0或t＝1.当t＝0时，即f （a）＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0，解得a＝－2；当t＝1时，即f （a）＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1，解得a＝－1.综上所述，a＝－2或 －1. D 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕设函数f（x）＝ 则使得f（x）≤2成 立的x的取值范围是 ⁠. 解析：法一　当x＜1时，由f（x）≤2，得2x－1≤2，所以x－1≤1，解得 x≤2，所以x＜1；当x≥1时，由f（x）≤2，得 ≤2，解得x≤4，所以 1≤x≤4.综上，满足f（x）≤2成立的x的取值范围为 （－∞，4]. （－∞，4] 高中总复习·数学 目 录 法二　画出f（x）的图象，由图象知f（x）是R上的增函数，又因为f （4）＝2，所以f（x）≤2，可化为f（x）≤f（4），故x≤4. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 求函数的解析式 目 录 （1）〔一题多解〕已知f（ ＋1）＝x＋2 ，则f（x）＝ （　C　） A. x2－1（x≥0） B. ＋1（x≥1） C. x2－1（x≥1） D. －1（x≥0） 解析： 法一（换元法） 令t＝ ＋1，t≥1，则t2＝（ ＋1）2＝x＋ 2 ＋1，由f（ ＋1）＝x＋2 得，f（t）＝t2－1，t≥1，即f（x） ＝x2－1，x≥1. 法二（配凑法） f（ ＋1）＝x＋2 ＝（ ）2＋2 ＋1－1＝（ ＋1）2－1，故f（x）＝x2－1，x≥1. C 高中总复习·数学 目 录 （2）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，则f （x）的解析式为（　D　） A. f（x）＝x＋6 B. f（x）＝x＋7 C. f（x）＝2x＋6 D. f（x）＝2x＋7 解析：（待定系数法） ∵f（x）是一次函数，可设f（x）＝ax＋b （a≠0），∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17，即ax＋ （5a＋b）＝2x＋17，∴ 解得 ∴f（x）＝2x＋7. D 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求函数解析式的4种方法 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，则f（x） ＝ ⁠； 解析： （解方程组法）　∵2f（x）＋f（－x）＝3x　①，∴将x用 －x替换，得2f（－x）＋f（x）＝－3x　②，由①②解得f（x）＝3x. 3x 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）是一次函数，若f（f（x））＝4x＋8，则f（x） ＝ ⁠. 解析： （待定系数法）　设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（f （x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b，又f（f （x））＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即 解得 或 所以f（x）＝2x＋ 或f（x）＝－2x－8. 2x＋ 或－2x－8 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 下列所给图象是函数图象的个数为（　　） A. 1 B. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C. 3 D. 4 √ 解析： 　图象①关于x轴对称，x＞0时，每一个x对应2个y，图象②中x0 对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象. 高中总复习·数学 目 录 2. 下面四组函数中，表示同一个函数的一组是（　　） A. f（x）＝eln x，g（x）＝x B. f（x）＝（x－1）2，g（x）＝（x－2）2 C. f（x）＝ ，g（t）＝｜t｜ D. f（x）＝ ，g（x）＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，因为f（x）的定义域为（0，＋∞），g（x）的定义 域为R，两函数定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B， 因为f（x）和g（x）的对应关系不一致，所以不是同一个函数，故B错 误；对于C，因为f（x）和g（t）的定义域都为R，且f（x）＝ ＝｜ x｜，g（t）＝｜t｜，对应关系一致，所以是同一个函数，故C正确；对 于D，因为f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x｜x≠0}，两函数 定义域不相同，所以不是同一个函数，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 已知f（x＋1）＝2x，且f（m）＝4，则m＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ 解析： 　设x＋1＝m，∴x＝m－1，2x＝2（m－1）.又∵2x＝4，即2 （m－1）＝4，所以m＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 已知函数f（x）＝ 的定义域为A，函数g（x）＝log2x，x∈ ［ ，4］的值域为B，则A∩B等于（　　） A. （0，2） B. （0，2] C. （－∞，4] D. （－1，4] √ 解析： 　f（x）＝ ，则 ≥0，∴x（x－4）≤0且x≠0，可得A ＝{x｜0＜x≤4}，g（x）的值域B＝{x｜－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x｜ 0＜x≤2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 如图，四棱柱ABCD-A'B'C'D'是一个无水游泳池，是由一个长方体切掉 一个三棱柱得到的.现在向游泳池内注水，如果进水速度是均匀的（单位 时间内注入的水量不变），水面与AB的交点为M，则AM的高度h随时间 t变化的图象可能是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱 柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水面的高度增长 得越来越慢，当水面经过点D后，水面的面积为定值，水面的高度匀速增 长，故符合条件的函数图象为选项A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精 确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算 值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率π＝ 3.141 592 653 589 793…，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f（n）， 则下列说法正确的是（　　） A. y＝f（n），n∈N*是一个函数 B. 当n＝5时，f（n）＝3.141 59 C. f（4）＝f（8） D. f（n）∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于选项A：对于任意n∈N*，均存在唯一的f（n）与之对 应，符合函数的定义，可知y＝f（n），n∈N*是一个函数，故A正确； 对于选项B、C：因为f（4）＝5，f（5）＝9，f（8）＝5，故B错误，C正 确；对于选项D：由f（n）为圆周率π小数点后第n位数字，可知f（n） ∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 若函数f（2x－1）的定义域为[－1，1]，则函数y＝ 的定义域 为 ⁠. 解析：由函数f（2x－1）的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，得－ 3≤2x－1≤1，因此由函数y＝ 有意义，得 解 得1＜x≤2，所以函数y＝ 的定义域为（1，2]. （1，2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}， 其函数对应关系如表： x 1 2 3 f（x） 2 3 1 x 1 2 3 g（x） 3 2 1 则方程g（f（x））＝x的解集为 ⁠. {3} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：当x＝1时，f（x）＝2，g（f（x））＝2，不符合题意；当x＝2 时，f（x）＝3，g（f（x））＝1，不符合题意；当x＝3时，f（x）＝ 1，g（f（x））＝3，符合题意.综上，方程g（f（x））＝x的解集为 {3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知函数f（x）＝ 则f（f（－4））＝ ⁠. 解析：由分段函数知，当x≤0时，周期T＝1，所以f ＝f ＝ f ＝1－3－4＝－6，所以f ＝f ＝f ＝f ＝－6. －6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）（1）已知f（x＋1）＝2x2－x＋3，求f（x）； 解： 令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f（t）＝2（t－1）2－（t－1）＋3 ＝2t2－4t＋2－t＋1＋3＝2t2－5t＋6. ∴f（x）＝2x2－5x＋6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）已知f（f（x））＝4x＋9，且f（x）为一次函数，求f（x）； 解： ∵f（x）为一次函数，∴设f（x）＝kx＋b（k≠0），∴f（f （x））＝f（kx＋b）＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9， ∴ ∴ 或 ∴f（x）＝2x＋3或f（x）＝－2x－9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （3）已知函数f（x）满足2f（x）＋f（ ）＝x，求f（x）. 解： ∵2f（x）＋f（ ）＝x，　① ∴2f（ ）＋f（x）＝ .　② 由①×2－②，得f（x）＝ x－ （x≠0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 已知定义域为R的函数f（x）满足f（a＋b）＝f（a）·f（b） （a，b∈R），且f（x）＞0，若f（1）＝ ，则f（－2）＝（　　） A. 2 B. 4 C. D. √ 解析： 　令a＝b＝0，则有f（0）＝[f（0）]2.又∵f（x）＞0，∴f （0）＝1.令a＝－1，b＝1，则有f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）·f （1），∴f（－1）＝ ＝ ＝2.再令a＝b＝－1，则有f（－2）＝[f （－1）]2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知函数y＝f（x）的图象由如图所示的两段线段组成，则 （　　） A. f（f（3））＝1 B. 不等式f（x）≤1的解集为［2， ］ C. 函数f（x）在区间[2，3]上的最大值为2 D. f（x）的解析式可表示为f（x）＝x－3＋2｜x－3｜ （x∈[0，4]） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　根据题意，由图象可得，在区间[0，3]上，函数图象为线段， 经过点（0，3）和（3，0），则其方程为f（x）＝3－x（0≤x≤3），在 区间[3，4]上，函数图象为线段，经过点（3，0）和（4，3），设f（x） ＝kx＋b，x∈[3，4]，则 解得 所以其方程为f （x）＝3x－9（3≤x≤4），综合可得f（x）＝ 对 于A，f（3）＝0，则f（f（3））＝f（0）＝3，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 对于B，若f（x）≤1，则有 或 解得 2≤x≤3或3＜x≤ ，即不等式的解集为［2， ］，故B正确；对于C， 在区间[2，3]上，f（x）＝3－x单调递减，其最大值为f（2）＝1，故C 错误；对于D，由f（x）＝x－3＋2｜x－3｜（x∈[0，4]）＝ 故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 设函数f（x）＝ 若f（f（a））≥3，则实数a的 取值范围是 ⁠. 解析：因为f（x）＝ 令f（a）＝t，则f（f（a）） ≥3可化为f（t）≥3，当t≥0时，t2＋2t≥3，解得t≥1（负值舍去）， 即f（a）≥1；当t＜0时，－t2＋2t≥3，即t2－2t＋3≤0，而t2－2t＋3＝ （t－1）2＋2＞0，故上述不等式无解，综上，f（a）≥1，若a≥0，则a2 ＋2a≥1，解得a≥ －1（负值舍去）；若a＜0，则－a2＋2a≥1，解 得a＝1（舍去），综上，a≥ －1. [－1，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用， 要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做 刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离 y （米）与汽车的车速x （千米/时）满足下列关系：y＝ ＋mx ＋n（m，n是常数）.如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y （米） 与汽车的车速x （千米/时）的关系图. （1）求出y关于x的函数表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解： 由题意及函数图象， 得 解得m＝ ，n＝0，所以y＝ ＋ （x≥0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度. 解： 令 ＋ ≤25.2，得－72≤x≤70. 因为x≥0，所以0≤x≤70. 故行驶的最大速度是70千米/时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $