第4节 平面向量的综合问题 课件-2027届高三数学一轮复习

第4节　平面向量的综合问题 课标要求 　　重点解读平面向量的综合问题，一般涉及平面向量的实际应用，平面 向量在几何中的应用及与平面向量有关的最值（范围）问题，尤其是最值 （范围）问题，既是高考的热点，也是难点，其解题思路为： 1. 将实际几何问题转化为向量表示，再利用向量的运算法等还原到要解决 的问题上去得出结论. 2. 与向量有关的最值（范围）问题，一般将待求量（模长、夹角、数量 积、参数等）表示成某一变量的目标函数再求最值，同时要注意向量 “数”与“形”的双重身份，解题时重视数形结合思想. 目录/ CONTENTS 提能点一 平面向量的实际应用 01 提能点二 平面向量在几何中的应用 02 提能点二 与平面向量有关的最值（范围）问题 03 课时跟踪训练 04 01 PART 提能点一 平面向量的实际应用 目 录 （2025·全国Ⅰ卷6题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大 小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是 真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应 的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、 名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速 对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（　　） 级数 名称 风速大小（单位：m/s） 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 图1 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－ 船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应 的向量＝ ，如图，｜ ｜＝2 ∈（1.6，3.3）.故 选A. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 用向量方法解决实际问题的步骤 高中总复习·数学 目 录 练1 一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下直扑猎物，太阳光直射地 面，鹰在地面上影子的速度为60 m/s，则鹰的飞行速率为（　　） A. 20 m/s B. 40 m/s C. 60 m/s D. 30 m/s √ 解析： 　如图， ＝V1表示鹰在地面上的影子的速 度， ＝V2表示鹰的飞行速度，由题意知，｜ ｜ ＝｜V1｜＝60 m/s，且A＝30°，所以｜ ｜＝｜V2｜＝ ＝40 m/s.故选B. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 提能点二 平面向量在几何中的应用 目 录 （1）已知 ， 是非零向量且满足（ －2 ）⊥ ，（ － 2 ）⊥ ，则△ABC的形状为（　B　） A. 等腰（非直角）三角形 B. 等边三角形 C. 直角（非等腰）三角形 D. 等腰直角三角形 B 高中总复习·数学 目 录 解析： ∵ ， 是非零向量且满足（ －2 ）⊥ ，（ － 2 ）⊥ ，∴（ －2 ）· ＝0，（ －2 ）· ＝0，即 ＝2 · ， ＝2 · ，∴｜ ｜2＝｜ ｜2＝2｜ ｜｜ ｜· cos ∠BAC，∴｜ ｜＝｜ ｜，且 cos ∠BAC＝ ，又 0°≤∠BAC≤180°，则∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形.故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）如图所示，已知AC为☉O的一条直径，∠ABC为圆周角，则∠ABC ＝ ⁠. 解析：设 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b， ＝a， ＝ － ＝ a－b，｜a｜＝｜b｜，∴ · ＝（a＋b）（a－b）＝a2－b2＝｜ a｜2－｜b｜2＝0，∴ ⊥ ，∴∠ABC＝90°. 90° 高中总复习·数学 目 录 规律方法 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问题. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）（2026·内蒙古包头模拟）在△ABC中，D为BC边上的中点， 且｜ ｜＝1，｜ ｜＝2，∠BAC＝120°，则｜ ｜＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　D为BC边上的中点， ＝ （ ＋ ），｜ ｜ ＝｜ （ ＋ ）｜＝ ＝ ＝ ＝ .故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知△ABC中，AD为中线，求证：AD2＝ （AB2＋AC2）－（ ）2. 证明：以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立 平面直角坐标系，如图所示，设A（a，b），C（c， 0），D（ ，0），则｜ ｜2＝（ －a）2＋（0－b）2 ＝ －ac＋a2＋b2， （｜ ｜2＋｜ ｜2）－（ ）2＝ [a2＋b2＋（c－a）2＋b2]－ ＝a2＋b2－ac＋ ，从而｜ ｜2＝ （｜ ｜2＋｜ ｜2）－（ ）2，即AD2＝ （AB2＋AC2）－（ ）2. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点二 与平面向量有关的最值（范围）问题 目 录 （1）已知单位向量a，b的夹角为θ，若｜a＋b｜＞1，则θ的取值范 围为（　B　） A. ［0， ） B. ［0， ） C. （ ， ） D. （ ，π） 解析： 因为向量a，b为单位向量，且｜a＋b｜＞1，所以｜a＋b｜2＞ 1，即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＞1，化简得 cos θ＞－ ，因为向量a，b的 夹角θ∈[0，π]，所以θ∈［0， ）.故选B. B 高中总复习·数学 目 录 （2）在△ABC中，E为AC上一点， ＝3 ，P为BE上任意一点，若 ＝m ＋n （m＞0，n＞0），则 ＋ 的最小值是（　C　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 C 高中总复习·数学 目 录 解析：因为 ＝3 ，P为BE上任意一点， ＝m ＋n ＝m ＋3n ，因为P，B，E三点共线，所 以m＋3n＝1，m＞0，n＞0，则 ＋ ＝（ ＋ ）（m＋3n）＝6＋ ＋ ≥6＋2 ＝12，当且仅当 ＝ 且m＋3n＝1，即m＝ ，n＝ 时取等号，此时 ＋ 的最小值是12.故选C. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 向量求最值（范围）的常用方法 （1）利用三角函数求最值（范围）； （2）利用基本不等式求最值（范围）； （3）建立坐标系，设变量构造函数求最值（范围）； （4）数形结合，应用图形的几何性质求最值（范围）. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）平面向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，且｜a－3b｜＝1，则 cos ＜b，3b－a＞的最小值是 ⁠； 解析：由｜a－3b｜＝1两边平方得a2－6a·b＋9b2＝1.又因为｜a｜＝｜ b｜，所以a·b＝ ，所以 cos ＜b，3b－a＞＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （ 8｜b｜＋ ）≥ ×2 ＝ ，当且仅当｜b｜＝ 时取等号，所以 cos ＜b，3b－a＞的最小值 是 . ​ 高中总复习·数学 目 录 （2）〔一题多解〕已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不含 边界），试求 · 的取值范围. 解：法一　 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠PAB＝2｜ ｜· cos ∠PAB， 又｜ ｜ cos ∠PAB 表示 在 方向上的投影数量，当P与C重合时投 影数量最大，当P与F重合时投影数量最小. 又因为 · ＝2 ×2× cos 30°＝6， · ＝2×2× cos 120°＝－ 2，｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝ ＝3，｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝ ＝ －1， 故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时， · ∈（－2，6） . 高中总复习·数学 目 录 法二　以A 为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 设点P（x，y），则 ＝（x，y）， ＝（2，0）， · ＝（x， y）·（2，0）＝2x， 易知x∈（－1，3），所以 · ∈（－2，6）. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：45分钟，满分：72分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1. 四边形ABCD中， ＝ ，（ ＋ ）·（ － ）＝0，则这 个四边形是（　　） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等腰梯形 √ 解析： 　由题意， ＝ ，即AD＝BC且AD∥BC，故四边形ABCD 为平行四边形，又（ ＋ ）·（ － ）＝｜ ｜2－｜ ｜2＝ 0，故AB＝AD，即四边形ABCD为菱形. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·福建福州期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边A 处出发，向对岸航行，若船的速度v1＝（m，3m）（m＞0），水流速度 v2＝（－3，0），且船实际航行的速度的大小为9，则m＝（　　） A. 3 B. C. D. 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　设船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2＝（m－3，3m）， 又｜v｜＝9，所以 ＝9，解得m＝3（负值舍去）.故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 四边形ABCD中， ＝（1，2）， ＝（－4，2），则四边形ABCD 的面积S＝（　　） A. B. 5 C. 10 D. 20 √ 解析： 　因为 ＝（1，2）， ＝（－4，2），所以 · ＝1× （－4）＋2×2＝0，则 ⊥ ，又｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜ ＝ ＝2 ，所以四边形ABCD的面积S＝ ｜ ｜｜ ｜＝ × ×2 ＝5.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·云南昆明模拟）设x＞0，向量 ＝（x2，－2x）在向量 ＝ （1，2）上的投影向量为λ （λ∈R），则实数λ的最小值为（　　） A. － B. － √ C. － D. － 解析： 　向量 在向量 上的投影向量为 · ＝ ，则λ ＝ ＝ ≥－ ，当且仅当x＝2时，等号成立，所以λ的最小 值为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 已知△ABC中，AB＝4，AC＝3， cos A＝ .若D为边BC上的动点， 则 · 的取值范围是（　　） A. [4 ，12] B. [8 ，16] C. [4，16] D. [2，4] √ 解析： 　由题意得 ＝λ ＋（1－λ） ，0≤λ≤1， · ＝ ·[λ ＋（1－λ） ]＝λ ＋（1－λ）｜ ｜·｜ ｜ cos A＝16λ ＋4－4λ＝12λ＋4∈[4，16].故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知向量a＝（1，2），b＝（－3，4），c＝a＋λb， λ∈R，则下列说法正确的是（　　） A. 当λ＝－ 时，｜c｜最小 B. 当｜c｜最小时，b⊥c C. 当λ＝1时，a与c的夹角最小 D. 当a与c的夹角最小时，a＝c √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由a＝（1，2），b＝（－3，4），c＝a＋λb，所以c＝ （1－3λ，2＋4λ），所以｜c｜2＝（1－3λ）2＋（2＋4λ）2＝5＋10λ＋ 25λ2＝25（ λ＋ ）2＋4，当λ＝－ 时，｜c｜取得最小值，故A正确； 当｜c｜最小时，c＝（ ， ），所以b·c＝－3× ＋4× ＝0，所以 b⊥c，故B正确；设向量a与c的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ ，要使向量a与c的夹角最小，则 cos θ最大，由于θ∈[0，π]，所以 cos θ的最大值为1，此时θ＝0，则 ＝1，解得λ＝0.此时c＝（1，2），所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c，故C错误，D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 已知圆C的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2，点P在直线y＝x＋3 上，线段AB为圆C的直径，则｜ ＋ ｜的最小值为 ⁠. 解析：因为C为AB的中点，所以 ＋ ＝2 ，从而｜ ＋ ｜ ＝｜2 ｜＝2｜ ｜，可知｜ ｜的最小值为点C到直线y＝x＋3的距 离，d＝ ＝ ，所以｜ ＋ ｜min＝2× ＝3 . 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·山西晋中模拟）在△ABC中，D为边AC上一点，且满足 ＝ ，若P为BD上一点，且满足 ＝λ ＋μ ，λ，μ为正实数，则λμ 的最大值为 ⁠. 解析：因为 ＝ ，所以 ＝3 ，又 ＝λ ＋μ ＝λ ＋ 3μ ，且P，B，D三点共线，所以λ＋3μ＝1，又λ，μ为正实数，所以 λμ＝ λ×3μ≤ ×（ ）2＝ ，当且仅当 即λ＝ ，μ＝ 时取等号. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知平面向量a，b满足｜a｜＝3 ，｜b｜＝1，并且当λ＝－4 时，｜a＋λb｜取得最小值，则 sin ＜a，b＞＝ ⁠. 解析：平面向量a，b满足｜a｜＝3 ，｜b｜＝1 ，则a·b＝3 cos ＜ a，b＞，｜a＋λb｜2＝｜a｜2＋2λa·b＋λ2｜b｜2＝λ2＋6 λ cos ＜ a，b＞＋18，则λ＝－3 cos ＜a，b＞时，｜a＋λb｜2取得最小值， 即｜a＋λb｜取得最小值，故－3 cos ＜a，b＞＝－4，则有 cos ＜a， b＞＝ ，又＜a，b＞∈[0，π]，则 sin ＜a，b＞＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（－2，0）， 点P，Q在单位圆上，以x轴非负半轴为始边，以射线OP为终边的角为 θ，以射线OQ为终边的角为φ，满足φ－θ＝ .若θ＝ ，则 · ＝ ⁠ ；当点P在单位圆上运动时，若函数f（θ）＝ · ，则f（θ） 的最大值为 ⁠. 4 ＋ 2 －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由题意可知∠POA＝θ＝ ，则∠QOA＝ ＋ ＝ ，所以 · ＝ ·（ － ）＝ － · ＝22－2×1× cos ＝4＋ .由题 意可知P（ cos θ， sin θ），Q（ cos φ， sin φ）.因为 cos φ＝ cos （θ＋ ）＝－ sin θ， sin φ＝ sin （θ＋ ）＝ cos θ，所以Q（－ sin θ， cos θ），所以 ＝（ cos θ－2， sin θ）， ＝（－ sin θ＋2， cos θ），所 以f（θ）＝ · ＝（ cos θ－2）（2－ sin θ）＋ sin θ cos θ＝2 cos θ－ sin θ cos θ＋2 sin θ－4＋ sin θ cos θ＝2 sin （θ＋ ）－4.当θ＋ ＝2kπ ＋ （k∈Z），即θ＝2kπ＋ （k∈Z）时，f（θ）取得最大值，为2－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 已知向量m＝（1，1），n＝（a，b），其中a＞0，b＞0，则 的取值范围为（　　） A. （ ， ］ B. ［ ，＋∞） C. （1， ] D. （0， ] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由向量m＝（1，1），n＝（a，b），a＞0，b＞0，得 ＝ ＝ ＝ ≤ ＝ ，当且仅当a＝b 时取等号，而 ＝ ＞1，所以 的取值范围为（1， ].故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 〔多选〕在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假 设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若｜F1｜ ＝｜F2｜，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是（　　） A. ｜F1｜的最小值为 ｜G｜ B. θ的范围为[0，π] C. 当θ＝ 时，｜F1｜＝ ｜G｜ D. 当θ＝ 时，｜F1｜＝｜G｜ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时 平方得｜G｜2＝｜F1｜2＋｜F2｜2＋2｜F1｜｜F2｜ cos θ＝2｜F1｜2＋ 2｜F1｜2 cos θ，所以｜F1｜2＝ .当θ＝0时，｜F1｜min＝ ｜ G｜；当θ＝ 时，｜F1｜＝ ｜G｜；当θ＝ 时，｜F1｜＝｜G｜，故 A、C、D正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所 以θ∈[0，π），故B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则 ＋ ＋…＋ 的取值范围是 ⁠. 解析：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在 直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A1（0， 1），A2（ ， ），A3（1，0），A4（ ，－ ）， A5（0，－1），A6（ － ，－ ），A7（－1，0），A8（ － ， ），设P（x，y），于是 ＋ ＋…＋ ＝8（x2＋y2）＋8，因为 cos 22.5°≤｜OP｜≤1，所以 ≤x2＋y2≤1，故 ＋ ＋…＋ 的取值范围是[12＋2 ，16]. [12＋2 ，16] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3），B（5，1），P（2， 1）.则｜ － ｜＝ ；若点N是直线OP上的动点，则 · 的最小值为 ⁠. 解析：由题意可知 ＝（1，2）， ＝（3，0）， ∴ － ＝（－2，2），∴｜ － ｜＝ ＝2 .如图所示，易知直线OP的方程 为y＝ x，不妨设N（2a，a），则 · ＝（3－2a，3－a）·（5－2a，1－a）＝5a2－20a＋18＝5（a－2）2－2≥－2，当且仅当a＝2，即N（4，2）时， · 取得最小值－2. 2 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $