不等式恒（能）成立问题课件-2027届高三数学一轮复习

不等式恒（能）成立问题 重难解读 　　用导数解决不等式恒（能）成立问题的常用方法有分离参数法、分类 讨论法等，其解题思路是构造新函数分类讨论，将不等式恒（能）成立问 题转化为函数的最值问题处理. 目录/ CONTENTS 考点一 分离参数法 01 考点二 分类讨论法 02 课时跟踪训练 03 01 PART 考点一 分离参数法 目 录 已知函数f（x）＝xln x，若对于任意的x∈［ ，e］，恒有f（x） ≤ax－1，求实数a的取值范围. 解：当 ≤x≤e时，恒有f（x）≤ax－1等价于当 ≤x≤e时，a≥ln x＋ 恒成立. 令g（x）＝ln x＋ ，x∈［ ，e］，则g'（x）＝ － ＝ ，x∈ ［ ，e］. 高中总复习·数学 目 录 当x∈［ ，1）时，g'（x）＜0，所以g（x）在区间［ ，1）上单调递 减；当x∈（1，e]时，g'（x）＞0，所以g（x）在区间（1，e]上单调 递增. 而g（ ）＝－ln e＋e＝e－1＞1.5，g（e）＝1＋ ＜1.5，所以g（x） 在区间［ ，e］上的最大值为g（ ）＝e－1.所以当a≥e－1时，对于 任意x∈［ ，e］，恒有f（x）≤ax－1. 综上所述，实数a的取值范围是[e－1，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　分离参数法是将含参不等式中的参数通过恒等变形，使参数与其变量 分离的一种方法.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f （x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min.若存在 x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在x0∈D，使a ＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，求参数的范围. 高中总复习·数学 目 录 练1 （2025·山东济宁一模节选）已知函数f（x）＝ex－ax－1，若f（x） ≤x2在（0，＋∞）上有解，求实数a的取值范围. 解：因为f（x）≤x2在（0，＋∞）上有解， 所以ex－x2－ax－1≤0在（0，＋∞）上有解， 当x＞0时，不等式等价于a≥ －（ x＋ ）在（0，＋∞）上有解， 令g（x）＝ －（ x＋ ），则g'（x）＝ － ＝ ， 令g'（x）＝0，得x＝1， 高中总复习·数学 目 录 所以当0＜x＜1时，g'（x）＜0；当x＞1时，g'（x）＞0， 所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， 所以当x＝1时，g（x）min＝e－2，所以a≥e－2， 综上可知，实数a的取值范围是[e－2，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 分类讨论法 目 录 已知函数f（x）＝ln x－a（x－1），a∈R，x∈[1，＋∞），且f （x）≤ 恒成立，求a的取值范围. 解：f（x）－ ＝ ， 构造函数g（x）＝xln x－a（x2－1）（x≥1）， g'（x）＝ln x＋1－2ax， 令F（x）＝g'（x）＝ln x＋1－2ax（x≥1），F'（x）＝ . 高中总复习·数学 目 录 ①若a≤0，则F'（x）＞0，g'（x）在[1，＋∞）上单调递增，g'（x） ≥g'（1）＝1－2a＞0， ∴g（x）在[1，＋∞）上单调递增，g（x）≥g（1）＝0，从而f（x） － ≥0，不符合题意. ②若0＜a＜ ，当x∈［1， ）时，F'（x）＞0， ∴g'（x）在［1， ）上单调递增，从而g'（x）≥g'（1）＝1－2a＞0， ∴g（x）在［1， ）上单调递增，g（x）≥g（1）＝0，从而f（x） － ≥0，不符合题意. 高中总复习·数学 目 录 ③若a≥ ，则F'（x）≤0在[1，＋∞）上恒成立， ∴g'（x）在[1，＋∞）上单调递减，g'（x）≤g'（1）＝1－2a≤0. ∴g（x）在[1，＋∞）上单调递减， 从而g（x）≤g（1）＝0，f（x）－ ≤0， 综上，a的取值范围是［ ，＋∞）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　已知不等式恒（能）成立求参数范围问题，一般将其转化为最值问 题.解决因参数取值不同导致所得结果不同问题的关键是构造函数，再对 参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意， 若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 高中总复习·数学 目 录 练2 （2026·河北石家庄教学质量检测）已知函数f（x）＝ . （1）当x＞0时，求函数f（x）的最小值； 解： f'（x）＝ ， 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）min＝f（1）＝e. 高中总复习·数学 目 录 （2）若关于x的不等式f（x）≥ax－aln x＋e－1恒成立，求实数a的取 值范围. 解： 设h（x）＝f（x）－ax＋aln x－（e－1），则当x＞0时，h （x）≥0恒成立， h'（x）＝ －a＋ ＝ ， 由（1）得当x＞0时， ≥e，即ex≥ex， ①当a≤e，x＞0时，ex－ax≥ex－ex≥0， 当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减， 当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增， 所以h（x）≥h（1）＝e－a－（e－1）＝1－a≥0，所以a≤1. ②当a＞e时，h（1）＝1－a＜0，这与h（x）≥0矛盾. 综上，实数a的取值范围为（－∞，1]. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：50分钟，满分：55分） 目 录 1 2 3 4 1. （10分）已知函数f（x）＝ .当x≥1时，f（x）≤a（x－1），求 a的取值范围. 解：当x∈[1，＋∞）时，f（x）≤a（x－1）等价于ln x≤a（x2－1）， 令g（x）＝a（x2－1）－ln x，x∈[1，＋∞），则ln x≤a（x2－1）在 [1，＋∞）上恒成立，即g（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立. g'（x）＝2ax－ ＝ ， 当a≤0时，g'（x）＜0，g（x）在[1，＋∞）上单调递减，所以g（x） ≤g（1）＝0，不符合题意； 高中总复习·数学 目 录 当0＜a＜ 时，由g'（x）＝0得，x＝ ＞1， x∈［1， ）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以x∈［1， ）时，g（x）≤g（1）＝0，不符合题意； 当a≥ 时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2－1≥0，则g'（x）≥0， g（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，符合题意. 综上所述，a的取值范围为［ ，＋∞）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 2. （15分）已知函数f（x）＝ln x－ . （1）当a＝－1时，求f（x）的极值； 解： 当a＝－1时，f（x）＝ln x＋ ，定义域为（0，＋∞）， 则f'（x）＝ － ＝ ，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f' （x）＞0， 则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， 所以f（x）有极小值f（1）＝1，无极大值. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围. 解： 因为f（x）≥0恒成立，得∀x＞0，a≤xln x， 令g（x）＝xln x，x＞0，则g'（x）＝1＋ln x，当0＜x＜ 时，g'（x） ＜0，当x＞ 时，g'（x）＞0， 即函数g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，因 此g（x）min＝g（ ）＝－ ，则a≤－ ， 所以a的取值范围为（－∞，－ ］. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 3. （15分）已知函数f（x）＝ x3＋x2＋ax. （1）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，求实数a的最小值； 解： f'（x）＝x2＋2x＋a， ∵f（x）在[1，＋∞）上单调递增， ∴f'（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥－x2－2x在[1，＋∞）上恒 成立， 易知当x＝1时，（－x2－2x）max＝－1－2＝－3， ∴a≥－3， ∴实数a的最小值为－3. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数g（x）＝ ，对∀x1∈［ ，2］，∃x2∈［ ，2］，使f' （x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围. 解： “对∀x1∈［ ，2］，∃x2∈［ ，2］，使f'（x1）≤g（x2）成 立”等价于“当x∈［ ，2］时，f'（x）max≤g（x）max”， ∵f'（x）＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1在［ ，2］上单调递增，∴f' （x）max＝f'（2）＝a＋8， ∵g'（x）＝ ，∴当x∈［ ，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，2]时， g'（x）＜0， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 ∴g（x）在［ ，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，∴g（x）max ＝g（1）＝ ， ∴a＋8≤ ，解得a≤ －8， 即实数a的取值范围为（ －∞， －8］. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 4. （15分）已知函数f（x）＝（a－1）x－2 sin x. （1）若函数f（x）有极值，求实数a的取值范围； 解： 依题意，f'（x）＝a－1－2 cos x，令f'（x）＝0，得a＝1＋2 cos x， 因为1＋2 cos x∈[－1，3]，所以当a≤－1时，f'（x）≤0，f（x）在R上 是减函数； 当a≥3时，f'（x）≥0，故f（x）在R上是增函数； 当－1＜a＜3时，f'（x）＝0有变号零点，此时函数f（x）存在极值. 综上，实数a的取值范围为（－1，3）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若关于x的不等式f（x）＋x（1＋ cos x）≤0在x∈［0， ］上恒成 立，求实数a的取值范围. 解： 依题意，由f（x）＋x（1＋ cos x）≤0， 得（a－1）x－2 sin x＋x（1＋ cos x）≤0， 即2 sin x－x cos x－ax≥0， 设h（x）＝2 sin x－x cos x－ax，x∈［0， ］， 则h'（x）＝2 cos x－ cos x＋x sin x－a＝ cos x＋x sin x－a， 设m（x）＝ cos x＋x sin x－a，则m'（x）＝x cos x， 当x∈［0， ］时，m'（x）＞0，m（x）单调递增， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 所以在x∈［0， ］上，h'（x）≤h'（ ）＝ －a，且h'（0）＝1－ a， 当 －a≤0，即a≥ 时，h'（x）≤0，h（x）在［0， ］上单调递 减， 则h（x）≤h（0）＝0，不符合题意，舍去， 当 －a＞0，即a＜ 时， ①若1－a＜0，即1＜a＜ ， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 ∃x0∈（0， ），使得h'（x0）＝0，当0＜x＜x0时，h'（x0）＜0，h （x）在（0，x0）内单调递减，h（x）≤h（0）＝0，不符合题意，舍 去. ②若1－a≥0，即a≤1，h'（x）≥0恒成立， h（x）在x∈［0， ］上单调递增，则h（x）≥h（0）＝0，符合题意. 综上，实数a的取值范围为（－∞，1]. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 $