精品解析：辽宁大连市第一中学2025-2026学年度下学期高二期中考试数学试卷

大连市第一中学2025-2026学年度下学期高二期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名等信息填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每一小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.本试卷满分150分，答卷时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 在数列中，，，若，则（ ） A. 508 B. 507 C. 506 D. 505 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得到数列是等差数列，求得其通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意可得，，即， 故数列为等差数列，则 ， 故令 ， 故选：C 3. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式求解. 【详解】随机变量X服从正态分布，由，得， 所以. 故选：B 4. 设为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 2 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知先求出数列的首项和公比，即可利用求和公式求出. 【详解】设等比数列的公比为， 则，解得， 则，， 所以. 故选：C. 5. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】求得f(x)的导数,可得切线的斜率,再列方程可得所求值. 【详解】的导数为，可得f(x)在x=1处的切线的斜率为4+a. 因为直线的斜率为，所以4+a=7，解得：a=3. 故选：A 6. 以下四个命题错误的为（ ） A. 在一个列联表中，由计算得的值，若的值越大，则两个变量有关的把握就越大 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则， C. 在回归直线方程中，变量x每增加1个单位时，y平均增加2个单位 D. 若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有很强的线性相关，而且是负相关 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的思想判断A，对拟合曲线两边取对数，再根据指数与对数的关系计算即可判断B，根据回归方程的意义及相关系数的概念判断C、D； 【详解】解：对于A：分类变量与的随机变量越大， 说明“与有关系”的可信度越大，则两个变量有关的把握就越大，故A正确； 对于B：， 两边取对数，可得， 令，可得， ， ，， ．故B正确； 对于C：在回归直线方程中，变量每增加个单位时，平均减少个单位，故C错误； 对于D：相关系数，说明变量y和x之间具有很强的线性相关，而且是负相关，故D正确； 故选：C 7. 在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，知，得最大值是，从而判断结果． 【详解】∵等差数列前n项和， 由，，得， ∴， 故为递减数列，当时，；当时，，所以最大值是， 则当时，且单调递增，当时，，∴最大． 故选：B． 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可求解. 【详解】由，得到， 令，则， 所以（为常数），又，则， 所以，得到，又，当时，， 所以在区间上单调递减，又，所以， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由常数导数为零解得即可；对于B，因为，所以，所以选项B错误；对于C、D，由复合函数求导法则可解出判断即可. 【详解】对于A，由，为常数，所以，故选项A正确； 对于B，由，为常数，所以，故选项B不正确； 对于C，由，根据复合函数求导法则，， 故选项C正确； 对于D，由，根据复合函数求导法则， ，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知正项数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则前100项中，值为1和2的项数相同 【答案】BC 【解析】 【分析】由数列的递推关系和数列的周期性，对个选项分析可得答案. 【详解】对于A，若，可得，，，，故A错误； 对于B，若，可得，或，解得，或，满足条件，故B正确； 对于C，若，则，，，，，，，，，则，故C正确； 对于D，若，则，，，，，，，，，，， 则前100项中值为1的项数有47项，值为2的项数有48项，所以值为1和2的项数不同相同，故D不正确； 故选;BC 11. 某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示： 生产线 次品率 产量（件/天） 甲 500 乙 700 丙 800 试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ） A. 若计算机5次生成的数字之和为，则 B. 设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则 C. 若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为 D. 若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意可知，由二项分布计算，即可判断A选项；由条件概率公式计算，由此判断B选项；设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，由全概率公式计算，由此判断C选项；由贝叶斯公式计算，由此判断D选项. 【详解】对于A：因为，， 所以，故A错误； 对于B：由 故B正确； 对于C：设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B， 这件产品来自甲，乙，丙三条生产线分别为事件， 则由 ，故C错误； 对于D：由C选项的解析可知，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得服从二项分布，从而求得，进而利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用极值点的定义判断即可. 【详解】若为函数的极大值点，则在左侧附近的导数为正，在右侧附近导数为负， 结合图象可知，函数在上极大值点的个数为. 故答案为：. 13. 等比数列的公比为，其前项和记为，，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可得，进而得到，由等比数列通项公式可得，解不等式组即可求解. 【详解】因为， 即，所以， 所以， 所以， 因为是公比为的等比数列， 所以， 解得，故. 故答案为：. 14. 已知函数，，则数列的通项公式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由得为奇函数，进而得关于对称，即，最后利用倒序相加法即可求解. 【详解】由题意有：，所以为奇函数，所以关于对称，所以， 所以①， 又②， 由①②有：， 所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解. （2）由（1）的结论，确定在区间上单调性，进而求出最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则，， 所以在区间上的最大值和最小值分别为. 16. 已知数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）设，其前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得. 【小问1详解】 解：由题意可知，， 当时，有， 又因为，所以时，也成立, 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，所以 所以. 17. 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． （1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； （2）已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否有超过预算的可能?请说明理由． 【答案】（1） （2）有超过预算的可能 【解析】 【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式，即可求得答案；（2）设一名顾客获得的奖金为元，写出的所有可能取值，求出对应概率，进而可求出. 【小问1详解】 设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B， 则， ， 故； 【小问2详解】 设一名顾客获得的奖金为元，则的取值可能为， 则，， ，， 令 ， 因为在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 此时，故该活动有超过预算的可能． 18. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求数列、的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列，等比数列代入计算； （2）利用错位相减法可得，讨论n的奇偶结合恒成立问题运算处理． 【小问1详解】 因为数列是等比数列，则可得，解得 所以． 因为数列是等差数列，且，，则公差， 所以． 故， 【小问2详解】 由（1）得：， 数列的前n项和为① 所以② 由①-②得：， 所以． 不等式恒成立，化为成立， 令且为递增数列，即转化为 当时，恒成立，取，所以． 当时，恒成立，取，，所以． 综上可得：实数的取值范围是． 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力. 某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 （1）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为. 设，求的分布列； （2）已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个，若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值. 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 3 4 （2）.【解析】 【分析】（1）先按分层抽样比例算出各组抽取人数，再确定随机变量的所有可能取值，用超几何分布公式计算各取值的概率，列出分布列； （2）写出恰好答对3题的概率表达式，通过列相邻概率的比值不等式，求解使该概率最大的值. 【小问1详解】 由题意得，这 12 人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 则的所有可能取值为， ：对应和，则； ：对应、和，则； ：对应和，则； ：对应，则； ：对应，则. 则的分布列为： 0 1 2 3 4 【小问2详解】 设抽取10个中答对的个数为，则服从超几何分布，恰好答对3个的概率为， 要使得恰好最大，需满足 ， 解：，化简得； 解：，化简得. 结合，且，可知. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市第一中学2025-2026学年度下学期高二期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名等信息填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每一小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.本试卷满分150分，答卷时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 在数列中，，，若，则（ ） A. 508 B. 507 C. 506 D. 505 3. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 4. 设为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 2 C. 9 D. 5. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 6. 以下四个命题错误的为（ ） A. 在一个列联表中，由计算得的值，若的值越大，则两个变量有关的把握就越大 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则， C. 在回归直线方程中，变量x每增加1个单位时，y平均增加2个单位 D. 若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有很强的线性相关，而且是负相关 7. 在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知正项数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则前100项中，值为1和2的项数相同 11. 某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示： 生产线 次品率 产量（件/天） 甲 500 乙 700 丙 800 试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ） A. 若计算机5次生成的数字之和为，则 B. 设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则 C. 若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为 D. 若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为________． 13. 等比数列的公比为，其前项和记为，，则的取值范围为____________. 14. 已知函数，，则数列的通项公式为____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 已知数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）设，其前项和为，求． 17. 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金． （1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率； （2）已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否有超过预算的可能?请说明理由． 18. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求数列、的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力. 某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 （1）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为. 设，求的分布列； （2）已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个，若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $