第2节 导数与函数的单调性课件-2027届高三数学一轮复习

第2节　导数与函数的单调性 课标要求 1. 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2. 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 目录/ CONTENTS 考点一 利用导函数图象研究函数单调性 01 考点二 不含参函数的单调性 02 提能点 含参函数的单调性 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 利用导函数图象研 究函数单调性 目 录 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在 区间（a，b）内 可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）内 ⁠ ⁠ f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）内 ⁠ ⁠ f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）内是 ⁠ ⁠ 单调 递增　 单调 递减　 常 数函数　 高中总复习·数学 目 录 （1）已知二次函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f'（x）的图 象大致形状是（　B　） B 解析： 从题图上可以看出：二次函数f（x）在（－∞，0）上单调递 增，故f'（x）＞0；f（x）在（0，＋∞）上单调递减，故f'（x）＜0. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕已知函数y＝f'（x）的图象如图所示，那么下列关于函数y ＝f（x）的判断正确的是（　BD　） A. 在区间（0，a）上，f（x）为定值 B. 函数y＝f（x）在区间（a，b）内单调递增 C. 函数y＝f（x）在区间（c，e）内单调递增 D. 函数y＝f（x）在区间（b，d）内单调递减 BD 高中总复习·数学 目 录 解析： 由题图知，当0＜x＜a时，f'（x）＞0且为 定值；当a＜x＜c时，f'（x）单调递减，且当x∈ （a，b）时，f'（x）＞0，当x∈（b，c）时，f' （x）＜0；当c＜x＜e时，f'（x）单调递增，且当x∈ （c，d）时，f'（x）＜0，当x∈（d，e）时，f' （x）＞0，所以当0＜x＜a时，f（x）单调递增且为斜率大于0的直线，当a＜x＜b时，f（x）单调递增，当b＜x＜c时，f（x）单调递减，当c＜x＜d时，f（x）单调递减，当d＜x＜e时，f（x）单调递增，其大致图象如图. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 由原函数图象识别导函数图象的依据：若f（x）单调递增，则f'（x） 的图象一定在x轴的上方；若f（x）单调递减，则f'（x）的图象一定在x 轴的下方；若f（x）是常函数，则f'（x）＝0. 2. 由导函数图象识别原函数图象的依据：若f'（x）＞0，则f（x）单调递 增，f'（x）＜0，则f（x）单调递减. 高中总复习·数学 目 录 练1 已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图所示，则f （x）的图象可能是（　　） √ 解析： 　由f'（x）的图象知，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，∴f （x）单调递增；当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减； 当x∈（x1，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增.故选C. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 不含参函数的单调性 目 录 （1）若函数f（x）＝－2ln x＋x＋ ，则f（x）的单调递增区间为 （　D　） A. （0，＋∞） B. （0，3） C. （－1，3） D. （3，＋∞） D 解析： 由函数f（x）＝－2ln x＋x＋ ，可得其定义域为（0，＋∞）， 且f'（x）＝－ ＋1－ ＝ ＝ ，x＞0，令f'（x）＝ 0，可得x＝3，当x∈（0，3）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，3）内单调 递减；当x∈（3，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（3，＋∞）上单调 递增. 高中总复习·数学 目 录 （2）若函数f（x）＝ ，则函数f（x）的单调递减区间为 ⁠ ⁠. 解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ，令φ（x）＝ －ln x－1（x＞0），则φ'（x）＝－ － ＜0，∴φ（x）在（0，＋∞） 上单调递减，且φ（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，f'（x）＞ 0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1） 上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，∴f（x）的单调递减区间为 （1，＋∞）. （1， ＋∞） 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求出导数f'（x）的零点； （3）用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f' （x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性. 高中总复习·数学 目 录 2. 求函数单调区间的方法 （1）解不等式f'（x）＞0（f'（x）＜0）求单调递增（减）区间； （2）令f'（x）＝0解出方程的实根，再将定义域划分为若干个区间，确定 各区间上f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒　若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及 “或”连接，只能用“，”或“和”隔开. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）函数f（x）＝ln（2x－1）－x2＋x的单调递增区间是（　　） A. （0，1） B. （ ，1） C. （ ， ） D. （ ， ） √ 解析： 　函数f（x）＝ln（2x－1）－x2＋x的定义域为（ ，＋∞）， 且f'（x）＝ －2x＋1＝ ＝ ，令f' （x）＞0，解得 ＜x＜ ，所以f（x）的单调递增区间为（ ， ）. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）＝x＋2 cos x，试判断f（x）在（0，π）上的单调 性. 解：f'（x）＝1－2 sin x，x∈（0，π）. 令f'（x）＝0，得x＝ 或x＝ ， 当0＜x＜ 或 ＜x＜π时，f'（x）＞0， 当 ＜x＜ 时，f'（x）＜0， 所以f（x）在（0， ）和（ ，π）上单调递增，在（ ， ）内单调 递减. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 含参函数的单调性 目 录 （2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨 论f（x）的单调性. 解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln . 当x∈（ －∞，ln ）时，f'（x）＜0；当x∈（ ln ，＋∞）时，f'（x） ＞0. 所以f（x）在（ －∞，ln ）上单调递减，在（ ln ，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0 时，f（x）在（ －∞，ln ）上单调递减，在（ ln ，＋∞）上单调递增. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 解决含参函数单调性问题的注意点 （1）研究含参数的函数的单调性时，要依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论； （2）注意观察f'（x）的表达式（或其中的某一部分、某个因式等）的取 值是否恒为正（或恒为负），这往往是分类讨论的出发点； （3）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 零的点和函数的间断点. 提醒　分类讨论要做到不重不漏，同时还要注意对结果进行综述. 高中总复习·数学 目 录 练3 讨论函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1的单调性. 解：由题意知f（x）的定义域为R，f'（x）＝3x2－2x＋a，令f'（x）＝ 0，Δ＝（－2）2－4×3×a＝4（1－3a）. ①当a≥ 时，f'（x）≥0，f（x）在R上单调递增； 高中总复习·数学 目 录 ②当a＜ 时，令f'（x）＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝ ，x2 ＝ ， 令f'（x）＞0，得x＜x1或x＞x2；令f'（x）＜0，得x1＜x＜x2， 所以f（x）在（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）内单调递减，在 （x2，＋∞）上单调递增. 综上，当a≥ 时，f（x）在R上单调递增； 当a＜ 时，f（x）在（－∞， ），（ ，＋∞）上单调递 增，在（ ， ）内单调递减. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：87分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列判断中正确的 是（　　） A. f（x）在（－3，1）内单调递增 B. f（x）在（1，3）内单调递减 C. f（x）在（2，4）内单调递减 D. f（x）在（3，＋∞）上单调递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　当x∈（－3，0）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－3，0）内单 调递减；当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，2）内单调递 增；当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，故f（x）在（2，4）内单调递减； 当x∈（4，＋∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（4，＋∞）上单调递 增，显然C正确，其他选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 2. 函数f（x）＝（x－3）ex的单调递减区间是（　　） A. （－∞，2） B. （0，3） C. （1，4） D. （2，＋∞） √ 解析： 由已知得，f'（x）＝ex＋（x－3）ex＝（x－2）ex，当x＜2 时，f'（x）＜0，当x＞2时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递减区间是 （－∞，2），单调递增区间是（2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 已知函数f（x）＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f（x）在R上单调递 增”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析： 　由题意，f'（x）＝3x2＋a，f（x）在R上单调递增，则f'（x） ≥0，即a≥－3x2在R上恒成立，故a≥0.所以“a＞0”是“f（x）在R上 单调递增”的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 函数f（x）＝x＋ －3ln x的单调递增区间是（　　） A. （－1，4） B. （0，1） C. （4，＋∞） D. （0，4） √ 解析： 　函数的定义域是（0，＋∞），f'（x）＝1－ － ＝ ，令f'（x）＞0，解得x＞4，故函数f（x）＝x＋ －3ln x在 （4，＋∞）上单调递增，选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 函数f（x）＝ln x＋ax2＋（2a＋1）x（a＜0），则f（x）的单调递增 区间为（　　） A. （－ ，0） B. （0，－ ） C. （－ ，＋∞） D. （－∞，－ ） √ 解析： 　由题意得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ＋2ax＋ 2a＋1＝ .∵a＜0，令f'（x）＝0，解得x＝－ ，∴当x∈ （0，－ ）时，f'（x）＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. （2026·安徽马鞍山模拟）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且函数 f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf'（x）的图象可能是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由图可知函数f（x）在（－∞，－1）上单调递减，在（－1， ＋∞）上单调递增，则当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＜0，当x∈（－ 1，＋∞）时，f'（x）＞0，且f'（－1）＝0.对于函数y＝xf'（x），当x∈ （－∞，－1）时，xf'（x）＞0，当x∈（－1，0）时，xf'（x）＜0，当 x∈（0，＋∞）时，xf'（x）＞0，且当x＝－1时，xf'（x）＝0，当x＝0 时，xf'（x）＝0，显然选项C符合，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 〔多选〕若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯 粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹 递减，则（　　） A. 函数f（x）＝x2－2x在[1，＋∞）上纯粹递增 B. 函数f（x）＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增 C. 函数f（x）＝ sin x－2x在[0，1]上纯粹递减 D. 函数f（x）＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　A项，f'（x）＝2x－2，f'（1）＝0，所以A错误.B项，f' （x）＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f'（x）＞0恒成立，所以B正确.C项，f' （x）＝ cos x－2＜0在[0，1]上恒成立，所以C正确.D项，f'（x）＝ex－ 3＜0在[0，2]上不恒成立，所以D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区间是 ⁠ ⁠. 解析：由f（x）＝2x2－x3，得f'（x）＝4x－3x2＝x（4－3x），令f' （x）＝0，得x＝0或x＝ ，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如 表所示. x （－∞，0） （ 0， ） （ ，＋∞） f'（x） － ＋ － f（x） 单调递减 单调递增 单调递减 （－∞，0）和 （ ，＋∞）　 所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0）和（ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知函数f（x）＝ 则f（x）的单调递减区间 为 ⁠. 解析：当x＜0时，f（x）＝－x－2，则f（x）在（－∞，0）上单调递 减.当x≥0时，f（x）＝（x－2）ex，则f'（x）＝ex＋（x－2）ex＝（x －1）ex，当0≤x＜1时，f'（x）＜0，f（x）在[0，1）上单调递减.又 （0－2）e0＝－0－2，所以f（x）的单调递减区间为（－∞，1）. （－∞，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （10分）已知函数f（x）＝ x2－ax＋ln x，讨论f（x）的单调性. 解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ . 当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增. 当a＞0时，令g（x）＝x2－ax＋1，Δ＝a2－4. 当Δ≤0，即0＜a≤2时，f'（x）≥0恒成立，则f（x）在（0，＋∞）上单 调递增. 当Δ＞0，即a＞2时， f'（x）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 由f'（x）＞0，得0＜x＜ 或x＞ ； 由f'（x）＜0，得 ＜x＜ ， 所以f（x）在（0， ），（ ，＋∞）上单调递增，在 （ ， ）内单调递减. 综上，当a≤2时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞2时，f （x）在（0， ），（ ，＋∞）上单调递增，在 （ ， ）内单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 函数f（x）的图象如图所示，设f（x）的导函数为f'（x），则f （x）·f'（x）＞0的解集为（　　） A. （1，4） B. （1，4）∪（4，6） C. （4，＋∞） D. （1，4）∪（6，＋∞） √ 解析： 　由图象可得，当x＜4时，f'（x）＞0，当x＞4时，f'（x）＜0. 结合图象可得，当1＜x＜4时，f'（x）＞0，f（x）＞0，即f（x）·f' （x）＞0；当x＞6时，f'（x）＜0，f（x）＜0，即f（x）·f'（x）＞0， 所以f（x）·f'（x）＞0的解集为（1，4）∪（6，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则g（x）＝ 在区间（　　） A. （0，1）内单调递增 B. （1，4）内单调递减 C. （1， ）内单调递减 D. （ ，4）内单调递减 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　当x＝0或x＝2时，f（x）＝0，则函数g（x）＝ 的定 义域为（－∞，0）∪（0，2）∪（2，＋∞），排除B、D；g'（x）＝ ，由题图易得当x∈（0，1）时，f（x）＞f'（x），即g' （x）＝ ＞0，所以函数g（x）＝ 在（0，1）内 单调递增，故A正确；由题图易得当x∈（1， ）时，f（x）＜f'（x）， 即g'（x）＝ ＜0，所以函数g（x）＝ 在（1， ） 内单调递减，故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 已知函数f（x）满足下列条件：①f（x）的导函数f'（x）为偶函数； ②f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，则f（x）的 一个解析式为f（x）＝ .（答案不唯一） 解析：因为f（x）在区间（－∞，－2），（2，＋∞）上单调递增，所以 当x∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0.又f（x）的导函数f' （x）为偶函数，所以令f'（x）＝x2－4，满足题意，所以f（x）＝ x3－ 4x（答案不唯一）. x3－4x（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）已知a为实数，函数f（x）＝ln（ ＋x）＋ax. （1）若a≥0，求证：函数f（x）在其定义域内是增函数； 解： 证明：∵ ＞ ＝｜x｜≥－x， ∴ ＋x＞0恒成立，∴f（x）的定义域为R. ∴f'（x）＝ ＋a＝ ＋a＝ ＋a＝ ＋ a. 当a≥0时， ＋a＞0，∴f'（x）＞0恒成立， ∴f（x）在R上为增函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）若a＜0，求函数f（x）的单调递减区间. 解： 当a＜0时，f'（x）＝ ＋a. f'（x）＜0⇔x2＞ . ①当a＜－1时，f'（x）＜0恒成立， ∴f（x）的单调递减区间为（－∞，＋∞）； ②当a＝－1，x≠0时，f'（x）＜0恒成立， ∴f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上也单调递减. 又f（x）在x＝0处连续， ∴f（x）的单调递减区间为（－∞，＋∞）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 ③当－1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（－∞， ），（－ ，＋∞）. 综上，当a≤－1时，f（x）的单调递减区间为（－∞，＋∞）； 当－1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（－∞， ），（－ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $