导数与函数的极值课件-2027届高三数学一轮复习

第4节　导数与函数的极值 课标要求 1. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2. 理解导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极大值、极小值. 3. 会利用极值求参数. 目录/ CONTENTS 考点一 由图象判断函数的极值 01 考点二 求函数的极值 02 提能点 由函数的极值求参数 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 由图象判断函数的极值 目 录 条件 f'（x0）＝0 x0附近的左侧f' （x） 0，右侧f' （x） ⁠0 x0附近的左侧f'（x） 0，右 侧f'（x） ⁠0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f（x0）为极 ⁠值 f（x0）为极 ⁠值 极值点 x0为极 ⁠值点 x0为极 ⁠值点 ＞　 ＜　 ＜　 ＞　 大　 小　 大　 小　 高中总复习·数学 目 录 提醒：f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件. 如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但0不是极值点. 高中总复习·数学 目 录 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（1－x） f'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B. 函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C. 函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D. 函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题图可知，当x＜－2时，f'（x）＞0；当－2＜x＜1时，f' （x）＜0；当1＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0.由此可以 得到函数f（x）在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　导函数图象从左往右，导函数值由正变负，表示函数单调性由增变 减，此时导函数的零点即为函数的极大值点；同理，导函数值由负变正， 函数单调性由减变增，此时导函数的零点即为函数的极小值点.判断函数 的极值需从定义入手. 高中总复习·数学 目 录 练1 〔多选〕若函数f（x）的定义域为（－4，3），其导函数f'（x）的图 象如图所示，则下列选项正确的为（　　） A. f（x）有两个极大值点 B. f（x）有一个极小值点 C. f（0）＞f（1） D. f（－2）＞f（－3） √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由f'（x）的图象可知，当x∈（－4，－3]时，f'（x） ≥0，即函数f（x）在（－4，3]上单调递增；当x∈（－3，－2]时，f' （x）≤0，即f（x）在（－3，－2]上单调递减，所以x＝－3为f（x） 的一个极大值点，且f（－2）＜f（－3）；当x∈（－2，2]时，f'（x） ≥0，即f（x）在（－2，2]上单调递增；当x∈（2，3）时，f'（x）＜ 0，即f（x）在（2，3）上单调递减，所以x＝－2为f（x）的一个极小 值点，x＝2为f（x）的一个极大值点，且f（0）＜f（1）.故A、B正 确，C、D错误. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 求函数的极值 目 录 〔多选〕（2026·湖北黄冈模拟）已知函数f（x）＝ ，则 函数f（x）（　　） A. 在（0， ）内单调递减 B. 有3个极值点 C. 极大值为1 D. 极小值点为 √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由f（x）＝ ，得f'（x）＝ （x≠1）， 由f'（x）＞0，得x＜0或x＞ ，由f'（x）＜0，得0＜x＜1或1＜x＜ ， 所以f（x）在区间（－∞，0），（ ，＋∞）上单调递增，在区间（0， 1），（1， ）内单调递减，所以f（x）的极大值为f（0）＝1，极小值 为f（ ）＝ ＝4 ，故选项A、B错误，C、D正确. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 求函数极值的一般步骤 （1）先求函数f（x）的定义域，再求函数f（x）的导函数； （2）求f'（x）＝0的根； （3）判断f'（x）＝0的根的左、右两侧f'（x）的符号，确定极值点； （4）求出函数f（x）的极值. 高中总复习·数学 目 录 练2 已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）. （1）当a＝ 时，求f（x）的极值； 解： 当a＝ 时，f（x）＝ln x－ x，函数的定义域为（0，＋ ∞），且f'（x）＝ － ＝ ， 令f'（x）＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表： x （0，2） 2 （2，＋∞） f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 ln 2－1 单调递减 故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值. 高中总复习·数学 目 录 （2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数. 解： 函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ －a＝ （x＞0）. 当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立， 则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无极值点； 当a＞0时，若x∈ ，则f'（x）＞0， 若x∈ ，则f'（x）＜0， 故函数在x＝ 处有极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值点； 当a＞0时，函数y＝f（x）有一个极大值点，且为 . 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 由函数的极值求参数 目 录 （1）（2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－ 2）（x－a）的极值点，则f（0）＝ ⁠； 解析： f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1） （x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因 为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝ 0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所 以f（0）＝－4. －4 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数f（x）＝ln 2x＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围 为 ⁠. 解析：函数f（x）＝ln 2x＋ax的定义域为（0，＋∞），求导得f'（x） ＝ ＋a，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函 数，无极值，不符合题意；当a＜0时，当0＜x＜－ 时，f'（x）＞0，当 x＞－ 时，f'（x）＜0，则当x＝－ 时，函数f（x）取得极大值f（ － ），因此f（ － ）＝ln（ － ）－1＞0，即ln（ － ）＞1，解得－ ＜ a＜0. （ － ，0） 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定 系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性. 提醒　若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在 （a，b）内不是单调函数. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）已知函数f（x）＝x2ln x，则下列结论正确的是（　C　） A. f（x）在x＝ 处取得极大值 B. f（x）在x＝ 处取得极大值 C. f（x）在x＝ 处取得极小值－ D. f（x）在x＝ 处取得极小值 C 高中总复习·数学 目 录 解析： f'（x）＝2xln x＋x＝x（2ln x＋1），且x∈（0，＋∞）.令 f'（x）＝0，得x＝ ，所以当x∈（ 0， ）时，f'（x）＜0，f（x）单 调递减，当x∈（ ，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.所以f （x）在x＝ 处取得极小值f（ ）＝ ln ＝－ .故选C. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·广东汕头模拟）设a∈R，若函数f（x）＝ x3－ x2＋x＋2 在（1，2）内存在极值点，则a的取值范围是（　B　） A. B. （ 3， ） C. （－∞，3） D. B 解析：依题意，f'（x）＝2x2－ax＋1在（1，2）内存在变号零点.所以a＝ 2x＋ 在（1，2）内有解，易知y＝2x＋ 在（1，2）上单调递增，所以3 ＜a＜ .故选B. 高中总复习·数学 目 录 （3）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋ ＋ （a≠0）既有极大值也有极小值，则（　BCD　） A. bc＞0 B. ab＞0 C. b2＋8ac＞0 D. ac＜0 BCD 高中总复习·数学 目 录 解析：因为函数f（x）＝aln x＋ ＋ （a≠0），所以函数f（x）的定 义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ，因为函数f（x）既有极大值 也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根 x1，x2，则 即 所以 故 选B、C、D. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 如图是y＝f（x）的导函数f'（x）的图象，对于下列四个判断，其中不 正确的是（　　） A. 当x＝－1时，f（x）取得极小值 B. f（x）在[－2，1]上不具备单调性 C. 当x＝2时，f（x）取得极大值 D. f（x）在[－1，2]上单调递减 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由导函数f'（x）的图象知，当x＝－1时，f（x）取得极小值， 故选项A正确；f（x）在[－2，1]上有减有增，故选项B正确；当x＝2 时，f（x）取得极大值，故选项C正确；f（x）在[－1，2]上单调递增， 故选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·黑龙江伊春开学考试）函数f（x）＝（4x－5）e2x的极值点为 （　　） A. B. C. D. √ 解析： 　f'（x）＝4e2x＋2（4x－5）e2x＝（8x－6）e2x，令f'（x）＜ 0，得x＜ ，此时函数单调递减；令f'（x）＞0，得x＞ ，此时函数单调 递增.所以f（x）的极小值点为 ，无极大值点.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 设函数f（x）的定义域为R，若x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，则 以下结论中一定正确的是（　　） A. ∀x∈R，f（x）≤f（x0） B. －x0是f（－x）的极小值点 C. －x0是－f（x）的极小值点 D. －x0是－f（－x）的极小值点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　极值为函数的局部性质，A错误.因为f（－x）与f（x）的图象 关于y轴对称，所以－x0是f（－x）的极大值点，B错误.因为－f（x）与 f（x）的图象关于x轴对称，所以x0是－f（x）的极小值点，C错误.因为 －f（－x）与f（x）的图象关于原点对称，所以－x0是－f（－x）的极 小值点，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 已知函数f（x）＝ x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值 范围是（　　） A. [0，1] B. （－∞，0]∪[1，＋∞） C. [0，2] D. （－∞，0]∪[2，＋∞） √ 解析： 　由f（x）＝ x3＋（a－1）x2＋x＋1，得f'（x）＝x2＋2（a－ 1）x＋1.由题意得[2（a－1）]2－4≤0，解得0≤a≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 设函数f（x）＝ ，若f（x）的极小值为 ，则a＝（　　） A. － B. C. D. 2 √ 解析： 　由已知得f'（x）＝ （x≠－a），令f'（x）＝0， 有x＝1－a，且当x＜1－a时函数f（x）单调递减，当x＞1－a时函数f （x）单调递增，∴f（x）的极小值为f（1－a）＝e1－a＝ ，即1－a ＝ ，得a＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 已知函数f（x）＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f（x）的 极大值为（　　） A. 2 B. － C. 3＋ln 2 D. －2＋2ln 2 √ 解析： 　f'（x）＝ ＋2ax－3，∵f（x）在x＝2处取得极小值，∴f' （2）＝4a－2＝0，解得a＝ ，∴f（x）＝2ln x＋ x2－3x，f'（x）＝ ＋x－3＝ ，∴f（x）在（0，1），（2，＋∞）上单调递 增，在（1，2）内单调递减，∴f（x）的极大值为f（1）＝ －3＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 〔多选〕（2026·山西运城调研）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－ 1）ex－1的极值点，则下面结论正确的为（　　） A. a＝－1 B. f（x）的单调递增区间为（－2，1） C. f（x）的极小值为1 D. f（x）的极大值为5e－3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题可得f'（x）＝ex－1[x2＋（a＋2）x＋a－1]，x∈R，因 为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以f'（－2）＝ 0，则4－2（a＋2）＋a－1＝0，解得a＝－1，故f（x）＝（x2－x－1） ex－1，f'（x）＝ex－1（x2＋x－2）＝（x－1）（x＋2）ex－1，当x＜－2 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，f （x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的 单调递增区间为（－∞，－2），（1，＋∞），单调递减区间为（－2， 1），故A正确，B错误；由上可知，f（x）的极大值为f（－2）＝5e－3， 极小值为f（1）＝－1，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·广东湛江模拟）已知函数f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R），g （x）＝x2＋（2－a）ln x，若f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值， 则实数a的取值范围是 ⁠. （－∞， ）∪（2，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：若f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R）无极值，则f'（x）＝3x2－2x＋ a≥0恒成立，即Δ＝4－12a≤0，解得a≥ ；若g（x）＝x2＋（2－a）ln x无极值，则g'（x）＝ ≥0对x∈（0，＋∞）恒成立，所以2－ a≥0，即a≤2.所以f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值，则 或 解得a∈（－∞， ）∪（2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则 ＋ ＝ ⁠. ​ 解析：由题图可知f（x）的图象经过点（1，0）与 （2，0），x1，x2是f（x）的极值点，∴1＋b＋c ＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，∴f（x） ＝x3－3x2＋2x，∴f'（x）＝3x2－6x＋2.∵x1，x2是 方程3x2－6x＋2＝0的两根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝ ，∴ ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝4－2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）已知函数f（x）＝ ＋x（a∈R）. （1）若f'（0）＝0，求实数a的值； 解： 由函数f（x）＝ ＋x， 可得f'（x）＝1－ ＝ ， 所以f'（0）＝ ＝1－a＝0，解得a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）讨论函数f（x）的极值. 解： 函数f（x）＝ ＋x的定义域为R， 且f'（x）＝1－ ＝ ，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立， 所以f（x）在R上单调递增，f（x）无极值； 当a＞0时，令f'（x）＞0，解得x＞ln a； 令f'（x）＜0，解得x＜ln a， 所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增， 所以f（x）的极小值为f（ln a）＝1＋ln a，无极大值. 综上所述，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）的极小值为1 ＋ln a，无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. （2025·江苏南通一模）若函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点， 则实数a的取值范围为（　　） A. a＞－2 B. a＞－ C. a＜－2 D. a＜－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由函数f（x）＝eax＋2x，可得f'（x）＝aeax＋2，若a≥0，f' （x）＞0，此时f（x）单调递增，无极值点，故a＜0，令f'（x）＝aeax ＋2＝0，解得x＝ ln（ － ），当x＞ ln（ － ）时，f'（x）＞0，当x ＜ ln（ － ）时，f'（x）＜0，故x＝ ln（ － ）是f（x）＝eax＋2x的 极值点，由于函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，∴ ln（ － ）＞ 0⇒ln（ － ）＜0⇒0＜－ ＜1，解得a＜－2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知a为常数，函数f（x）＝x（ln x－2ax）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），则下列结论中正确的是（　　） A. 0＜a＜ B. x1＋x2＜2 C. f（x1）＜0 D. f（x2）＞－ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为f'（x）＝ln x＋1－4ax（x＞ 0），令f'（x）＝0，则4a＝ ，令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ，所以g（x）在（0，1） 上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.作出函数y＝4a和函数y＝g（x）的图象，如图所示.当0＜a＜ 时，f'（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜1＜x2，故选项A正确；当a→0时，x1＋x2→＋∞，故选项B错误；又函数f（x）在（0，x1）内单调递减，在（x1，x2）内单调递增，在（x2，＋∞）上单调递减，所以f（x1）＜f（1）＝－2a＜0，f（x2）＞f（1）＝－2a＞－ ，故选项C、D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 若函数f（x）＝ x2－ax＋ln x在（0，2）内有极值，则实数a的取值 范围是 ⁠. 解析：f（x）＝ x2－ax＋ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－a ＋ ，要使函数f（x）＝ x2－ax＋ln x在（0，2）内有极值，则f'（x） ＝x－a＋ 在（0，2）内有变号零点，令g（x）＝x＋ ，x∈（0， 2），则g（x）＝x＋ ≥2 ＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以 a≥2.当a＝2时，f'（x）＝x＋ －2≥0，函数f（x）单调递增，则函数f （x）＝ x2－ax＋ln x在（0，2）内没有极值，故a＞2，即实数a的取值 范围是（2，＋∞）. （2，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝ex －ax－a3. （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； 解： 当a＝1时，则f（x）＝ex－x－1，f'（x）＝ex－1， 可得f（1）＝e－2，f'（1）＝e－1， 即切点坐标为（1，e－2），切线斜率k＝e－1， 所以切线方程为y－（e－2）＝（e－1）（x－1）， 即（e－1）x－y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 解： 易知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－a. 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数，无极值； 当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞ln a，由f'（x）＜0，得x＜ln a， 所以函数f（x）在区间（－∞，ln a）上单调递减，在区间（ln a，＋∞）上单调递增，所以f（x）的极小值为f（ln a）＝a－aln a－a3. 由题意知a－aln a－a3＜0（a＞0），等价于1－ln a－a2＜0（a＞0）. 法一（导数法）　令g（a）＝1－ln a－a2（a＞0），则g'（a）＝－ －2a＜0， 所以函数g（a）在（0，＋∞）上是减函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 又g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＞0；当a＞1 时，g（a）＜0. 故实数a的取值范围为（1，＋∞）. 法二（图象法）　由1－ln a－a2＜0（a＞0），得ln a＞ －a2＋1（a＞0）. 如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间（0，＋∞）上的大致图象， 由图易知当a＞1时，ln a＞－a2＋1，即1－ln a－a2＜0. 所以实数a的取值范围为（1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $